高三一轮复习-指数函数与对数函数(带答案)

个性化辅导授课教案
指数函数与对数函数
一、指数函数
【考情解读】
1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；
2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；
3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用． 【重点知识梳理】 1．根式的性质 (1)(n
a )n ＝a .
(2)当n 为奇数时n
a n ＝a . 当n 为偶数时n
a n ＝{ a a ≥0
－a
a <0
.
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念
①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N *)． ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．
③负整数指数幂：a －
p ＝1a
p (a ≠0，p ∈N *)．
④正分数指数幂：a m n ＝n
a m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．
⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1
n
a m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．
⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质
①a r a s ＝a r ＋
s (a >0，r 、s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r 、s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质
y ＝a x
a >1
0<a <1
图象
定义域 (1)R 值域
(2)(0，＋∞) 性质
(3)过定点(0,1)
(4)当x >0时，y >1；
x <0时，0<y <1
(5)当x >0时，0<y <1； x <0时，y >1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
【高频考点突破】 考点一 指数幂的运算
例1、 (1)计算：(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－
1；
(2)已知x 12＋x －1
2＝3，求x 2＋x －
2－2x 32＋x －3
2
－3的值．
【探究提高】
根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．
【变式探究】计算下列各式的值：
(1)⎝⎛⎭⎫－278－23＋(0.002)－1
2－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)
1
5＋2
－(3－1)0－9－45； (3)a 3b 23ab 2
a 14
b 124a －13b 13
(a >0，b >0)．
考点二 指数函数的图象、性质的应用 例2、 (1)函数f (x )＝a x
－b
的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是 ( )
A ．a >1，b <0
B ．a >1，b >0
C ．0<a <1，b >0
D ．0<a <1，b <0 【答案】 (1) D 【解析】由f (x )＝a x
－b
的图象可以观察出函数f (x )＝a x
－b
在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －
b 的
图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.
(2)求函数f (x )＝3x 2－5x ＋4的定义域、值域及其单调区间． 【解析】依题意x 2－5x ＋4≥0，解得x ≥4或x ≤1， ∴f (x )的定义域是(－∞，1]∪[4，＋∞)．
【探究提高】
(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． (2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对其中的参数进行讨论． 【变式探究】 (1)函数y ＝e x ＋e －
x
e x －e
－x 的图象大致为
( )
【答案】A
【解析】y ＝e x ＋e －
x e x －e －x ＝1＋2e 2x －1，当x >0时，e 2x －1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2
e 2x －1>1且随着x
的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有A 正确．
(2)若函数f (x )＝e －(x －μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________. 【答案】1
【解析】由于f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，
即e －(－x －μ)2＝e －(x －μ)2，∴(x ＋μ)2＝(x －μ)2，∴μ＝0， ∴f (x )＝e －x 2.又y ＝e x 是R 上的增函数，而－x 2≤0， ∴f (x )的最大值为e 0＝1＝m ，∴m ＋μ＝1. 考点三 指数函数的综合应用
例3、(1)k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？ (2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －1
2|x |.
①若f (x )＝3
2
，求x 的值；
②若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．
【解析】(1)函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．
当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方
程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所 以方程有一解；
当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．
【探究提高】对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f (x )＝g (x )解的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数；复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构．
【变式探究】已知f(x)＝
a
a2－1
(a x－a－x) (a>0且a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．【解析】(1)因为函数的定义域为R，所以关于原点对称．
又因为f(－x)＝a
a2－1
(a－x－a x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
二、对数函数
【考情解读】
1.考查对数函数的图象、性质；
2.考查对数方程或不等式的求解；
3.考查和对数函数有关的复合函数问题．
【重点知识梳理】
1．对数的概念
一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么
①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M
N ＝log a M －log a N ；
③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝n
m log a M .
(2)对数的性质
①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式
①换底公式：log b N ＝log a N
log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；
②log a b ＝1
log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .
3．对数函数的图象与性质
a >1 0<a <1
图 象
性 质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0
(4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 (5)当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． 【高频考点突破】 考点一 对数式的运算 例1、计算下列各式： (1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)
lg 3
2－lg 9＋1·
lg 27＋lg 8－lg 1 000
lg 0.3·lg 1.2
；
(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．
【探究提高】
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．
(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧． 【变式探究】 求值：(1)log 89
log 23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；
(3)12lg 3249－4
3lg 8＋lg 245. 【解析】(1)原式＝log 2332log 23＝2
3.
(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg 105
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5) ＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1. (3)原式＝lg 42
7
－lg 4＋lg(75) ＝lg
42×757×4＝lg 10＝1
2
. 考点二 对数函数的图象与性质
例2、已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 1
23)，c
＝f (0.2
－0.6
)，则a ，b ，c 的大小关系是
( )
A ．c <a <b
B ．c <b <a
C ．b <c <a
D ．a <b <c
【答案】B
【探究提高】
(1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；
(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想． 【变式探究】 (1)已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8
，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为
( ) A ．c <b <a B ．c <a <b
C ．b <a <c
D ．b <c <a
【答案】A
【解析】b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8
＝20.8<21.2
＝a ， c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ， 故c <b <a .
(2)已知函数f (x )＝log a (x ＋b ) (a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________. 【答案】2 2
【解析】f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1b ＝a ，即⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＝2a ＝2. 考点三 对数函数的综合应用 例3、已知函数f (x )＝log a (3－ax )．
(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．
【探究提高】
解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质
(1)要分清函数的底数a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；
(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．
【变式探究】已知函数f(x)＝log a(8－2x) (a>0且a≠1)．
(1)若f(2)＝2，求a的值；
(2)当a>1时，求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值．。