运筹学-1整数规划的数学模型

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xi 0,且取整数, yi 0或1 i 1,2
(2) 由于不同载体所装物品不一样,数学模型为
max Z 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10+My2
(a)
1.8x1 0.6x2 12 My1
(b)
2x1 1.5x1
2.5x2 2x2
25 20
My2 My1
(c) (d )
y1 y2 1 x1, x2 0,且均取整数,
y
0或1
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 8 of 15
式中M为充分大的正数。从上式可知,当使用背包时(y1=1,y2=0), 式(b)和(d)是多余的;当使用旅行箱时(y1=0,y2=1),式(a)和(c)是多
运筹学
Operations Research
Chapter 5 整数规划
Integer Programming
1.整数规划数学模型Mathematical Model of IP 2 .分枝定界法 Branch and Bound Method 3. 割平面法 cutting-plane Method 4. 0-1规划 Binary Integer Programming 5. 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 7 of 15
(1) 由于所装物品不变,式(8.1)约束左边不变,整数规划数学 模型为 max Z 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10y1+12y2
2x1 2.5x2 25y1 20y2 y1 y2 1
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 2 of 15
一个规划问题中要求部分或全部决策变量是整数,则这个规划 称为整数规划。当要求全部变量取整数值的,称为纯整数规划;只 要求一部分变量取整数值的,称为混合整数规划。如果模型是线性 的,称为整数线性规划。本章只讨论整数线性规划。
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 5 of 15
用图解法求得点B为最优解:X=(3.57,7.14),Z=35.7。由于 x1,x2必须取整数值,实际上整数规划问题的可行解集只是图中可行 域内的那些整数点。用凑整法来解时需要比较四种组合,但(4, 7)、(4,8)(3,8)都不是可行解,(3,7)虽属可行解,但 代入目标函数得Z=33,并非最优。实际上问题的最优解是(5,5), Z=35。即两种物品各装5件,总价值35元。
由图5-1知,点(5,5)不是可行域的顶点,直接用图解法或 单纯形法都无法求出整数规划问题的最优解,因此求解整数规划问 题的最优解需要采用其它特殊方法。
还有些问题用线性规划数学模型无法描述,但可以通过设置逻 辑变量建立起整数规划的数学模型。
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 4 of 15
如果不考虑x1、x2取整数的约束(称为(5.1)的松弛问题),线性 规划的可行域如图5—1中的阴影部分所示。
图5-1
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 3 of 15
【例5.1 】某人有一背包可以装10公斤重、0.025m3的物品。他准备 用来装甲、乙两种物品,每件物品的总价值最大?
余的。上式也可以令:y1 y, y2 1 y
同样可以讨论对于有m个条件互相排斥、有m(≤m、≥m)个条件 起作用的情形。
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 9 of 15
很多实际规划问题都属于整数规划问题. 例如 1. 变量是人数、机器设备台数或产品件数等都要求是整数
2. 对某一个项目要不要投资的决策问题,可选用一个逻辑 变量 x,当x=1表示投资,x=0表示不投资;
3. 人员的合理安排问题,当变量xij=1表示安排第i人去做j 工作,xij=0表示不安排第i人去做j工作。逻辑变量也是只允许 取整数值的一类变量。
1.8x1 0.6 12 解:此问题可以建立1.两5x个1 整2数x2规划2模0型,但用一个模型描述更简单。
引入0-1变量(或称逻辑变量)yi,令
1, 采用第i种方式装载时 yi 0, 不采用第i种方式装载时
i=1,2分别是采用背包及旅行箱装载。
i 1,2
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 6 of 15
【例5.2 】在例5.1中,假设此人还有一只旅行箱,最大载重量为12 公斤,其体积是0.02m3。背包和旅行箱只能选择其一,建立下列几 种情形的数学模型,使所装物品价值最大。
(1) 所装物品不变; (2) 如果选择旅行箱,载重量和体积的约束为
物品
表5—1
重量
体积
(公斤/每件) (m3/每件)
价值 (元/每件)

1.2
0.002
4

0.8
0.0025
3
【解】设甲、乙两种物品各装x1、x2件,则数学模型为: max Z 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10 2x1 2.5x2 25
x1, x2 0,且均取整数
(5.1)
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