2.5具有非齐次边界条件的问题
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w(0, t ) u1 (t ), w(l , t ) u2 (t ),
(84)
2
utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
(79) (80) (81)
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
u x (0, t ) u1 (t ), u(l, t ) u2 (t ); w( x, t ) u1 (t ) x u 2 (t ) lu1 (t ).
u 2 (t ) u1 (t ) 2 x u1 (t ) x. (4) u x (0, t ) u1 (t ), u x (l, t ) u2 (t ); w( x, t ) 2l
因此，原问题(87)的解为
x 2l 2 u ( x, t ) t 1 3 2 l ( n ) a n 1
a 2 ) t ( n nx l 1 sin . e l
10
特别值得注意的是，对于给定的定解问题， 例如：
utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u( x, t ) v( x, t ) w( x),
(92)
x v ( x,0) sin 4 x. v( x,0) w( x) 31 , t l l 为了将 v( x, t ) 的边界条件也化成齐次， 则 w( x)满足
再把(92)代入问题(91)中的定解条件，得 v(0, t ) w(0) 3, v(l , t ) w(l ) 6,
vtt a 2 vxx f1 ( x, t ) (0 x l, t 0),
v(0, t ) v(l , t ) 0,
v( x,0) 1 ( x), vt ( x,0) 1 ( x).
将问题(86)的解代入
x u ( x, t ) v( x, t ) [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). l
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
如果方程中的自由项 f 和边界条件中的 u1 , u 2 都与自变量 t 无关，在这种情形下，我们可选取 辅助函数 w( x ), 通过函数代换 u( x, t ) v( x, t ) w( x), 使方程与边界条件同时化成齐次的。
以上4种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。
7
例1 求解下列问题： ut a 2u xx (0 x l, t 0),
u(0, t ) t , u(l , t ) 0,
(87) 令
u ( x,0) 0,.
t w ( x , t ) x t. 解 选取辅助函数 l
2
(92)
w(wk.baidu.com) 3,
2 2 x cos x 0. l l
(93)
w(l ) 6.
和
vtt a 2u xx (0 x l, t 0),
v(0, t ) 0, v(l , t ) 0, (94) 4 x x. v( x,0) 31 w( x), vt ( x,0) sin l l 14
(79) (80) (81) (82)
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ),
于是可得
x w(t , x) [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). l
因此，令
x u ( x, t ) v( x, t ) [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). l
我们以下面的问题为例，说明选取函数代换 的方法。（也可称为辅助函数法）
1
考察定解问题： utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
(79) (80) (81)
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
2.5
具有非齐次边界条件的问题
本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题
的求解方法。处理这类问题的基本原则是： 无论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅 助函数 w( x, t ), 通过函数代换 u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ), 使得对于新的未知函数v( x, t ) 而言，边界条件为 齐次的。
2 vn (t ) n
2 n
代入 v n (t ) 0 f n ( )e
t
(
na 2 ) ( t ) l
d ,
e
0
t
(
na 2 ) ( t ) l
d
(90) 可得
na 2 ( ) t 2l nx l v ( x, t ) e 1 sin . 3 2 l n 1 ( n ) a 2
则问题(87)化成 x 2 vt a v xx - 1 (0 x l , t 0), l v(0, t ) 0, v(l , t ) 0, (88) v( x,0) 0.
8
t u ( x , t ) v ( x, t ) x t , l
x vt a v xx - 1 (0 x l , t 0), l (88) v(0, t ) 0, v(l , t ) 0, v( x,0) 0.
