离散数学 图论总复习
离散图论知识点总结
离散图论知识点总结一、基本概念图（Graph）是离散数学中的一个重要概念，它由顶点集合V和边集合E组成。
一般用G （V，E）来表示，其中V={v1,v2,…,vn}是有限非空集合，E是V中元素的无序对的集合。
图分为有向图和无向图。
无向图中的边是无序的，有向图中的边是有序的。
图中存在一些特殊的图，比如完全图、树、路径、回路等。
二、图的表示方法1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的表示方法，它使用一个二维数组来表示图的关系。
对于一个n 个顶点的图，邻接矩阵是一个n*n的矩阵A，其中A[i][j]表示顶点i到顶点j之间是否存在边。
对于无向图，A[i][j]=1表示顶点i与顶点j之间存在边，A[i][j]=0表示不存在。
对于有向图，A[i][j]=1表示i指向j的边存在，A[i][j]=0表示不存在。
2. 邻接表邻接表是另一种常见的图的表示方法。
它将图的信息储存在一个数组中，数组的每个元素与图的一个顶点相对应。
对于每个顶点vi，数组中储存与该顶点邻接的顶点的信息。
邻接表可以用链表或者数组来表示，链表表示的邻接表比较灵活，但是在查找某个边的相邻顶点时需要遍历整个链表。
三、图的性质1. 度图中每个顶点的度是与其相邻的边的数目。
对于无向图，顶点的度等于与其相邻的边的数目；对于有向图，则分为入度和出度。
2. 连通性对于无向图G，若图中任意两个顶点都有路径相连，则称图G是连通的。
对于有向图G，若从任意一个顶点vi到任意一个顶点vj都存在路径，则称G是强连通的。
3. 路径和回路路径是指图中一系列的边，连接图中的两个顶点；回路是指起点与终点相同的路径。
路径的长度是指路径中边的数目。
4. 树和森林一个无向图，如果是连通图且不存在回路，则称为树。
一个无向图，若它不是连通图，则称为森林。
四、图的常见算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法，它从图的某个顶点vi出发，访问它的所有邻接顶点，再对其中未访问的顶点继续深度优先搜索。
离散数学图论(图、树)常考考点知识点总结
离散数学图论（图、树）常考考点知识点总结图的定义和表示1.图：一个图是一个序偶＜V , E ＞，记为G =< V ，E >，其中：① V ={V1,V2,V3,…, Vn}是有限非空集合，Vi 称为结点，V 称为节点集② E 是有限集合，称为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之为边③与边对应的结点对既可以是无序的，也可以是有序的表示方法集合表示法，邻接矩阵法2.邻接矩阵：零图的邻接矩阵全零图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点，两个端点相同的边称为环或者自回路3.零图：仅有孤立节点组成的图4.平凡图：仅含一个节点的零图无向图和有向图5.无向图：每条边都是无向边的图有向图：每条边都是有向边的图6.多重图：含有平行边的图(无向图中，两结点之间包括结点自身之间的几条边；有向图中同方向的边)7.线图：非多重图8.重数：平行边的条数9..简单图：无环的线图10.子图，真子图，导出子图，生成子图，补图子图：边和结点都是原图的子集，则称该图为原图的子图真子图（该图为原图的子图，但是不跟原图相等）11.生成子图：顶点集跟原图相等，边集是原图的子集12.导出子图：顶点集是原图的子集，边集是由顶点集在原图中构成的所有边构成的图完全图（任何两个节点之间都有边）13.完全图：完全图的邻接矩阵主对角线的元素全为0，其余元素都是114.补图：完全图简单图15.自补图：G与G的补图同构，则称自补图16.正则图：无向图G=<V,E>,如果每个顶点的度数都是k，则图G称作k-正则图17.结点的度数利用邻接矩阵求度数：18.握手定理：图中结点度数的总和等于边数的两倍推论：度数为奇数的结点个数为偶数有向图中，所有结点的入度=出度=边数19.图的度数序列：出度序列+入度序列20.图的同构：通俗来说就是两个图的顶点和边之间有双射关系，并且每条边对应的重数相同（也就是可任意挪动结点的位置，其他皆不变）21.图的连通性及判定条件可达性：对节点vi 和vj 之间存在通路，则称vi 和vj 之间是可达的22.无向图的连通性：图中每两个顶点之间都是互相可达的23..强连通图：有向图G 的任意两个顶点之间是相互可达的判定条件：G 中存在一条经过所有节点至少一次的回路24.单向连通图：有向图G 中任意两个顶点之间至少有一个节点到另一个节点之间是可达的判定条件：有向图G 中存在一条路经过所有节点25.