数学八年级上册 分式填空选择单元培优测试卷

数学八年级上册 分式填空选择单元培优测试卷
一、八年级数学分式填空题（难）
1．若关于x 的不等式组64031222x a x x ++>⎧⎪⎨-+⎪⎩有4个整数解，且关于y 的分式方程211a y y ---＝1的解为正数，则满足条件所有整数a 的值之和为_____
【答案】2
【解析】
【分析】
先解不等式组确定a 的取值范围，再解分式方程，解为正数从而确定a 的取值范围，即可得所有满足条件的整数a 的和．
【详解】 原不等式组的解集为
46a --＜x ≤3，有4个整数解，所以﹣1406
a --≤＜，解得：－4＜a ≤2．
原分式方程的解为y =a +3，因为原分式方程的解为正数，所以y ＞0，即a +3＞0，解得：a ＞﹣3．
∵y =a +3≠1，∴a ≠－2，所以－3＜a ≤2且a ≠－2．
所以满足条件所有整数a 的值为－1，0，1，2．
和为－1+0+1+2=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了不等式组的整数解、分式方程，解答本题的关键是根据不等式组的整数解确定a 的取值范围．
2．若关于x 的分式方程
25x -=1-5
m x -有增根，则m 的值为________ 【答案】-2
【解析】 2155
m x x =--- 方程两侧同时乘以最简公分母(x -5)，得 ()25x m =--，
整理，得 7x m =+，即7m x =-.
令最简公分母x -5=0，得
x =5，
∵x =5应该是整式方程7x m =+的解，
∴m =5-7=-2.
故本题应填写：-2.
点睛：
本题考查了分式方程增根的相关知识. 一方面，增根使原分式方程去分母时所使用的最简公分母为零. 另一方面，增根还应该是原分式方程所转化成的整式方程的解. 因此，在解决这类问题时，可以通过令最简公分母为零得到增根的候选值，再利用原分式方程所转化成的整式方程检验这些候选值是否为该整式方程的解，从而确定增根. 在本题中，参数m 的值正是利用x =5满足整式方程这一结论求得的.
3．若方程
256651130
x x k x x x x ---=---+的解不大于13，则k 的取值范围是__________． 【答案】15k ≤且k ≠±1.
【解析】
【分析】 通过去分母去括号，移项，合并同类项，求出112
k x +=
，结合条件，列出关于k 的不等式组，即可求解.
【详解】 256651130
x x k x x x x ---=---+ 方程两边同乘以(x-6)(x-5)，得：22(5)(6)x x k ---=，
去括号，移项，合并同类项，得：211x k =+， 解得：112
k x +=
， ∵方程256651130x x k x x x x ---=---+的解不大于13，且x≠6，x≠5， ∴
11132k +≤且11115622
k k ++≠≠，， ∴15k ≤且k ≠±1.
故答案是：15k ≤且k ≠±1.
【点睛】 本题主要考查含参数的分式方程的解法，掌握分式方程的解法，是解题的关键.
4．已知34(1)(2)x x x ---=1A x -+2
B x -，则实数A=_____． 【答案】1
【解析】 【分析】先计算出()()()()
21212A B x A B A B x x x x +-++=----，再根据已知等式得出A 、B 的方程组，解之可得．
【详解】()()()()()()()()()()
21212121212A x B x A B x A B A B x x x x x x x x --+-++=+=--------， ∵()()3x 4x 1x 2---=A x 1-+B x 2-，
∴324A B A B +=⎧⎨+=⎩
， 解得：12A B =⎧⎨=⎩
， 故答案为1．
【点睛】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握分式加减运算的法则、得出关于A 、B 的方程组是解本题的关键.
5．
函数y =x 的取值范围是______． 【答案】23x -<≤
【解析】
【分析】
根据二次根式及分式有意义的条件，结合所给式子得到关于x 的不等式组，解不等式组即可求出x 的取值范围．
【详解】
由题意得，30200
x x ⎧-≥⎪+≥⎨≠， 解得：-2<x≤3，
故答案为：-2<x≤3.
【点睛】
本题考查了二次根式及分式有意义的条件，注意掌握二次根式有意义：被开方数为非负数，分式有意义分母不为零．
6．化简3m m ++269m -÷23
m -的结果是___________________. 【答案】1
【解析】
【分析】
先进行分式的除法运算，然后再进行分式的加法运算即可得.
【详解】
m m 3++26m 9-÷2m 3
- =
()()63·3332m m m m m -+++- =333
m m m +++ =1，
故答案为：1.
