声子比热容
热传导与热稳定性
0.8
0.6 0.4 0.2 0.0
0
400 800 1200 温度（0C）
由于存在显微 裂纹而引起的 多晶的热膨胀 滞后现象
1. 热应力的产生 （1）热膨胀或收缩引起的热应力
当物体固定在支座之间，或固定在不同膨胀系数的 材料上，膨胀受到约束时，在物体内就形成应力-----（显微应力）。 第15页/共17页
第5页/共17页
光子和光子导热
微观机理
光子的导热：光子在介质中的传播过程 （光的散射、衍射、吸收、反射和折射）
热辐射：热射线的传递过程 （可见光与部分近红外光 温度的影响 2. 显微结构的影响 3. 化学组成的影响 4. 气孔的影响
第7页/共17页
温度的影响
固体导热：电子导热，声子导热和光子导热。
热传导过程：材料内部的能量传输过程
能量的载体：电子（德布罗意波） 声子（格波）：声频波的量子 光子（电磁波）
金属：主要是电子导热为主， 合金/半导体：电子/声子导热， 绝缘体：声子导热
第3页/共17页
热传导的物理机制
声子热传导：声子从高浓度到低浓度区域的扩散过程。
热阻： 声子扩散过程中的各种散射。
热传导系数：
1 3
cvl
其中，c：声子比热容；v：声子传播速度；l：声子平均自由程。
第4页/共17页
声子和声子导热 微观机理
❖格波的传播看成是质点-声子的运动； ❖格波与物质的相互作用，则理解为声子和物质的碰撞； ❖格波在晶体中传播时遇到的散射，则理解为
声子同晶体质点的碰撞； ❖理想晶体中的热阻，则理解为声子与声子的碰撞。 ❖晶体中，热传导的实质就是碰撞。
耐火材料 ： 1123K； 40min ； 283－293K； 3(5－!0)min
石墨烯(graphene)声子结构及热学性质的开题报告
石墨烯(graphene)声子结构及热学性质的开题报告摘要：石墨烯是一种由碳原子组成的二维晶体结构，具有优异的热学性质。
本文介绍了石墨烯的声子结构和热学性质，包括声子色散关系、比热容、热导率和热膨胀系数等方面的研究进展。
结果表明，石墨烯的声子结构具有非常特殊的性质，且在热学性质方面，石墨烯的比热容低、热导率高、热膨胀系数小等特点使其成为了一种极具潜力的热学材料。
关键词：石墨烯；声子结构；热学性质；比热容；热导率；热膨胀系数一、引言石墨烯是一种由碳原子组成的二维晶体结构，其具有特殊的电学、热学和力学性质，引起了广泛的研究兴趣。
石墨烯的热学性质一直是研究的热点和难点之一，尤其是其声子结构和热学性质的研究更是备受关注。
二、石墨烯声子结构声子是介观尺度物理学的一个基本概念，是晶体振动的量子化激发。
在石墨烯中，声子的特性表现出一些非常独特的性质，主要表现在声子色散关系和声子密度态密度等方面。
1. 声子色散关系声子色散关系是描述声子在晶体中传播特性的基本参数，石墨烯的声子色散关系与三维晶体不同，具有非常独特的性质。
从理论上来说，石墨烯的声子色散关系是一个线性的二阶近似关系，即E(k)=ℏv_fk，其中ℏ为普朗克常数，v_f为费米速度，k为声子波矢，E为声子能量。
近年来，研究表明，实际石墨烯中的声子色散关系并不是完全线性的，还受到电子相互作用和晶格畸变等因素的影响。
2. 声子态密度声子态密度是描述声子能量分布的参数，反映了声子在不同能级上分布的情况。
在石墨烯中，声子态密度与声子色散关系密切相关。
根据量子力学的原理，声子态密度与声子色散关系之间存在线性关系，即D(E)=A|E-E_f|，其中D(E)为能级为E的声子态密度，E_f为费米能级，A为常数。
由于石墨烯的声子色散关系是一个线性的二阶近似关系，所以在石墨烯中，声子态密度也呈线性分布。
三、石墨烯热学性质石墨烯的热学性质在应用中被广泛研究，主要包括比热容、热导率和热膨胀系数等方面。
固体物理（胡安）课后答案（可编辑）
固体物理(胡安)课后答案第一章晶体的结构及其对称性1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构,试问它是简单还是复式格子。