弱连通图：有向图除去方向后的无向图是连通的判定条件：有向图邻接矩阵与转置矩阵的并是全一的矩阵26.点割：设无向图G=<V,E>为联通图，对任意的顶点w  V,若删除w及与w相关联的所有边后，无向图不再联通，则w称为割点；27.点割集：设无向图G=<V,E>为连通图，若存在点集 ，当删除 中所有顶点及与V1顶点相关联的所有边后，图G不再是联通的；而删除了V1的任何真子集 及与V2中顶点先关的所有边后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集设无向图G=<V,E>为连通图，任意边e  E,若删除e后无向图不再联通，则称e 为割边，也成为桥28.边割集：欧拉图，哈密顿图，偶图（二分图），平面图29.欧拉通路（回路）：图G 是连通图，并且存在一条经过所有边一次且仅一次的通路（回路）称为拉通路（回路）30.欧拉图：存在欧拉通路和回路的图31.半欧拉图：有通路但没有欧拉回路32.欧拉通路判定：图G 是连通的，并且有且仅有零个或者两个奇度数的节点欧拉回路判定：图G 是连通的，并且所有节点的度数均为偶数有向欧拉图判定：图G 是连通的，并且所有节点的出度等于入度33.哈顿密图：图G 中存在一条回路，经过所有点一次且仅一次34..偶图：图G 中的顶点集被分成两部分子集V1,V2，其中V1nV2= o ,V1UV2= V ，并且图G 中任意一条边的两个端点都是一个在V1中，一个在V2中35.平面图：如果把无向图G 中的点和边画在平面上，不存在任何两条边有不在端点处的交叉点，则称图G 是平面图，否则是非平面图36.图的分类树无向树和有向树无向树：连通而不含回路的无向图称为无向树生成树：图G 的某个生成子图是树有向树：一个有向图，略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树最小生成树最小生成树：设G -< V . E 是连通赋权图，T 是G 的一个生成树，T 的每个树枝所赋权值之和称为T 的权，记为W ( T . G 中具有最小权的生成树称为G 的最小生成树最优树（哈夫曼树）设有一棵二元树，若对所有的树叶赋以权值w1,w2… wn ，则称之为赋权二元树，若权为wi 的叶的层数为L ( wi )，则称W ( T )= EWixL ( wi ）为该赋权二元树的权，W ）最小的二元树称为最优树。
离散数学图论整理
离散数学图论整理总结第⼋章图论8.1 图的基本概念8.1.1 图定义8.1―1 ⼀个图G 是⼀个三重组〈V (G ),E (G ),ΦG 〉,其中V (G )是⼀个⾮空的结点(或叫顶点)集合,E (G )是边的集合,ΦG 是从边集E 到结点偶对集合上的函数。
⼀个图可以⽤⼀个图形表⽰。
定义中的结点偶对可以是有序的,也可以是⽆序的。
若边e 所对应的偶对〈a ,b 〉是有序的,则称e 是有向边。
有向边简称弧,a 叫弧e 的始点,b 叫弧e 的终点,统称为e 的端点。
称e 是关联于结点a 和b 的,结点a 和结点b 是邻接的。
若边e 所对应的偶对(a ,b )是⽆序的,则称e 是⽆向边。
⽆向边简称棱,除⽆始点和终点的术语外,其它术语与有向边相同每⼀条边都是有向边的图称为有向图。
每⼀条边都是⽆向边的图称为⽆向图。
有向图和⽆向图也可互相转化。
例如,把⽆向图中每⼀条边都看作两条⽅向不同的有向边,这时⽆向图就成为有向图。
⼜如,把有向图中每条有向边都看作⽆向边,就得到⽆向图。
这个⽆向图习惯上叫做该有向图的底图。
在图中,不与任何结点邻接的结点称为弧⽴结点。
全由孤⽴结点构成的图称为零图。
关联于同⼀结点的⼀条边称为⾃回路。
在有向图中,两结点间(包括结点⾃⾝间)若同始点和同终点的边多于⼀条,则这⼏条边称为平⾏边。
在⽆向图中,两结点间(包括结点⾃⾝间)若多于⼀条边,则称这⼏条边为平⾏边。
两结点a 、b 间互相平⾏的边的条数称为边［a ,b ］的重数。
仅有⼀条时重数为1,⽆边时重数为0。
定义8.1―2 含有平⾏边的图称为多重图。
⾮多重图称为线图。
⽆⾃回路的线图称为简单图。
仅有⼀个结点的简单图称为平凡图。
定义 8.1―3 赋权图G 是⼀个三重组〈V ,E ,g 〉或四重组〈V ,E ,f ,g 〉,其中V 是结点集合, E 是边的集合,f 是定义在V 上的函数,g 是定义在E 上的函数。
8.1.2 结点的次数定义 8.1―4 在有向图中,对于任何结点v ,以v 为始点的边的条数称为结点v 的引出次数(或出度),记为deg +(v );以v 为终点的边的条数称为结点v 的引⼊次数(或⼊度),记为deg -(v );结点v 的引出次数和引⼊次数之和称为结点v 的次数(或度数),记作deg (v )。
离散数学——图论基础复习
离散数学——图论基础复习
定理1： d(v1)+d(v2)+....d(vn)=2m.
