微分方程的普通解法

微分方程的解法

1. 微分方程的基本概念

常微分方程, 微分方程的阶, 微分方程的解、通解, 初始条件和特解的概念。

2. 一阶微分方程

掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 会解齐次方程和贝努利方程并从中领会变量代换求解微分方程的思想。

3. 可降阶的高阶方程

会

)()(x f y n =,),(y x f y '='',),(y y f y '=''的降阶解法。

4. 二阶线性微分方程

理解二阶线性微分方程解的结构。

掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法，了解高阶常系数线性齐次微分方程的解法。

会求非齐次项形如

x

m e x P λ)(, )sin )(cos )((x x P x x P

e n l x

ω+ωλ 的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。

5.例题

例 验证函数

21

2

+

=Cx y 是微分方程012=+-'y y x 的解。 解 将

212+

=Cx y 和Cx y 2='代入012=+-'y y x 的左边得

0112222=+--Cx Cx ,

所以

21

2

+

=Cx y 是方程012=+-'y y x 的解。

例 求微分方程

x y y 212-=

'的通解。 解 这是可分离变量的微分方程, 分离变量得x dx

y dy 212

=-,解

此方程如下:

1ln ln 2111ln 21C x y y +=+-11+-=⇒y y Cx .

即得通解为 )1(1+=-y Cx y .

例 求微分方程2

2

x xy y y -='的通解。

解 这是齐次方程,即12

-⎪⎭⎫

⎝⎛=

x y x y dx dy ，令

x y u =u dx du x dx dy +=⇒

得1-=u u dx du x ,分离变量得

dx

x du u 1)11(=-解得 u Ce xu =

即 x

y Ce y =.

例 求微分方程x x x

y dx dy sin =

+的通解。 解 这是一阶线性非齐次微分方程

x x P 1)(=

,

x x

x Q sin )(=. 由公式可得通解为

⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x x e y x dx x dx sin ,即 x C x x y +

-=cos .

例 微分方程

x e y x

cos 2-='''的解。 解 对方程两端积分三次得

1

2sin 21C x e y x +-='', 2

12cos 41C x C x e y x

+++=', 3

221221

sin 81C x C x C x e y x ++++=.

例 求微分方程

y x y x '=''+2)1(2满足条件 1)0(=y ,3)0(='y

的特解。

y='p

y'

=''

⇒，代入原方

,

=''型的，设p

(y

y'

x

f

解这是)

程得

dx x x p dp 212+=,

积分得

12

ln )1ln(ln C x p ++=. 即

)1(21x C y p +='=,由3)0(='y 得 31=C ,所以 )1(32x y +=',

再积分得

233C x x y ++=,由1)0(=y 得 12=C . 于是所求特解为

133++=x x y .

例 求微分方程2)(2y y y '=''满足条件11==x y ,21='=x y 的

特解。

解 这是),(y y f y '=''型的，设p

y ='dy dp

p

y =''⇒，代入原方程得

y dy

p dp 2=,

积分得 1ln ln 2ln C y p +=.

即 21y C y p ='=,由21='=x y 得21=C ,所以22y y =',再

积分得2

21

C x y +=-,由11

==x y 得 32-=C .于是所求特解

为 x y 231-=

(或321-=-x y ).

例 求微分方程0134=+'-''y y y 的通解。

解 这是二阶常系数线性齐次微分方程,对应的特征方程为

01342=+-r r ,

解得的特征根为 i r 322,1±=,

原方程的通解为

)3sin 3cos (212x C x C e y x

+=.

例 求微分方程25x y y -=-''的通解。

解 对应的齐次方程的通解为x

x e C e C Y 21+=-.

又因2

5)(x x f -=,即25)(x x P m -=,0=λ,λ不是特征根,

所以可设原方程的一个特解为

c bx ax y ++=*2

,代入得 225)(2x c bx ax a -=++-,

比较两边同次幂的系数得 5=a ,0=b ,10=c ,所以得

1052+=*x y .

故所给方程的通解为

x x e C e C y Y y 21+=+=-*1052++x .

例 设函数)(x ϕ连续,且满足

⎰⎰ϕ-ϕ+=ϕx x

x

dt

t x dt t t e x 00)()()(,

求)(x ϕ.

解 由题设得

)

()()()(0x x dt t x x e x x

x

ϕ-ϕ-ϕ+=ϕ'⎰

⎰ϕ-=x

x

dt

t e 0)(,

⇒

)()(x e x x

ϕ-=ϕ'',即 x e x x =ϕ+ϕ'')()( (1)

且 1)0(=ϕ,1)0(=ϕ' (2) 和(1)对应的齐次方程的通解为 x C x C Y sin cos 21+=.

由于x

e x

f =)(1=λ⇒,它不是特征根,可设方程(1)的特

解为x

Ae y =*,代入(1)式得

21=A ,即得x e y 21=*

.于是(1)的通解为