为什么?作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。
解:石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。
因为如图点A和点B的格点在晶格结构中所处的地位不同,并不完全等价,平移A→B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。
1.2在正交直角坐标系中,若矢量,,,为单位向量。
为整数。
问下列情况属于什么点阵?(a)当为全奇或全偶时;(b)当之和为偶数时。
解:当为全奇或全偶时为面心立方结构点阵,当之和为偶数时是面心立方结构1.3 在上题中若奇数位上有负离子,偶数位上有正离子,问这一离子晶体属于什么结构?解:是离子晶体,属于氯化钠结构。
1.4 (a)分别证明,面心立方(fcc)和体心立方(bcc)点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等,对fcc为,对bcc为(b)在金刚石结构中,作任意原子与其四个最近邻原子的连线。
证明任意两条线之间夹角θ均为解:(1)对于面心立方 (2)对于体心立方 (3)对于金刚石晶胞1.5 证明:在六角晶系中密勒指数为(h,k,l)的晶面族间距为证明:元胞基矢的体积倒格子基矢倒格矢:晶面间距1.6 证明:底心正交的倒点阵仍为底心正交的。
证明:简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体底心正交点阵的惯用晶胞如图: 初级晶胞体积: 倒易点阵的基矢: 这组基矢确定的面是正交底心点阵1.7 证明:正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。
证明:倒易点阵初级元胞的体积:是初基元胞的体积而由于而或:现在证明: 又令又:代入同理 1.8 从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。
解: 1.9 试解释为什么:(a)四角(四方)晶系中没有底心四角和面心四角点阵。
(b)立方晶系中没有底心立方点阵。
(c)六角晶中只有简单六角点阵。
解:(a)因为四方晶系加底心,会失去4次轴。
(b)因为立方晶系加底心,将失去3次轴。
声子模型与爱因斯坦热容理论
爱因斯坦热容模型
lbert Einstein
爱因斯坦结合波尔兹曼分布和三维谐振子 如何解释低温下晶体比热 理论，经过公式推导得到晶体热容为：
在该公式中只有温度T为变量，其他均为 定量，及热容大小只受到温度高低的影 响。其中ΘE被称为爱因斯坦温度，该温 度由实验得出，不同材料的ΘE不同。
Hale Waihona Puke 爱因斯坦的热容模型Yanshan University
signed by Rex
燕山大
声子模型及爱因斯坦 热容理论
主讲人：吴瑞光 答辩：张鹏飞 袁超
2012年 3 月 16日 星期五
Yanshan University
signed by Rex
燕山大
声子模型及爱因斯坦 热容理论
主讲人：吴瑞光 答辩：张鹏飞 袁超
2011 年 3 月 7 日 星期一
Contents ·目录
1
声子的由来及特点
2
爱因斯坦热容模型
3
不足与发展
声子的由来及特点
声子(phonon)就是“晶格振动的简正模能量量子。
在固体物理学的概念中，结晶态固体中的原
子戒分子是按一定的规律排列在晶格上的。在晶
体中，原子间有相互作用，原子幵非是静止的，
它们总是围绕着其平衡位置在作丌断的振动。另
电子和声子对金属比热的贡献
电子和声子对金属比热的贡献
《电子和声子对金属比热的贡献》
随着科技日新月异，电子和声子对金属比热的贡献越来越受到人们的重视。
具体来讲，电子和声子在金属比热方面的贡献主要体现在三个方面：首先，电子能够有效控制金属体温度，通过调节电流的强度来调整金属的热传导能力；其次，声子可以用来改善金属体的晶圆面积，有效增加金属体的比热；最后，电子和声子都能够提高金属体在不同温度下的热导率，从而提高金属体对热量的传导效率。