各顶点上边数之和==2*图的边数
推有向图中:d+(V1)+...d+(Vn)=d-(V1)+...d(Vn)=m.
所有顶点出度之和=所有顶点入度之和=图边数
割点定义：设无向图中，存在顶点集V’,使G删除V’（将V’中顶点及其关联的边都删除）后，所得子图G-V’的连通分支数与G的连通分支数满足p(G-V’)>p(G),而删除V’的任何真子集V’’后，p(G-V’’)=p(G),则称V’为G的一个点割集。若点割集中只有一个顶点v，则称v为割点。
电大离散数学图论部分期末复习辅导Word版
离散数学图论部分期末复习辅导一、单项选择题 1．设图G ＝<V , E >，v V ，则下列结论成立的是 ( ) ．A ．deg(v )=2EB ．deg(v )=EC ．deg()2||v Vv E ∈=∑ D ．deg()||v Vv E ∈=∑解 根据握手定理（图中所有结点的度数之和等于边数的两倍）知，答案C 成立。
答 C2．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110， 则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．3解 由邻接矩阵的定义知，无向图的邻接矩阵是对称的．即当结点v i 与v j 相邻时，结点v j 与v i 也相邻，所以连接结点v i 与v j 的一条边在邻接矩阵的第i 行第j 列处和第j 行第i 列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有10个1，故有102=5条边。
答 B3．已知无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111110101110001000111010，则G 有（ ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边解 由邻接矩阵的定义知，矩阵是5阶方阵，所以图G 有5个结点，矩阵元素有14个1，14÷2=7，图G 有7条边。
答 D4．如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, e )}是割边 B ．{(a, e )}是边割集C ．{(a, e ) ,(b, c )}是边割集D ．{(d, e)}是边割集定义3.2.9 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有边集E 1ÌE ，使图G 删除了E 1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E 1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称E 1是G 的一个边割集．若边割集为单元集{e }，则称边e 为割边（或桥）．解 割边首先是一条边，因为答案A 中的是边集，不可能是割边，因此答案A 是错误的．删除答案B 或C 中的边后，得到的图是还是连通图，因此答案B 、C 也是错误的．在图一中，删去(d , e )边，图就不连通了，所以答案D 正确． 答 D注：如果该题只给出图的结点和边，没有图示，大家也应该会做．如：若图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ) , (a , e ) , (b , c ) , (b , e ) , (c , e ) , (e , d )}，则该图中的割边是什么？5．图G 如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A ．a 是割点 B ．{b, c}是点割集 C ．{b , d }是点割集 D ．{c }是点割集定义3.2.7 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有点集V 1ÌV ，使图G 删除了V 1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V 1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称V 1是G 的一个点割集．若点割集为单元集{v }，则称结点v 为割点．οοο ο a bc d图一 οe ο οο a b c d图二ο解 在图二中，删去结点a 或删去结点c 或删去结点b 和d 图还是连通的，所以答案A 、C 、D 是错误的．在图二中删除结点b 和c ，得到的子图是不连通图，而只删除结点b 或结点c ，得到的子图仍然是连通的，由定义可以知道，{b, c }是点割集．所以答案B 是正确的． 答 B6．图G 如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, d )}是割边 B ．{(a, d )}是边割集C ．{(a, d) ,(b, d)}是边割集D ．{(b , d )}是边割集解 割边首先是一条边，{(a, d )}是边集，不可能是割边．在图三中，删除答案B 或D 中的边后，得到的图是还是连通图．因此答案A 、B 、D 是错误的．在图三中，删去(a,d )边和(b, d )边，图就不连通了，而只是删除(a, d )边或(b, d )边，图还是连通的，所以答案C 正确．7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是( )．图四A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的复习：定义3.2.5 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G 是单向（侧）连通的；若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G 是强连通的；若图G 的底图，即在图G 中略去边的方向，得到的无向图是连通的，则称图G 是弱连ο ο ο a bcd图三ο通的．显然，强连通的一定是单向连通和弱连通的，单向连通的一定是弱连通，但其逆均不真．定理3.2.1一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，其至少包含每个结点一次．单侧连通图判别法：若有向图G中存在一条经过每个结点至少一次的路，则G是单侧连通的。
离散数学图论