11
例2 求解下列问题：
2
解
设问题的解为 u( x, t ) v( x, t ) w( x), (92) 将(92)代入问题(91)中的方程，即得 2 2 2
vtt a (v xx w( x)) sin
a 2 w sin
2 2 u tt a u xx sin x cos x (0 x l , t 0), l l (91) u(0, t ) 3, u(l , t ) 6, 4 x u ( x,0) 31 , ut ( x,0) sin x. l l
x (t ) u1 (t ) u1 (t ), f1 ( x, t ) f ( x, t ) u 2 l x 其中 1 ( x) ( x) u 2 (0) u1 (0) u1 (0), l x (0) u1 (0) u1 (0). 1 ( x) ( x) u 2 l
通过作一函数变换将边界条件化为齐次的， 为此令 (82) u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ), 并选取辅助函数 w( x, t ), 使新的未知函数 v( x, t ) 满足齐次边界条件，即 (83) v(0, t ) 0, v(l , t ) 0. 由(80)(82)容易看出， 要使(83)成立，只要
2
应用固有函数法求问题(88)的解。 为此，设
n v( x, t ) vn (t ) sin x, l n 1
(89)
d ,
利用2.4.2节中推得公式(64)可知 na
v n (t ) f n ( )e
0 t ( l
) 2 ( t )
再利用2.4.2节中推得公式(62)可知
为了将此方程化成齐次的，自然选取 w( x) 满足
2 2 x cos x 0. l l
12
l
x cos
l
x,
例2 求解下列问题：
2
解
2 2 u tt a u xx sin x cos x (0 x l , t 0), l l (91) u(0, t ) 3, u(l , t ) 6, 4 x u ( x,0) 31 , ut ( x,0) sin x. l l
(85)
即得原定解问题问题(79)-(81)的解。
6
utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
(79)
若边界条件不全是第一类，也可采用类似方法 把非齐次边界条件化成齐次的。 我们就下列几种 非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数 w( x, t ) 的表达式： x w ( t , x ) [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). (1) u(0, t ) u1 (t ), u(l, t ) u2 (t ); l (2) u(0, t ) u1 (t ), u x (l, t ) u2 (t ); w( x, t ) u2 (t ) x u1 (t ). (3)
(85)
则问题(79)-(81)可化成 v( x, t ) 的定解问题
4
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
(82) w(0, t ) u1 (t ), w(l , t ) u2 (t ), (84) 其实满足(84)中两个条件的函数 w( x, t ) 是很多的， 为了以后计算方便起见，通常取w( x, t ) 为 x 的一次 式， 即设 w( x, t ) A(t ) x B(t ), 由条件(84)确定 A(t ), B(t ) 得
v( x,0) 1 ( x), vt ( x,0) 1 ( x).
5
utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
(79) (80) (81) (86)
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
2 l nx 2 2 l x nx f n (t ) f ( x, t ) sin dx 1 sin dx . 0 l 0 l l l l n
9
再将 即得
f n (t )
na 2 ( ) t 2l l e 1, 3 2 ( n ) a n v ( x , t ) v ( t ) sin x, n 把(90)代入(89) l n 1 2
w(0) 3,
w(l ) 6.
13
这样由代换 u( x, t ) v( x, t ) w( x), 问题(91)化为下面两个问题：
a 2 w sin
2 2 u tt a u xx sin x cos x (0 x l , t 0), l l (91) u(0, t ) 3, u(l , t ) 6, 4 x u ( x,0) 31 , ut ( x,0) sin x. l l
x u ( x, t ) v( x, t ) [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). l
(79) (80) (81) (85) (86)
vtt a 2 vxx f1 ( x, t ) (0 x l, t 0),
v(0, t ) v(l , t ) 0,
B(t ) u1 (t ),
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ),
1 A(t ) [u 2 (t ) u1 (t )], l
3
utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
(84)
2
utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
(79) (80) (81)
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
u x (0, t ) u1 (t ), u(l, t ) u2 (t ); w( x, t ) u1 (t ) x u 2 (t ) lu1 (t ).
u 2 (t ) u1 (t ) 2 x u1 (t ) x. (4) u x (0, t ) u1 (t ), u x (l, t ) u2 (t ); w( x, t ) 2l
因此，原问题(87)的解为
x 2l 2 u ( x, t ) t 1 3 2 l ( n ) a n 1
a 2 ) t ( n nx l 1 sin . e l
10
特别值得注意的是，对于给定的定解问题， 例如：
utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u( x, t ) v( x, t ) w( x),
(92)
x v ( x,0) sin 4 x. v( x,0) w( x) 31 , t l l 为了将 v( x, t ) 的边界条件也化成齐次， 则 w( x)满足
再把(92)代入问题(91)中的定解条件，得 v(0, t ) w(0) 3, v(l , t ) w(l ) 6,
vtt a 2 vxx f1 ( x, t ) (0 x l, t 0),
v(0, t ) v(l , t ) 0,
v( x,0) 1 ( x), vt ( x,0) 1 ( x).
将问题(86)的解代入
x u ( x, t ) v( x, t ) [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). l
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
如果方程中的自由项 f 和边界条件中的 u1 , u 2 都与自变量 t 无关，在这种情形下，我们可选取 辅助函数 w( x ), 通过函数代换 u( x, t ) v( x, t ) w( x), 使方程与边界条件同时化成齐次的。
以上4种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。
7
例1 求解下列问题： ut a 2u xx (0 x l, t 0),
u(0, t ) t , u(l , t ) 0,
(87) 令
u ( x,0) 0,.
t w ( x , t ) x t. 解 选取辅助函数 l
2
(92)
w(wk.baidu.com) 3,
2 2 x cos x 0. l l
(93)
w(l ) 6.
