线性代数第五章

定义
综上所述: 对于给定的 n 阶实方阵 A (aij )nn ，求它的特征值就是求它的特征方程的 n 个根． 对于任意取定一个特征值 0 ，其对应特征向量就是相应齐次线性方程组 (0En A)x 0 的所有非零解． 注意：虽然零向量也是 (0En A)x 0 的解，但 0 不是 A 的特征向量．
证明：先用归纳法证明，对于任何自然数 k ，都有 Ak p k p ． 当 k 1时，显然有 Ap p ．假设 Ak p k p 成立，则必有
Ak1 p A(Ak p) A(k p) k Ap k1 p ． 因此，对于任何自然数 k ，都有 Ak p k p ．
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
Ap A(k1 p1 k2 p2 ) k1Ap1 k2 Ap2 0 (k1 p1 k2 p2 ) 0 p ． 由此可见， A 的属于同一个特征值 0 的若干个特征向量的任意非零线性组合必是 A 的 属于特征值 0 的特征向量．
5.1.1 特征值与特征向量的定义
例题
例3
设
A
1 2
2 4
0 1
1
0 1
．
这说明 A 和 A 属于同一个特征值的特征向量可以是不相同的．
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
定理 2 设 1 ，2 ，L ，n 是 n 阶方阵 A (aij )nn 的全体特征值，则必有
n
n
n
i aii tr(A) ， i | A | ．
i 1
i 1
i 1
例6
求
A
0 1
1
0
的特征值和特征向量．
解：特征方程
| E2 A |
1
1 2 1 0
的两个根为 1 i ，2 i ，这里， i 1 是纯虚数．
用来求特征向量的齐次线性方程组为
1
1
x1 x2
0 0
．
属于特征值 1
i
的特征向量满足： ixx11
x2 ix2
0 0
线性代数
第5章 矩阵相似与对角化
5.1 特征值与特征向量 5.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件 5.3 向量的内积与正交矩阵 5.4 实对称矩阵的相似标准形 5.5 应用实例
5.1 特征值与特征向量
5.1.1 特征值与特征向量的定义
引例
例 1（工业增长模型） 我们考察一个在第三世界可能出现的有关污染与工业发展的工
即 A 和 A 有相同的特征多项式，因而它们必有相同的特征值．
注意： A 和 A 未必有相同的特征向量，即当 Ap p 时，未必有 A p p ．例如，取
A
1 0
1 1
，p
1
0
，
1，则有
1
0
1 1
1
0
1
1
0
，
1 1
0 1
1
0
1 1
1
1
0
，
1 1
0 1
n
n
i aii ．
i 1
i 1
将上述证明思路以二阶方阵为例进行说明．设
A
a11 a21
a12 a22
，它的特征方程为
| E2
A|
a11 a21
a12 a22
2 (a11 a22 ) (a11a22 a12a21 ) 0 ．
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
又 A 的两个特征值 1 ，2 满足 | E2 A | ( 1)( 2 ) 2 (1 2 ) 12 0 ．
业增长模型．设 P 是现在污染程度， D 是现在工业发展水平； P 和 D 分别是五年后的污染
程度和工业发展水平．假定根据其他发展中国家类似的经验，随后五年污染和工业发展的预
测公式为
P P 2D ，D 2P D
写成矩阵形式为
其中，
A
1 2
2 1
．
P
D
A
P
D
5.1.1 特征值与特征向量的定义
比较这两个方程的系数，即得 1 2 a11 a22 tr( A) ， 12 a11a22 a12a21 | A | ．
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
定理 3 设 A 为 n 阶方阵， f ( A) am Am am1Am1 L a1A a0 En 为 m 次多项式，也 是对 A 的方阵多项式．如果 Ap p ，则必有 f (A) p f () p ．这说明 f () 是 f (A) 的特征 值．特别地，当 f (A) O 时，必有 f () 0 ，即当 f (A) O 时，A 的特征值是对应的 m 次 多项式 f(A)的根．
不是 A 的特征值？ 解：因为 A En ，所以必有 A En O ， r(A En ) …1 ．由
r(A En ) r A( En ) n
可知，必有 r(A En ) n ，即| A En | 0 ．所以， 1是 A 的特征值．
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
命题 1 实方阵的特征值未必是实数，特征向量也未必是实向量．
a1 * L
A
0 M
a2 M
L O
0 0 L
*
*
M
，
an
则
a1 0
| En A | M 0
* L a2 L
MO 0L
*
* M an
n
( ai ) ， i 1
它的 n 个根就是 A 的 n 个对角元素．
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
命题 3 一个向量 p 不可能是属于同一个方阵 A 的不同特征值的特征向量． 事实上，如果
， ，可取特征向量
p1
1
i
．
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
属于特征值 2
i
的特征向量满足：
ixx11
x2 ix2
0 0
， ，可取特征向量
p2
1 i
．
此例说明，虽然 A 是实方阵，但是它的特征值和特征向量都不是实的．
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
命题 2 三角矩阵的特征值就是它的全体对角元素． 例如，设 A 是上三角矩阵
(
1) x1 2x1
(
2x2 4) x2
0， 0．
5.1.1 特征值与特征向量的定义
例题
属于 1
0 的特征向量满足线性方程组 2xx11
2 x2 4 x2
0 0
， ，可取解
p1
2 1
．
属于 2
5