例：把下面的m叉树改写为二叉树。
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第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
练习：把下面的有序树改写为二叉树。
。 。 。。 。 。。 。 。 。 知识点提示：
。 。。
。 。 。
。
课下自学
此方法可推广至有序森林到二叉树的转换。 此方法具有可逆性。
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第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
给定一棵2叉树T，设它有t片树叶。设v为T的一个分枝点， 则v至少有一个儿子，最多有两个儿子。若v有两个儿 子，在由v引出的两条边上，左边的标上0，右边的标 上1；若v有一个儿子，在由v引出的边上可标上0，也
可标上1。设vi为T的任一片树叶，从树根到vi的通路
上各边的标号组成的0，1串组成的符号串放在vi处，t 片树叶处的t个符号串组成的集合为一个二元前缀码。
定义7-8.5
在根树中， 科 一个结点的通路长度为从树根到此结点的通路中的边 学 数。 与 分枝点的通路长度称为内部通路长度。 树叶的通路长度称为外部通路长度。
工 程 学 院
。 。 。 。。 A 。 。 。。
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第七章 图论
信 息 科
定理7-8.2
若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总和为L，外 部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
学 与 工 程 学 院
对分枝点数目n进行归纳证明。
。
当n=1时，如右图所示，
L=0， E=2，
。
。
显然， E=L+2n成立。
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第七章 图论
信 息 科 学
定理7-8.2 若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总 和为L，外部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
离散数学期末复习要点与重点
离散数学期末复习要点与重点离散数学计算机科学与技术专业的一门统设必修学位课程，共60学时，开设一学期．该课程的主要内容包括：数理逻辑、集合论、图论等．第1章 命题逻辑复习要点1．理解命题概念，会判别语句是不是命题．理解五个联结词：否定⌝P 、析取∨、合取∧、条件→、和双条件↔及其真值表，会将简单命题符号化．具有确定真假意义的陈述句称为命题．命题必须具备：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2．了解公式的概念(公式、赋值、成真赋值和成假赋值)和公式真值表的构造方法．能熟练地作公式真值表．理解永真式和永假式概念，掌握其判别方法．判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，其二是等值演算法.3．了解公式等价概念，掌握公式的重要等价式和判断两个公式是否等价的有效方法：等值演算法、列真值表法和主范式方法．4．理解析取范式和合取范式、极大项和极小项、主析取范式和主合取范式的概念以及和成真赋值、成假赋值的关系，熟练掌握它们的求法．命题公式的范式不惟一，但主范式是惟一的．5．了解C 是前提集合{A 1,A 2,…,A m }的有效结论或由A 1, A 2, …, A m 逻辑地推出C 的概念．要理解并掌握推理理论的规则、重言蕴含式和等价式，掌握命题公式的证明方法：真值表法、直接证法、间接证法．重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定，主析取(合取)范式，命题演算的推理理论.第2章 谓词逻辑复习要点1．理解谓词、量词、个体词、个体域，会将简单命题符号化．原子命题分成个体词和谓词，个体词可以是具体事物或抽象的概念，分个体常项和个体变项．谓词用来刻划个体词的性质或之间的关系．量词分全称量词∀，存在量词∃.命题符号化注意：使用全称量词∀，特性谓词后用→；使用存在量词∃，特性谓词后用∧．2．了解原子公式、谓词公式、变元(约束变元和自由变元)与辖域等概念．掌握在有限个体域下消去公式的量词和求公式在给定解释下真值的方法．由原子公式、联结词和量词构成谓词公式．谓词公式具有真值时，才是命题．在谓词公式∀xA 或∃xA 中，x 是指导变元，A 是量词的辖域．会区分约束变元和自由变元．在非空集合D (个体域)上谓词公式A 的一个解释或赋值有3个条件．在任何解释下，谓词公式A 取真值1，A 为逻辑有效式(永真式)；公式A 取真值0，A 为永假式；至少有一个解释使公式A 取真值1，A 称为可满足式．会求谓词公式的真值，量词的辖域，自由变元、约束变元，以及换名规则、代入规则等． 掌握谓词演算的等值式和重言蕴含式．并进行谓词公式的等价演算．3．了解前束范式的概念，会求公式的前束范式的方法.若一个谓词公式F 等价地转化成 B x Q x Q x Q k k ...2211，那么B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束范式，其中Q 1，Q 2，…，Q k 只能是∀或∃，而x 1, x 2, …, x k 是个体变元，B 是不含量词的谓词公式．前束范式仍然是谓词公式．重点：谓词与量词，公式与解释，谓词演算．第3章 集合及其运算复习要点1．理解集合、元素、集合的包含、子集、相等，以及全集、空集和幂集等概念，熟练掌握集合的表示方法．具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素.．集合的表示方法：列举法和描述法.注意：集合的表示中元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分．掌握集合包含(子集)、真子集、集合相等等概念．注意：元素与集合，集合与子集，子集与幂集，∈与⊂(⊆),空集∅与所有集合等的关系. 空集∅，是惟一的，它是任何集合的子集． 集合A 的幂集P (A )＝}{A x x ⊆， A 的所有子集构成的集合．