利用导数求函数的极值和最值

利用导数求函数的极值和最值

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上课重点：掌握导数与函数极值最值的的关系

上课规划：解题方法和技巧 考点一 函数的单调性与极值

1、函数2()(1)f x x x =-的极大值与极小值分别是___________．

2、函数31()443

f x x x =-+的极大值是 ；极小值是 ．

3、曲线3223y x x =-共有____个极值．

4、函数3()3(0)f x x ax b a =-+>的极大值为6，极小值为2，则()f x 的单调递

减区间是 ．

5、求函数43()4f x x x =-的单调区间与极值点．

6、求函数3()3f x x x =-的单调区间与极值．

7、求函数32()32f x x x =-+的单调区间与极值．

8、求函数42()23f x x x =-+的单调区间与极值．

探究：用导数法求函数()(0)b f x x b x

=+>的单调区间与极值

6、有下列命题：

①0x =是函数3y x =的极值点；

②三次函数32()f x ax bx cx d =+++有极值点的充要条件是230b ac ->； ③奇函数32()(1)48(2)f x mx m x m x n =+-+-+在区间(4,4)-上是单调减函数． 其中假命题的序号是 ．

考点二 利用函数的极值求参数或取值范围

例题：已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且知当1-=x 时取得极大值7，当3=x 时取得极小值，试求函数)(x f 的极小值，并求c b a ,,的值。

(一）定值

1、设函数32()1f x x ax bx =++-，若当1x =时，有极值为1，则函数32()g x x ax bx =++的单调递减区间为 ．

2、函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

3、函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283，在22x =有极小值是43

-，则a = ；b = ．

4、若函数322y x x mx =-+，当13

x =时，函数取得极大值，则m 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．23

（二）取值范围

1、设a ∈R ，若函数x y e ax x =+∈R ，

有大于零的极值点，则（ ） A ．1a <- B ．10a -<< C ．10a e -<< D ．e

a 1-< 2、若函数3()63f x x bx

b =-+在(01)，内有极小值，

则实数b 的取值范围是（ ） A ．(01)， B ．(1)-∞，

C ．(0)+∞，

D ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3、函数31()43f x x a x =

++有极大值又有极小值，则a 的取值范围

是 ．

4、若函数[]32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值又有极小值，则a 的取值范

围是______．

考点三 导数的综合运用

数学思想方法

（一) 函数与方程（不等式)的思想

例题:设函数56)(3+-=x x x f ，R x ∈

（1）求函数)(x f 的单调区间和极值

（2）若关于x 的方程a x f =)(有三个不同实根，求实数a 的取值范围

1、方程0ln 2)1)(2(=---x x a ，在)21

,0(无解，求实数a 的范围。

2、已知函数42)(23-++=x x x x f ，8)(2-+=x ax x g ，若对任意的),0[+∞∈x 都有)()(x g x f ≥，求实数a 的取值范围

3、设a 为实数，函数R x a x e x f x ∈+-=,22)(

求证：当12ln ->a ，且0>x 时..122+->x x e x α

（二）分类讨论思想

例题;已知函数2()(2)e ax f x ax x =-，其中a 为常数，且0a ≥. （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值点；

（Ⅱ）若函数()f x 在区间(2,2)上单调递减，求实数a 的取值范围.

1、已知函数21()ln ,()(1),12

f x x a x

g x a x a =+=+≠-．若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；

基础训练

1、已知函数32()393f x x x x =-++-， ⑴求()f x 的单调递减区间与极小值；

⑵求()f x 过点(18)，的切线方程．

2、已知函数2221

()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ．

⑴当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； ⑵当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．

3、设函数32()23(1)1f x x a x =--+，其中1a ≥．

⑴求()f x 的单调区间；⑵讨论()f x 的极值．

4、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠．

⑴ 若曲线()y f x =在点()()22f ，处与直线8y =相切，求a b ，的值；

⑵ 求函数()f x 的单调区间与极值点．

5、已知函数32()31(0)f x kx x k =-+≥．

⑴求函数()f x 的单调区间；⑵若函数()f x 的极小值大于0，求k 的取值范围．

6、已知函数()6ln (0)f x x x =>和2()8g x ax x =+（a 为常数）的图象在3x =处

有平行切线．

⑴求a 的值；

⑵求函数()()()F x f x g x =-的极大值和极小值．