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
7．小明到商场购买某个牌子的铅笔x 支，用了y 元（y 为整数）．后来他又去商场时，发现这种牌子的铅笔降价20%，于是他比上一次多买了10支铅笔，用了4元钱，那么小明两次共买了铅笔________支．
【答案】40或90
【解析】
【分析】
因y 元买了x 只铅笔，则每只铅笔y x 元；降价20%后，每只铅笔的价格是45y x
元，依题意得45y x
（x+10）=4，变形可得x=105y y -，即可得y ＜5；再由x 、y 均是正整数，确定y 只能取3或4，由此求得x 的值，即可得小明两次所买铅笔的数量.
【详解】
因y 元买了x 只铅笔，则每只铅笔
y x 元；降价20%后，每只铅笔的价格是 （1-20%）y x 元，即 45y x 元，依题意得：45y x
（x+10）=4， ∴y （x+10）=5x
∴x=105y y
-， ∴5-y ＞0，即y ＜5；
又∵x 、y 均是正整数，
∴y 只能取3和4；
①当y=3时， x=15，小明两次共买了铅笔：15+15+10=40（支）
②当y=4时， x=40，小明两次共买了铅笔：40+（40+10）=90（支）
故答案为40或90．
【点睛】
本题考查了方程的应用，解决根据题意列出方程4
5
y
x
（x+10）=4确定x、y的值是解决问题
的关键.
8．如果记y＝＝f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝＝
；f（）表示当x＝时y的值，即f（）＝＝；那么f（1）＋f（2）＋f
（）＋f（3）＋f（）＋…＋f（2013）＋f（）＝．
【答案】2012.5
【解析】
试题分析：由题意f（2）＋f（）＝＝1，f（3）＋f（）＝1，…，f（2013）＋f （）＝1，根据这个规律即可求得结果.
由题意得f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋…＋f（2013）＋f（）
＝+1+1+1…＋1＝2012.5．
考点：找规律-式子的变化
点评：解答此类找规律的问题的关键是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.
9．某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，若设甲商品的单价为x元，则购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多____件．
【答案】90 x
【解析】
设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2x元，根据购买240元甲商品的数量比购买300
元乙商品的数量多24030048030090
22
x x x x
-
-==．
故答案为：90 x
.
10．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时
分拣x个物件，则可列方程方程为________．
【答案】
12090
20
x x
=
+
【解析】
【分析】
设小江每小时分拣x个物件，分别表示出小李和小江分拣所用的时间,最后再根据“小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同”体现的等量关系即可列出方程．
【详解】
解：设小江每小时分拣x个物件，根据题意得：
12090
20
x x
=
+
．
故答案为
12090
20
x x
=
+
．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．
二、八年级数学分式解答题压轴题（难）
11．甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动．（1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早15分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？
（2）1月6日甲与丙去攀登另一座h米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发0.5小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h的代数式表示）
【答案】（1）甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）
360
h
h
+
倍.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度；
（2）根据（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本题．
【详解】
（1）设乙的速度为x米/分钟，
900900
15
1.2x x
+＝，
解得，x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解，
∴1.2x=12，
即甲的平均攀登速度是12米/分钟；
（2）设丙的平均攀登速度是y米/分，
12
h +0.5×60＝h y ， 化简，得 y=12360
h h +， ∴甲的平均攀登速度是丙的：1236012360
h h h h ++＝倍， 即甲的平均攀登速度是丙的360h h
+倍．
12．有甲、乙两名采购员去同一家公司分别购买两次饲料，两次购买的饲料价格分别为m 元/千克和n 元/千克，且m≠n ，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少千克的饲料。

（1）甲、乙两次购买饲料的平均单价各是多少？（用字母m 、n 表示）
（2）谁的购买方式比较合算?