若∣A ∣＝n ，则∣P (A )∣=2n ．2．熟练掌握集合A 和B 的并A ⋃B ，交A ⋂B ，补集~A (~A 补集总相对于一个全集).差集A －B ，对称差⊕，A ⊕B ＝(A －B )⋃(B －A )，或A ⊕B ＝(A ⋃B )－（A ⋂B ）等运算，并会用文氏图表示．掌握集合运算律.3．掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法．集合的运算问题：其一是进行集合运算；其二是运算式的化简；其三是恒等式证明． 证明方法有二：(1)要证明A ＝B ，只需证明A ⊆B ，又A ⊇B ；(2)通过运算律进行等式推导．重点：集合概念，集合的运算，集合恒等式的证明．第4章 关系与函数复习要点1．了解有序对和笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算．有序对就是有顺序二元组，如<x , y >，x , y 的位置是确定的，不能随意放置．注意：有序对<a ，b >≠<b , a >，以a , b 为元素的集合{a , b }={b , a }；有序对<a , a >有意义，而集合{a , a }是单元素集合，应记作{a }．集合A ，B 的笛卡儿积A ×B 是一个集合，规定A ×B ＝{<x ,y >∣x ∈A ,y ∈B }，是有序对的集合.笛卡儿积也可以多个集合合成，A 1×A 2×…×A n ．2．理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系.掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图，掌握关系的集合运算和求复合关系、逆关系的方法．二元关系是一个有序对集合，},{B y A x y x R ∈∧∈><=，记作xRy ．空关系∅是唯一、是任何关系的子集的关系；全关系},,{A b a b a E A ∈><=A A ⨯≡；恒等关系},{A a a a I A ∈><=，恒等关系的矩阵M I 是单位矩阵．关系的集合运算有并、交、补、差和对称差．复合关系}),,(,{2121R c b R b a b c a R R R >∈<∧>∈<∃><=•=；复合关系矩阵：21R R R M M M ⨯=(按布尔运算)；有结合律：(R •S )•T ＝R •(S •T )，一般不可交换．逆关系},,{1R y x x y R >∈<><=-；逆关系矩阵满足：T R R M M =-1；复合关系与逆关系存在：(R •S )－1=S －1•R －1．3．理解关系的性质(自反性和反自反性、对称性和反对称性、传递性的定义以及矩阵表示或关系图表示)，掌握其判别方法(利用定义、矩阵或图，充分条件)，知道关系闭包的定义和求法．注：(1)关系性质的充分必要条件：① R 是自反的⇔I A ⊆R ；②R 是反自反的⇔I A ⋂R ＝∅；③R 是对称的 ⇔R ＝R －1；④R 是反对称的⇔R ⋂R －1⊆I A ；⑤R 是传递的⇔R •R ⊆R .(2)I A 具有自反性，对称性、反对称性和传递性．E A 具有自反性，对称性和传递性．故I A ，E A 是等价关系．∅具有反自反性、对称性、反对称性和传递性．I A 也是偏序关系．4．理解等价关系和偏序关系概念，理解集合上等价关系与划分一一对应的关系、掌握划分的求法和做偏序集哈斯图的方法．知道极大(小)元，最大(小)元的概念，会求极大(小)元、最大(小)元、上界和下界、最小上界和最大下界．等价关系和偏序关系是具有不同性质的两个关系.⎩⎨⎧==+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+偏序关系等价关系传递性反对称性对称性自反性 知道等价关系图的特点和等价类定义，会求等价类．一个子集的极大(小)元可以有多个，而最大(小)元若有，则惟一.且极元、最元只在该子集内；而上界与下界可以在子集之外．由哈斯图便于确定任一子集的最大(小)元，极大(小)元．5．理解函数概念：函数(映射)，函数相等，复合函数和反函数。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
离散数学图论部分经典试题及答案
离散数学图论部分综合练习一、单项选择题1．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010*******11100100110则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．32．已知图G 的邻接矩阵为， 则G 有（ ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边3．设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(4．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a , d )}是割边 B ．{(a , d )}是边割集 C ．{(d , e )}是边割集 D ．{(a, d ) ,(a, c )}是边割集5．如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A ．e 是割点 B ．{a, e }是点割集 C ．{b , e }是点割集 D ．{d }是点割集6．如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ．A ．{(a, e )}是割边B ．{(a, e )}是边割集C ．{(a, e ) ,(b, c )}是边割集D ．{(d , e )}是边割集οο ο ο οca b edο f图一图二图三7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 ( )．图四A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的 应该填写：D8．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ ）时，K n 中存在欧拉回路．A ．m 为奇数B ．n 为偶数C ．n 为奇数D ．m 为偶数 9．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )．A ．e －v ＋2B ．v ＋e －2C ．