的特征向量满足线性方程组
24xx11
2 x2 x2
0 0
， ，可取解
p2
1
对应多项式为 f (x) x2 2x 3 ，所以 B 的特征值就是 f (1) 2，f (3) 6 ．
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
例题
例 8 求以下特殊 n 阶方阵 A 的所有可能的特征值（m 是某个正整数）．
（1） Am O ；
（2） A2 En ．
解：设 Ap p ，则 Am p m p ， p 0 ．
2
．
p1 和 p2 就是 A 的两个线性无关的特征向量，容易验证
1
Ap1
2
2 2
4
1
0
0
2
0
1
1 p1 ，
Ap2
1
2
2 4
1 2
5 10
5
1 2
2
p2
所以，属于 1 0 的特征向量全体为 k1 p1 ， k1 为任意非零常数；属于 2 5 的特征向量 全体为 k2 p2 ， k2 为非零常数．
于是，必有
f ( A) p (am Am am1 Am1 L a1 A a0 En ) p
am ( Am p) am1( Am1 p) L a1( Ap) a0 (En p)
(am m
a m1 m1
L
a1 a0 ) p
f () p．
当 f (A) O 时，必有 f (A) p f () p ．因为 p 0 ，所以 f () 0 ．
这里， tr(A) 为 A (aij )nn 中的 n 个对角元素之和，称为 A 的迹（trace）；| A | 为 A 的行
列式．
证明：在关于变量 的恒等式
n
n
| En A | ( 1)( 2 )L ( n ) n ( i ) n1 L (1)n i
i 1
i 1
n
中，取 0 即得 | A | (1)n i ，所以必有 i 1
Ap p ，
则称 是 A 的一个特征值，称 p 是 A 的属于这个特征值 λ 的一个特征向量． 定义 2 带参数 的 n 阶方阵 En A 称为 A 的特征方阵，它的行列式| En A | 称为 A
的特征多项式，| En A | 0 称为 A 的特征方程．
5.1.1 特征值与特征向量的定义
引例
若 P 1，D 1 ，则 P 11 21 3， D 2111 3．
若 P 3，D 3，则 P 13 23 9 ， D 23 13 9 ．
推广这些计算，若
P
a
，D
a
，则
P
3a
，D
3a
．也就是说，若
P D
a a
，则
P D
1 2
2 a
1
a
a3 3a
5.1.1 特征值与特征向量的定义
例题
例 4 当 A 的特征方程分别为 | 2En A | 0，| En A | 0 时，求 A 的特征值． 解：当 | 2En A | 0 时，根据特征值的定义可知，2 就是 A 的特征值．当| En A | 0 时，
因为 | En A | (1)n | En A | 0 ，所以， 1是 A 的特征值． 例 5 设 A 为 n 阶方阵，但不是单位矩阵．当 r(A En ) r(A En ) n 时，请问 1是
5.1.1 特征值与特征向量的定义
例题
例 2 任意取定 A 的一个特征值 0 ，如果 p1 和 p2 都是 A 的属于特征值 0 的特征向量， 且 k1 p1 k2 p2 0 （ k1 和 k2 为任意实数），试证 p k1 p1 k2 p2 必是 A 的属于特征值 0 的特征 向量．
证明：由所设条件知
因此，求方阵多项式的特征值有非常简便的计算方法，即只要 λ 是 A 的一个特征值，那
么 f(λ)一定是 f(A)的特征值．
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
例题
例7
设
A
1 0
2
3
，求
B
A2
2A
3E2
的所有特征值．
解：因为上三角矩阵 A 的特征值就是它的对角元素 1 和 3，而由 B A2 2A 3E2 可知，
n
| A | i ． i 1
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
再根据行列式定义可得
| En A | ( a11)( a22 )L ( ann ) {(n!1)个不含 n和 n1项}
n
n ( aii ) n1 L {(n!1)个不含 n和 n1项}． i 1
比较 | En A | 两个展开式中 n1 项的系数，即得
（1）由 m p Am p O p 0 和 p 0 可知， 0 ；
（2）由 2 p A2 p En p p 和 p 0 可知， 2 1 ，即 1．
注：上述两个特殊方阵分别称为幂零矩阵与对合矩阵．因此，幂零矩阵的特征值必为 0，
对合矩阵的特征值必为±1.
5.1.3 求特征值和特征向量的一般方法
Ap p ， Ap p ， 则 ( ) p 0 ．因为 p 0 ，所以必有 ．
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
定理 1 n 阶方阵 A 和它的转置矩阵 A 必有相同的特征值． 证明：因为 (A E)T AT (E)T AT E ，所以
| AT E | | ( A E)T | | A E |，
3
a a
(a
0 )．
所以，对矩阵
A
来说，数
3 具有特殊的意义，因为对任意一个形如
p
a a
的向量来说，
都有
Ap
3p
．数
3 就称为
A
的一个特征值，而
p
a a
(a
0)
是
A特征值与特征向量的定义
定义
定义 1 设 A (aij )nn 为 n 阶实方阵，如果存在某个数 和某个 n 维非零列向量 p 满足
，求
A
的所有特征值和特征向量．
解：
A
的特征方阵为
En
A
1
2
2 4
．
A
的特征方程为
| En A |
1 2
2 4
( 5) 0 ，
它的两个根为 1 0 ，2 5 ，这就是 A 的两个特征值．
用来求特征向量的齐次线性方程组为
1
2
2 4
x1 x2
0 0
，
即
例题
6 2 4
例9
求
A
2
3
2 的特征值以及线性无关特征向量．
4 2 6
解： A 的特征多项式为
6 E3 A 2
4
2 3 2
4 2 c1 c3
6
2 0
2
2 3 2
4 2 r3 r1
6
2 0 0
2 3 4
4 2 10
( 2)[( 3)( 10) 2 4] ( 2)(2 13 22) ( 2)2 ( 11) ，