和
vtt a 2u xx (0 x l, t 0),
v(0, t ) 0, v(l , t ) 0, (94) 4 x x. v( x,0) 31 w( x), vt ( x,0) sin l l 14
(79) (80) (81) (82)
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ),
于是可得
x w(t , x) [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). l
因此，令
x u ( x, t ) v( x, t ) [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). l
我们以下面的问题为例，说明选取函数代换 的方法。（也可称为辅助函数法）
1
考察定解问题： utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
(79) (80) (81)
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
2.5
具有非齐次边界条件的问题
本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题
的求解方法。处理这类问题的基本原则是： 无论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅 助函数 w( x, t ), 通过函数代换 u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ), 使得对于新的未知函数v( x, t ) 而言，边界条件为 齐次的。
2 vn (t ) n
2 n
代入 v n (t ) 0 f n ( )e
t
(
na 2 ) ( t ) l
d ,
e
0
t
(
na 2 ) ( t ) l
d
(90) 可得
na 2 ( ) t 2l nx l v ( x, t ) e 1 sin . 3 2 l n 1 ( n ) a 2
则问题(87)化成 x 2 vt a v xx - 1 (0 x l , t 0), l v(0, t ) 0, v(l , t ) 0, (88) v( x,0) 0.
8
t u ( x , t ) v ( x, t ) x t , l
x vt a v xx - 1 (0 x l , t 0), l (88) v(0, t ) 0, v(l , t ) 0, v( x,0) 0.
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例2 求解下列问题：
2
解
设问题的解为 u( x, t ) v( x, t ) w( x), (92) 将(92)代入问题(91)中的方程，即得 2 2 2
vtt a (v xx w( x)) sin
a 2 w sin
2 2 u tt a u xx sin x cos x (0 x l , t 0), l l (91) u(0, t ) 3, u(l , t ) 6, 4 x u ( x,0) 31 , ut ( x,0) sin x. l l
x (t ) u1 (t ) u1 (t ), f1 ( x, t ) f ( x, t ) u 2 l x 其中 1 ( x) ( x) u 2 (0) u1 (0) u1 (0), l x (0) u1 (0) u1 (0). 1 ( x) ( x) u 2 l
通过作一函数变换将边界条件化为齐次的， 为此令 (82) u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ), 并选取辅助函数 w( x, t ), 使新的未知函数 v( x, t ) 满足齐次边界条件，即 (83) v(0, t ) 0, v(l , t ) 0. 由(80)(82)容易看出， 要使(83)成立，只要
2
应用固有函数法求问题(88)的解。 为此，设
n v( x, t ) vn (t ) sin x, l n 1
(89)
d ,
利用2.4.2节中推得公式(64)可知 na
v n (t ) f n ( )e
0 t ( l
) 2 ( t )
再利用2.4.2节中推得公式(62)可知
为了将此方程化成齐次的，自然选取 w( x) 满足
2 2 x cos x 0. l l
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l
x cos
l
x,
例2 求解下列问题：
2
解
2 2 u tt a u xx sin x cos x (0 x l , t 0), l l (91) u(0, t ) 3, u(l , t ) 6, 4 x u ( x,0) 31 , ut ( x,0) sin x. l l
(85)
即得原定解问题问题(79)-(81)的解。
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utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
(79)
若边界条件不全是第一类，也可采用类似方法 把非齐次边界条件化成齐次的。 我们就下列几种 非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数 w( x, t ) 的表达式： x w ( t , x ) [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). (1) u(0, t ) u1 (t ), u(l, t ) u2 (t ); l (2) u(0, t ) u1 (t ), u x (l, t ) u2 (t ); w( x, t ) u2 (t ) x u1 (t ). (3)
(85)
则问题(79)-(81)可化成 v( x, t ) 的定解问题
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u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
(82) w(0, t ) u1 (t ), w(l , t ) u2 (t ), (84) 其实满足(84)中两个条件的函数 w( x, t ) 是很多的， 为了以后计算方便起见，通常取w( x, t ) 为 x 的一次 式， 即设 w( x, t ) A(t ) x B(t ), 由条件(84)确定 A(t ), B(t ) 得
v( x,0) 1 ( x), vt ( x,0) 1 ( x).
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utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
(79) (80) (81) (86)
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
2 l nx 2 2 l x nx f n (t ) f ( x, t ) sin dx 1 sin dx . 0 l 0 l l l l n
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再将 即得
f n (t )
na 2 ( ) t 2l l e 1, 3 2 ( n ) a n v ( x , t ) v ( t ) sin x, n 把(90)代入(89) l n 1 2
w(0) 3,
w(l ) 6.
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这样由代换 u( x, t ) v( x, t ) w( x), 问题(91)化为下面两个问题：
a 2 w sin
2 2 u tt a u xx sin x cos x (0 x l , t 0), l l (91) u(0, t ) 3, u(l , t ) 6, 4 x u ( x,0) 31 , ut ( x,0) sin x. l l
x u ( x, t ) v( x, t ) [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). l
(79) (80) (81) (85) (86)
vtt a 2 vxx f1 ( x, t ) (0 x l, t 0),
v(0, t ) v(l , t ) 0,
B(t ) u1 (t ),
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ),
1 A(t ) [u 2 (t ) u1 (t )], l
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utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),