e －v －2D ．e ＋v ＋2 10．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点11．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．A ．1m n -+B ．m n -C ．1m n ++D ．1n m -+ 12．无向简单图G 是棵树，当且仅当( )．A ．G 连通且边数比结点数少1B ．G 连通且结点数比边数少1C ．G 的边数比结点数少1D ．G 中没有回路．二、填空题1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割ο οο οc a b f集是 ．3．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路， 则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点 数|S|与W 满足的关系式为 ．4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通 且 ．5．设有向图D 为欧拉图，则图D 中每个结点的入度 ． 应该填写：等于出度6．设完全图K n 有n 个结点(n 2)，m 条边，当 时，K n 中存在欧拉回路．7．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 ．8．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 ． 9．结点数v 与边数e 满足 关系的无向连通图就是树．10．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去 条边后使之变成树．11．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 ．12．设G ＝<V , E >是有6个结点，8条边的连通图，则从G 中删去 条边，可以确定图G 的一棵生成树．13．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．三、判断说明题1．如图六所示的图G 存在一条欧拉回路．2．给定两个图G 1，G 2（如图七所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．v 123图六图七3．判别图G (如图八所示)是不是平面图， 并说明理由．4．设G 是一个有6个结点14条边的连 通图，则G 为平面图．四、计算题1．设图G =<V ，E >，其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={<a 1, a 2>，<a 2, a 4>，<a 3, a 1>，<a 4, a 5>，<a 5, a 2>}（1）试给出G 的图形表示； （2）求G 的邻接矩阵；（3）判断图G 是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？2．设图G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1, v 2)，(v 1, v 3)，(v 2, v 3)，(v 2, v 4)，(v 3, v 4)，(v 3, v 5)，(v 4, v 5) }，试（1）画出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（2）求出每个结点的度数； （4）画出图G 的补图的图形． 3．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试（1）给出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵； （3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形． 4．图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵；（3）求出G 权最小的生成树及其权值．5.用Dijkstra 算法求右图中A 点到其它各点的最短路径。
离散数学第七章图的基本概念知识点总结
图论部分第七章、图的基本概念7. 1无向图及有向图无向图与有向图多重集合：元素可以重复出现的集合无序积：{(x, y) |定义无向图Q<K£>,其中(1) 顶点集$0,元素称为顶点(2) 边集F为k&f的多重子集，其元素称为无向边，简称边.例如，如图所示，其中心⑷，…，心，&{(旳，匕)，(匕，匕),(迫，方)，(乃，方)，(迫，％), (s, %),(必，％)} 定艾有向图E>,其中(1) $同无向图的顶点集，元素也称为顶点(2) 边集F为的多重子集，其元素称为有向边，简称边.用无向边代替0的所有有向边所得到的无向图称作Q的基图，右图是有向图, 试写出它的！/和F注意：图的数学定艾与图形表示，在同构(待叙)的意狡下是一一对应的通常用G表示无向图，0表示有向图，也常用G泛指无向图和有向图，用6表示无向边或有向边.K6), E(G, Eg G和D的顶点、集,边集.77阶图：”个顶点的图有限图：K F都是有穷集合的图零图：吕0平凡图：1阶零图空图：^=0顶点和边的关联与相邻：定狡设e*,v)是无向图G^<V f E>的一条边，称v…匕为e*的端点，©与v, ( 16)关联.若Vi H V”则称故与Vi ( v)的关联次数为1;若匕=匕，则称6为环，此时称◎与匕的关联次数为2;若匕不是鸟端点, 则称鼓与匕的关联次数为0.无边关联的顶点称作孤立点.定义设无向图=<V, E>, v if K e“e《E,若©，匕)e£；则称乙匕相邻；若％ &至少有一个公共端点，则称6, 8/相邻.对有向图有类似定义.设6二〈乙匕〉是有向图的一条边，又称匕是牧的始点，V」是6的终点，K邻接到Vj.匕邻接于Vi.邻域和关联集邻域和关联集设无向图^veV(G)”的邻域谑克匕(6A3"(G)A亦}1 的闪邻域2V(V)=M V)U{V)丫的关联集7(v)=fej族要(G>e与咲联}设有向图空厲蚀)1的后绅元集石(护{边煖玖刀人今炉訪⑹付妙、的先驱元集纭(忙甸頰匕(D)人Y细>“(C)人T1的邻域E(v)=“e)u巧(巧'的丙邻域jv D(v) = 1V23(v)U{v}顶点的度数设G=<V,E>为无向图，keKy的度数(度)〃3): #作为边的端点次数之和悬挂顶点：度数为1的顶点悬挂边：与悬挂顶点关联的边G 的最大度zl(Q 二max {〃(“)| i/e HG的最小度&Q=min{d(访| keH例如〃(％)二3, 〃(乃)二4, 6/(I/.) =4,zl(6)=4, J(6)=1, r4是悬挂顶点，g是悬挂边,设^=<K £>为有向图，reKi/的出度dW: y作为边的始点次数之和1/的入度力3) ：#作为边的终点次数之和1/的度数(度)〃3)：#作为边的端点次数之和d(v)~ / (#) + d(v)。
