简单曲线的极坐标方程练习题有答案

简单曲线的极坐标方程

1.在极坐标系中，求出满足下列条件的圆的极坐标方程

圆心位置 极坐标方程

图 形

圆心在极点(0，0) 半径为r ρ＝r (0≤θ<2π)

圆心在点(r ，0) 半径为r ρ＝2r cos_θ (－π2≤θ<π2) 圆心在点(r ，π

2)

半径为r ρ＝2r sin_θ (0≤θ<π) 圆心在点(r ，π) 半径为r ρ＝－2r cos_θ (π2≤θ<3π2) 圆心在点(r ，3π

2)

半径为r

ρ＝－2r sin_θ (－π<θ≤0)

圆心C (ρ0，θ0)，半径为r

ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2

＝0.

2.在极坐标系中，求出满足下列条件的直线的极坐标方程

3.将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程

直线位置 极坐标方程

图 形

过极点， 倾斜角为α

(1)θ＝α(ρ∈R ) 或θ＝α＋π(ρ∈R ) (2)θ＝α(ρ≥0) 和θ＝π＋α(ρ≥0)

过点(a ，0)，且 与极轴垂直

ρcos_θ＝a ⎝⎛⎭

⎫－π2<θ<π

2

过点⎝⎛⎭

⎫a ，π

2，且与极轴平行 ρsin_θ＝a (0<θ<π)

过点(a ，0)倾斜角为α ρsin(α－θ)＝a sin α(0<θ<π)

过点P (ρ0，θ0)，倾斜角为α

ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．

①x ＋y ＝0；②x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)．

(2)将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；并判定曲线形状： ①ρcos θ＝2；②ρ＝2cos θ；③ρ2cos 2θ＝2；④ρ＝1

1－cos θ

.

[思路点拨] (1)先把公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线(含直线)的直角坐标方程，再化简．

(2)先利用公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2代入曲线的极坐标方程，再化简．

[解] (1)①将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x ＋y ＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0， 即ρ(sin θ＋cos θ)＝0，

∴tan θ＝－1，θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π

4

(ρ≥0)，

∴直线x ＋y ＝0的极坐标方程为θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π

4(ρ≥0)．

②将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0得 ρ2＋2aρcos θ＝0，∴ρ＝0或ρ＝－2a cos θ. 又ρ＝0表示极点，而极点在圆ρ＝－2a cos θ上 ∴所求极坐标方程为ρ＝－2a cos θ

(2)①∵ρcos θ＝2，∴x ＝2，即直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2， 它表示过点(2，0)且垂直于x 轴的直线， ②∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x . ∴(x －1)2＋y 2＝1，即ρ＝2cos θ的直角坐标方程． 它表示圆心为(1，0)，半径为1的圆． ③∵ρ2cos 2θ＝2， ∴ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝2， 即ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝2， ∴x 2－y 2＝2，

故曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的等轴双曲线．

④∵ρ＝1

1－cos θ，∴ρ＝1＋ρcos θ，

∴x 2＋y 2＝1＋x ，

两边平方并整理得y 2＝2⎝⎛⎭

⎫x ＋12， 故曲线是顶点为⎝⎛⎭⎫－1

2，0，焦点为F (0，0)，准线方程为x ＝－1的抛物线． 4.曲线x 2＋y 2＝2x 2＋y 2的极坐标方程是____________．

解析：∵x 2＋y 2＝ρ2，ρ≥0，∴ρ＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＝2x 2＋y 2可化为ρ2＝2ρ，即ρ(ρ－2)＝0. 答案：ρ(ρ－2)＝0

5.曲线ρsin ⎝⎛⎭

⎫θ－π

4＝0的直角坐标方程是______________． 解析：∵ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝0，∴22ρsin θ－2

2ρcos θ＝0， ∴ρsin θ－ρcos θ＝0，即x －y ＝0. 答案：x －y ＝0

6.圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心坐标是( )

A.⎝⎛⎭⎫5，－2π

3 B.⎝⎛⎭⎫5，2π3 C.⎝⎛⎭

⎫5，π3 D.⎝

⎛⎭⎫5，5π3 解析：选D.∵ρ＝5cos θ－5 3 sin θ， ∴ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝5x －53y ， ∴⎝⎛⎭⎫x －522

＋⎝⎛⎭⎫y ＋5322

＝25， ∴圆心C ⎝⎛⎭⎫52，－532，ρ＝

254＋75

4

＝5， tan θ＝y x ＝－3，θ＝5π

3

∴圆心C 的极坐标为C ⎝⎛⎭⎫5，5π3. 7.极坐标方程ρ＝cos(π

4

－θ)表示的曲线是( )

A ．双曲线

B ．椭圆

C ．抛物线

D ．圆

解析：选D.∵ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ，即ρ＝2

2(cos θ＋sin θ)， ∴ρ2＝

2

2

(ρcos θ＋ρsin θ)， ∴x 2＋y 2＝

22x ＋22y ，即⎝

⎛⎭⎫x －242＋⎝⎛⎭⎫y －242

＝14. 8.曲线的极坐标方程为ρ＝tan θ·

1

cos θ

，则曲线的直角坐标方程为__________． 解析：∵ρ＝tan θ·1

cos θ

，

∴ρcos 2θ＝sin θ，∴ρ2cos 2θ＝ρsin θ， ∴x 2＝y . 答案：x 2＝y

9.直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．

[解析] (1)由公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线2ρcos θ＝1的直角坐标方程为2x ＝1，

圆

ρ＝2cos θ⇒ρ2＝2ρcos θ的直角坐标方程为

x 2＋y 2－2x ＝0⇒(x －1)2＋y 2＝1，

由于圆心(1，0)到直线的距离为1－12＝1

2

，所以弦长为2

1－⎝⎛⎭⎫122

＝ 3.

10.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π

3，则|CP |＝________．

(2)由圆的极坐标方程ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 所以(x －2)2＋y 2＝4，

所以圆心C (2，0)，半径r ＝|OC |＝2， 如图，在△OCP 中， ∠POC ＝π

3

，|OP |＝4.

由余弦定理，得|PC |2＝|OP |2＋|OC |2－2|OP ||OC |·cos ∠POC ＝42＋22－2×4×2cos π

3

＝12， 所以|PC |＝2 3. [答案] (1)3 (2)2 3

11.(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C 1，C 2的极坐标方程；

(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π

4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△

C 2MN 的面积．

[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.

(2)将θ＝π

4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得

ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.

由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为1

2

.