声子比热容

5.1 声子比热容
德拜近似下的固体比热容
锗和硅的比热容
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固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
杜隆-珀替定律
根据经典统计理论的能量均分定理，每一个 简谐振动的平均能量是 kBT，若固体中有 N 个原 子，则有 3N 个简谐振动模，则固体总能量为
热容为
U 3NkBT U
p
假定在 ~+d 范围内晶体具有给定极化模为 p 的振动模式数 Dp()d，用积分代替求和，
U p
dDp
(
)
e
/t
1
4
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
晶格比热容为
U
Clat T kB p
dDp
(
)
( /t )2 e /t
(e /t 1)2
所以问题就转化为求 Dp() ，即求单位频率间
CV T 3NkB
即热容是一个与温度和材料无关的常数，此即
杜隆-珀替定律
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固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
CV
9NkB
T
3
xD 0
dx
x4ex (ex 1)2
在高温的极限 T >> 情况下，即 xD<<1，x<<1
因此
ex (ex 1)2
（l为整数且l ( N , N ]） 22
对每一种偏振模式每一支色散，波矢空间每一体
积元 (2p/L)3 积内允许的
内有一个
K
值数为
K
值，即
K
空间每单位体
L 2π
3
V (2π)3
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5.1 声子比热容
对每种偏振，波矢比 K 小的模式总数为
N
隔内的模式数目，此函数亦称为模式密度，但
常称为态密度
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固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
5.1. 3 一维情况下的态密度 考虑玻恩-卡曼环状原子链，波矢 K 的取值
K l 2π l 2π （l为整数且l ( N , N ]）
Na L
22
L=Na 为原子链的长度，所以在区间 π/a K π/a
eK ,p
1
eK ,p /t
1
1
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
5.1. 1 普朗克分布（玻色分布）
考虑一组处于热平衡的全同谐振子。玻尔
兹曼因子 eEn / KBT 表示量子态 En 出现的热力学 概率，则处于第 n+1 个量子态与第 n 个量子态
的谐振子数目的比为
2π
2π d / dK
当 (K) 成水平
直线，即群速等
于0时， D() 就
出现一个奇点
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固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
5.1. 4 三维情况下的态密度
将周期性边界条件应用于边长为 L 的立方体
所包含的
N3
个原胞，于是波矢
K
三个分量的取
值与一维的情况一样，即
2π Kx,Ky,Kz l L
N n1 e /t , Nn
t kBT
第 n 个量子态的谐振子占总谐振子数的比为
N n 1
en /t
Ns
es /t
s0
s0
2
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
一个谐振子的平均激发量子数为
利用
ses /t
n
s0
es /t
s0
xs
1
;
s0
1 x
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5.1 声子比热容
声子能量
在温度为 t (=kBT) 的声子总能量可表示成所
有声子模能量的总和
Ulat
UK,p
nK, p K, p
Kp
Kp
式中 <nK,p> 表示平衡情况下波矢为 K、极化模为 p 的声子占有数。声子为玻色子，因此有
1
1
nK , p
则态密度便成为
vK
D()
V 2
2π2v3
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5.1 声子比热容
如果样品有 N 个原胞，则声学声子的总数目
就是 N 个，因此由
N
V (2π)3
4 3
πK
3
V (2π)3
4 3
π
v
3
我们可得到截止频率
在 K空间与此频率相D3 应6的π2V截v3止N 波矢为
单位长度的模式数目为 L/2p，在其它区间为0
实际上我们需要知道的是单位频率间隔内的
模式（或状态的数目）D()
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5.1 声子比热容
(K) 是 K 的偶函数，所以在 处 d 间隔内
的模式数等于在 K 处 dK 间隔内的模式数的两倍
D()d 2 L dK 2 L d
s0
sx s
x
d dx
s0
xs
x (1 x)2
可得
n
1
e /t e
/t
1 e /t
1
此即普朗克分布（玻色分布）
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5.1 声子比热容
5.1. 2 简正模的计算方法
具有不同频率 K,p 的谐振子集合的热平衡能
量为
U
K
K, p
e 1 K ,p /t
xD 0
dx
e
x3 x 1
其中定义 x /t / kBT，以及 xD D / kBT / T 称为德拜温度
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5.1 声子比热容
德拜温度为
D
kB
v kB
6π2 V
N
1/ 3
因此总的声子能量
U
9Nk
BT
T
3
xD 0
dx
百度文库
e
x3 x 1
V (2π)3
4 3
πK
3
因此对每种偏振类型，态密度为
D()
dN
d
VK 2π
2 2
dK
d
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固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
5.1. 5 计算态密度的德拜模型 德拜具体分析的是各向同性的弹性介质，对
每一种偏振假定声速保持恒定，就像在经典弹性 连续介质中的情况一样，这时色散关系
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固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
U
3
V 2π2v
3
D 0
d
3
e /t 1
由上式对温度进行微分运算，可得热容
CV
U T
3V2 2π2v3k BT 2
D 0
d
4e /t
(e /t 1)2
9
Nk
B
T
3
xD 0
dx
x (ex
4ex 1)
2
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1
KD
D
v
6π2 V
N
3
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5.1 声子比热容
对每一种偏振类型，声子能量为
U p
dD
p
(
)
e /t
1
D 0
d
V 2
2π2v3
e /t 1
为简单起见，假定波速 v 与偏振态无关，因此
U
3
D 0
d
V 2
2π2v3
e /t 1
3V (kBT )4 2π 2v 33