高中图论知识点总结
高中图论知识点总结图论是离散数学中的一个重要分支，是研究图与网络结构的数学理论。
图论的研究对象是图，图由顶点集合和边集合组成，通过顶点和边的连接关系描述了事物之间的关系。
图论在计算机科学、网络科学、社交网络分析等领域有着广泛的应用。
下面将对高中图论的知识点进行总结。
一、图的基本概念1.1 图的定义图（Graph）是由非空的顶点集和边集组成的一个数学模型。
无向图是边不带方向的图，有向图是边带有方向的图，边上有权值的图称为加权图。
1.2 图的表示图可以通过邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。
邻接矩阵是将图的边关系存储在一个二维数组中，邻接表是将每个顶点的邻接顶点列表存储在链表或数组中。
1.3 图的分类图可以根据边的性质分为简单图、多重图、完全图等不同类型。
二、图的遍历2.1 深度优先搜索深度优先搜索（DFS）是一种用于遍历图或树的算法，通过递归或栈的方式实现。
DFS从某一顶点出发，访问它的一个邻接点，然后再访问这个邻接点的一个邻接点，依次进行下去，直到不能继续为止。
DFS的应用包括路径查找、连通性判断、拓扑排序等。
2.2 广度优先搜索广度优先搜索（BFS）是一种用于遍历图或树的算法，通过队列的方式实现。
BFS从某一顶点出发，先访问它的所有邻接点，然后再依次访问这些邻接点的所有未被访问的邻接点，依次进行下去，直到不能继续为止。
BFS的应用包括最短路径查找、连通性判断等。
三、最短路径算法3.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，通过维护一个距离数组和一个已访问顶点集合来不断更新到达各顶点的最短路径。
Dijkstra算法适用于边权值非负的加权图。
3.2 Floyd算法Floyd算法是一种用于求解所有顶点对之间的最短路径的算法，通过动态规划的方式实现。
Floyd算法适用于有向图和无向图。
四、最小生成树算法4.1 Prim算法Prim算法是一种用于求解无向连通图的最小生成树的算法，通过维护一个顶点集合和一个边集合来逐步构建最小生成树。
离散数学复习资料试卷习题与答案
离散数学复习资料试卷习题与答案离散数学总复习资料一、鸽笼原理与容斥原理1．求证边长为1的正方形中放9个点，由这些点构成的三角形中，必有一个三角形面积小于18。
证：把该正方形均分成四个相同的小正方形，则由鸽笼原理知，必有一个小正方形内存在三个点，且这三个点构成的三角形面积小于18。
# 2．对一列21n +个不同整数，任意排列，证明一定存在长为1n +的上升子序列或下降子序列。
证：设此序列为：2121,,,,,k n a a a a +，从ka 开始上升子序列最长的长度为kx ，下降子序列最长的长度为k y ，每一个k a 2(1,2,,1)k n =+都对应了(,)k kx y 。
若不存在长为1n +的上升子序列或下降子序列，那么,k k xn y n ≤≤，形如(,)k k x y 的不同点对至多有2n 个，而k a 有21n +个，则由鸽笼原理知，必有,i j a a 2(11)i j n ≤<≤+同时对应(,)i i x y =(,)j j x y ，由于i j aa ≠，若i j a a <，则i x 至少比j x 大1，若i j a a >，则iy 至少比j y 大1，这均与(,)i i x y =(,)j j x y 矛盾。
故原命题成立。
#3．求}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数。
解： 设A 表示}100,,2,1{ 中被3整除的数的集合，B 表示}100,,2,1{ 中被4整除的数的集合，C 表示}100,,2,1{ 中被5整除的数的集合，则20,25,33===C B A 6,5,8=⋂=⋂=⋂A C C B B A ， 1=⋂⋂C B A ，进而有-⋂⋂-⋂+-+⋃C⋃=+A⋂⋂BBCABABCAACBC---++=+660158252033=故有40AB⋃C⋃UBCA⋃100=60=-=-⋃即},,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数为40。
《离散数学》复习题及答案
《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式?x((A(x)?B(y，x))??z C(y，z))?D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1） P Q →⌝ （2） Q P ⌝→ （3） Q P ⌝↔ （4）Q P →⌝8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0)答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=09、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( )(3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 ?x(P(x)?Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。
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基本要求
深刻理解握手定理及推论的内容并能灵活地应 用它们
深刻理解图同构、简单图、完全图、正则图、 子图、补图、二部图的概念以及它们的性质及 相互之间的关系
记住通路与回路的定义、分类及表示法 深刻理解与无向图连通性、连通度有关的多个
概念 会判别有向图连通性的类型 熟练掌握用邻接矩阵及其幂求有向图中通路与
情况一： +. 证明D中存在长度 +1的圈.
