运筹学-1整数规划的数学模型

xi 0,且取整数, yi 0或1 i 1,2
（2） 由于不同载体所装物品不一样，数学模型为
max Z 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10＋My2
(a)
1.8x1 0.6x2 12 My1
(b)
2x1 1.5x1
2.5x2 2x2
25 20
My2 My1
(c) (d )
y1 y2 1 x1, x2 0,且均取整数,
y
0或1
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
Ch5 Integer Programming
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式中M为充分大的正数。从上式可知，当使用背包时(y1=1，y2=0)， 式(b)和(d)是多余的；当使用旅行箱时(y1=0，y2=1)，式(a)和(c)是多
运筹学
Operations Research
Chapter 5 整数规划
Integer Programming
1.整数规划数学模型Mathematical Model of IP 2 .分枝定界法 Branch and Bound Method 3. 割平面法 cutting-plane Method 4. 0－1规划 Binary Integer Programming 5. 指派问题 Assignment Problem
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（1） 由于所装物品不变，式(8.1)约束左边不变，整数规划数学 模型为 max Z 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10y1＋12y2
2x1 2.5x2 25y1 20y2 y1 y2 1
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
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一个规划问题中要求部分或全部决策变量是整数，则这个规划 称为整数规划。当要求全部变量取整数值的，称为纯整数规划；只 要求一部分变量取整数值的，称为混合整数规划。如果模型是线性 的，称为整数线性规划。本章只讨论整数线性规划。
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用图解法求得点B为最优解：X＝(3.57，7.14)，Z＝35.7。由于 x1，x2必须取整数值，实际上整数规划问题的可行解集只是图中可行 域内的那些整数点。用凑整法来解时需要比较四种组合，但（4， 7）、（4，8）（3，8）都不是可行解，（3，7）虽属可行解，但 代入目标函数得Z=33,并非最优。实际上问题的最优解是（5，5）， Z=35。即两种物品各装5件，总价值35元。
由图5－1知，点（5，5）不是可行域的顶点，直接用图解法或 单纯形法都无法求出整数规划问题的最优解，因此求解整数规划问 题的最优解需要采用其它特殊方法。
还有些问题用线性规划数学模型无法描述，但可以通过设置逻 辑变量建立起整数规划的数学模型。
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
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如果不考虑x1、x2取整数的约束（称为（5.1）的松弛问题），线性 规划的可行域如图5—1中的阴影部分所示。
图5－1
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
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【例5.1 】某人有一背包可以装10公斤重、0.025m3的物品。他准备 用来装甲、乙两种物品，每件物品的总价值最大？
余的。上式也可以令：y1 y, y2 1 y
同样可以讨论对于有m个条件互相排斥、有m（≤m、≥m）个条件 起作用的情形。
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
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很多实际规划问题都属于整数规划问题. 例如 1. 变量是人数、机器设备台数或产品件数等都要求是整数
2. 对某一个项目要不要投资的决策问题，可选用一个逻辑 变量 x，当x=1表示投资，x=0表示不投资；
3. 人员的合理安排问题，当变量xij=1表示安排第i人去做j 工作，xij=0表示不安排第i人去做j工作。逻辑变量也是只允许 取整数值的一类变量。
1.8x1 0.6 12 解：此问题可以建立1.两5x个1 整2数x2规划2模0型，但用一个模型描述更简单。
引入0－1变量（或称逻辑变量）yi，令
1, 采用第i种方式装载时 yi 0， 不采用第i种方式装载时
i=1,2分别是采用背包及旅行箱装载。
i 1,2
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【例5.2 】在例5.1中，假设此人还有一只旅行箱，最大载重量为12 公斤，其体积是0.02m3。背包和旅行箱只能选择其一，建立下列几 种情形的数学模型，使所装物品价值最大。
（1） 所装物品不变； （2） 如果选择旅行箱，载重量和体积的约束为
物品
表5—1
重量
体积
（公斤/每件） （m3/每件）
价值 (元/每件)
甲
1.2
0.002
4
乙
0.8
0.0025
3
【解】设甲、乙两种物品各装x1、x2件，则数学模型为： max Z 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10 2x1 2.5x2 25
x1, x2 0,且均取整数
(5.1)