【答案】（1）
2m n +元/千克；2mn m n +元/千克；（2）乙的购货方式合算． 【解析】
【分析】
（1）表示出甲乙两人的总千克数与总钱数，用总钱数除以总千克数，即可表示出甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价；
（2）由表示出的甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价相减，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，判断其差的正负，即可得到乙的购货方式合算．
【详解】
（1）根据题意列得：甲采购员两次购买饲料的平均单价为800()16002
m n m n ++=元/千克； 乙采购员两次购买饲料的平均单价为16002800800mn m n m n
=++元/千克； （2）22
2()4()22()2()
m n mn m n mn m n m n m n m n ++---==+++， ∵（m-n ）2≥0，2（m+n ）＞0， ∴202m n mn m n +-+，即22m n mn m n
++， 则乙的购货方式合算．
【点睛】
此题考查了分式的混合运算的应用，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公
分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
13．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b 元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n 所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n 所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，
由1到n 排序，第1所民办学校得奖金
b n
元，然后再将余额除以n 发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n 所民办学校．
（1）请用n 、b 分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金； （2）设第k 所民办学校所得到的奖金为k a 元（1k n ≤≤），试用k 、n 和b 表示k a （不必证明）；
（3）比较k a 和1k a +的大小（k=1，2 ，……，1n -），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．
【答案】（1）211()(1)b b a b n n n n =-⨯
=- ,23111()(1)(1)b b a b n n n n n =-⨯-=-； （2）11
(1)k k b a n n
-=- ； （3）1k k a a +> ．奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少．
【解析】
【试题分析】
（1）根据第1所民办学校得奖金
b n 元，然后再将余额除以n 发给第2所民办学校，得：22311111()(1),()(1)(1).b
b b b a b a b n n n n n n n n n
=-⨯=-=-⨯-=- （2）根据（1）中的两个式子，11
(1)
k k b a n n -=- ； （3）11
(1)k k b a n n -=-，+11(1)k k b a n n
=-，则1111+121111111(1)(1)(1)1(1)(1)(1)0k k k k k k k b b b b b a a n n n n n n n n n n n n
----⎡⎤-=---=---=-⋅⋅=-⋅>⎢⎥⎣⎦，则+1k k a a >.奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少.
【试题解析】
（1）根据题意得：22311111()(1),()(1)(1).b
b b b a b a b n n n n n n n n n
=-⨯=-=-⨯-=- （2）根据（1）中的两个式子，11
(1)
k k b a n n -=- （3）11
(1)k k b a n n -=-，+11(1)k k b a n n
=-，则
1111+121111111(1)(1)(1)1(1)(1)(1)0k k k k k k k b b b b b a a n n n n n n n n n n n n
----⎡⎤-=---=---=-⋅⋅=-⋅>⎢⎥⎣⎦，则+1k k a a >.奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少.
【方法点睛】本题目是一道分式的实际应用问题，第一个问题有难度，依据奖金的分配规则，写出23a a 、 的表达式；第二问在第一问的基础上，找出规律，直接写出k a 的表达式即可；第三问用作差法比较两个分式的大小，若差为正数，则被减数大于减数；若差为0，则被减数等于减数；若差为负数，则被减数小于减数.
14．观察下列等式：
112⨯＝1－12， 123⨯＝12－13， 134⨯＝13－14
. 将以上三个等式的两边分别相加，得：
112⨯＋123⨯＋134⨯＝1－12＋12－13＋13－14＝1－14＝34
. (1)直接写出计算结果：
112⨯＋123⨯＋134
⨯＋…＋()11n n +＝________. (2)仿照112⨯＝1－12， 123⨯＝12－13， 134⨯＝13－14
的形式，猜想并写出： ()
13n n +＝________. (3)解方程： ()()()()()111333669218
x x x x x x x ++=++++++. 【答案】
1n n +；11133n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭
【解析】 试题分析:本题考查分式的运算规律,通过所给等式,可以将(1)展开进行计算, (1)1 12⨯＋123⨯＋134⨯＋…＋()11n n +=11111111112233411
n n n -+-+-+⋯+-=-++, =1
n n +, (2)因为()()()11333333n n n n n n n n n n +-=-=++++=()
133n n +, 所以,()1111 333n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭
, (3)根据(2)的结论将(3)中方程进行化简可得:
()()()()()111333669218
x x x x x x x ++=++++++, 1111111333669x x x x x x ⎡⎤-+-+-⎢⎥+++++⎣⎦=3218x +, 11139x x ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦=3218x +, 解得2x =,
经检验, 2x =,是原分式方程的解.
解：(1) 1
n n + (2) 11133n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ (3)仿照(2)中的结论，原方程可变形为
11111113(333669218
x x x x x x x -+-+-=++++++， 即()
111369x x =+， 解得x ＝2.
经检验，x ＝2是原分式方程的解．
15．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：
?1322x x
+=--. （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2x =，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）0x =;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.
【解析】
【分析】
（1）“？”当成5，解分式方程即可，
（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.
【详解】
（1）方程两边同时乘以()2x -得 ()5321x +-=-
解得 0x =
经检验，0x =是原分式方程的解.
（2）设？为m ，
方程两边同时乘以()2x -得
()321m x +-=-
由于2x =是原分式方程的增根，
x=代入上面的等式得
所以把2
()
3221
m+-=-
m=-
1
所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.
【点睛】
本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．。