设 = v0v1…vl为极大路径，则l .由于d(v0) ，所以在
上存在
vi1
,
vi2Βιβλιοθήκη ,...,vi 邻接到v0，于是v0v1...vi1 ...vi2 ...vi v0
为D中长度 +1的有向圈
情况二：+ ，只需注意d+(vl) + .
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•解 做无向图G=<V,E>, 其中 V={v| v为与会者}，
E={(u,v) | u,vV且u与v有共同语言，且u v}. 易知G为简单图且vV, d(v)4，于是，u,vV, 有d(u)+d(v) 8，由定理15.7 的推论可知G为哈密 顿图. 服务员在G中找一条哈密顿回路C，按C中 相邻关系安排座位即可.
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第十五章 欧拉图与哈密顿图
第十五章
主要内容 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及判别法 哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 带权图、Dijkstra最短路、货郎担问题
基本要求 深刻理解欧拉图、半欧拉图的定义及判别定理 深刻理解哈密顿图、半哈密顿图的定义. 会用哈密顿图的必要条件判断某些图不是哈密顿图. 会用充分条件判断某些图是哈密顿图. 要特别注意的
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练习3(续)
D的邻接矩阵的前4次幂.
1 2 0 0 A 0 0 1 0
1 0 0 1 0 0 1 0
1 2 2 0 A2 1 0 0 1
1 2 1 0 1 0 0 1
3 2 2 2 A3 1 2 1 0
2 2 2 1 1 2 1 0
5 6 4 2 A4 2 2 2 1
方法二：反证法
否则，由握手定理推论可知，“G至多有4个5度 顶点并且至多有4个6度顶点”，这与G是 9 阶图 矛盾.
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练习2
2．设D=<V,E>为有向简单图，已知 (D) 2，+(D)>0， (D)>0，证明D中存在长度 max{+,}+1的圈.
用扩大路径法证明.
图论 总复习
第十四章 图的基本概念
第十四章
主要内容 无向图、有向图、关联与相邻(也称为邻
接)、简单图、完全图、正则图、子图、补 图、二部图；握手定理与推论；图的同构 通路与回路及其分类 无向图的连通性与连通度 有向图的连通性及其分类 有向图的强分图、单向分图、弱分图 图的矩阵表示
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7.5 平面图
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练习3
3．有向图D如图所示，回答下列各问： (1) D中有几种非同构的圈？ (2) D中有几种非圈非同构的简单回路？ (3) D是哪类连通图? (4) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多少 条？其中几条是非初级的简单通路？ (5) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少 条？讨论它们的类型. (6) D中长度为4的通路（不含回路）有多少条？ (7) D中长度为4的回路有多少条？ (8) D中长度4的通路有多少条？其中有几条是回路？ (9) 写出D的可达矩阵.
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练习3 (续)
(1) D中有几种非同构的圈？ (2) D中有几种非圈非同构的简单回路？ (3) D是哪类连通图?
(1) D中有3种非同构的圈， 长度分别为1,2,3. (2) D中有3种非圈的非同构 的简单回路，它们的长度分 别为 4,5,6. (3) D是强连通的.
是，不能将必要条件当作充分条件，也不要将充分 条件当必要条件. 会用Dijkstra算法求最短路
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7.5 平面图
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练习1 证明下图不是哈密顿图. (破坏必要条件)
方法一. 利用定理15.6， 取 V1 = {a, c, e, h, j, l}，则
p(GV1) = 7 > |V1| = 6
回路数的方法，会求可达矩阵
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练习1
9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就 是6. 证明G中至少有5个6度顶点或至少有 6个5度顶点.
方法一：穷举法
设G中有x个5度顶点，则必有(9x)个6度顶点， 由握手定理推论可知，(x,9x)只有5种可能： (0,9), (2,7), (4,5), (6,3), (8,1）它们都满足要求.
方法二. G为二部图，互补顶点子集 V1 = {a, c, e, h, j, l}, V2 = {b, d, f, g, i, k, m}，
|V1| = 6 7 = |V2|.
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7.5 平面图
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练习2
2．某次国际会议8人参加，已知每人至少与其余7人中的4人 有共同语言，问服务员能否将他们安排在同一张圆桌就座， 使得每个人都与两边的人交谈？
4 4 3 2 2 2 2 1
(4) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多少 条？其中几条是非初级的简单通路？
(5) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少 条？讨论它们的类型.
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练习3(续)
(4) v1到v4长度为1,2,3,4的通路数分别为0,0,2,2. 其中只有 长度为4的两条是非初级的简单通路（定义意义下），见 下图所示.
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练习3(续)
(5) v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为 1,1,3,5. 其中长度为1的是初级的(环)；长度 为2的是复杂的；长度为3的中有1条是复杂 的，2条是初级的；长度为4的有1条是复杂 的，有4条是非初级的简单回路. (6) 长度为4的通路(不含回路)为33条. (7) 长度为4的回路为11条. (8) 长度4的通路88条，其中22条为回路. (9) 44的全1矩阵.