此外，电子和声子还能够改善金属体的晶弹性，有效增加金属体的热容量。
这一技术应用的最大好处在于，金属体的热容量可以更好地储存在声子调整下的金属晶体中，这样能够提高金属晶体的比热值，提高金属材料对外界热量的抗拒能力，有效降低对外界施加的温度变化程度。
总之，电子和声子在改善金属体热特性方面发挥了重要作用，从而极大地改善了金属比热的性能。
由此可见，要想获得更好的金属比热性能，就必须得到电子和声子的贡献。
晶格震动与声子理论
晶格震动与声子理论晶格震动是在固体中传播的一种能量传递方式，它与固体的物理性质以及热学性质密切相关。
声子理论则是描述晶格震动的理论模型，通过声子理论可以深入理解固体的热导率、比热容等性质。
一、晶格震动的基本概念晶体是由多个离子或原子组成的周期性排列结构，通过共价键或者离子键相互连接。
在晶体结构中，原子相对位置是固定的，但是它们仍然能够发生小幅度的振动，也称为晶格震动。
晶格震动可以看作是晶体中原子粒子的一种集体运动，这种运动反映了晶体中粒子固有的势能曲线和受到的限制。
二、声子理论的基本原理声子是描述晶格振动的基本概念，也称为晶格振动子。
在声子理论中，晶体的振动被描述为一系列离散的模式，每个模式都有特定的频率和振幅。
声子理论可以用简谐振动模型来描述，即将晶体中的每个原子近似看作一个简谐振子。
根据经典力学，每个原子的振动可以用哈密顿量来描述，而哈密顿量由原子之间的相互作用势能确定。
声子的能量与频率之间存在关系，即E=hf，其中E为能量，h为普朗克常数，f为频率。
由此可见，声子的频率与晶体的化学成分、晶格结构及其形变等因素都有关系。
三、晶格震动对固体性质的影响晶格震动对固体性质的影响非常重要。
首先，声子的频率和波矢决定了固体的热导率。
声子在固体中的传播受到一些散射机制的影响，如声子-声子散射、声子-杂质散射、声子-晶格缺陷散射等。
这些散射过程会导致声子的传播速度减小，从而造成热阻力的增加。
其次，晶格震动对固体的比热容有着重要影响。
根据热力学理论，固体的比热容与其内部能量和自由度有关。
晶格震动可以激发固体中的原子或离子在空间中振动，增加了固体的自由度，从而增大了比热容。
另外，晶格震动还对固体的电子结构和光学性质等方面产生重要影响。
声子的振动会引起准粒子（如声子极化子）的激发，并且可以调控固体中的电子动量和波矢，从而影响固体的导电性和光学特性。
四、声子理论的应用声子理论在凝聚态物理、材料科学和固体电子学等领域都有广泛的应用。
第25、26讲 声子 晶格振动的热容理论
第 二 三 讲 声 子 长 波 近 似 晶 格 振 动 的 热 容 理 论
第 三 章 晶 格 振 动 和 晶 体 的 热 学 性 质
长光学波对离子晶体性能的影响
正、负离子的相对位移会 引起宏观电场的产生。
E有效 1 E P 3 0
第 二 三 讲 声 子 长 波 近 似 晶 格 振 动 的 热 容 理 论
1 i E (i ) i i k BT 2 e 1
晶 格 振 动 的 热 容 理 论
第 三 章 晶 格 振 动 和 晶 体 的 热 学 性 质
所以，固体的比热容为
i 2 i k BT ) e E (i ) k T cv k B B i k BT T (e 1) 2 (
E代表宏观场，0是自由空间的 介电系数，P代表极化强度。 离子晶体的极化由两部分构成：一部分是正负离 子的相对位移产生的电偶极距，称为离子位移极 化，极化强度记为Pa；另一部分是离子本身的电 子云在有效场作用下，其中心偏离原子核而形成 了电偶极子，这部分称为电子位移极化，极化强 度记为Pe。
第 三 章 晶 格 振 动 和 晶 体 的 热 学 性 质
n ( )
1 e k B T 1
第 二 三 讲 声 子 长 波 近 似 晶 格 振 动 的 热 容 理 论
当T=0K时, n()=0, 说明只有T>0K时才有声子； 当温度很高时，e
k BT
k T 1 ，n ( ) B ， k BT
平均声子数与温度成正比，与频率成反比；
第 二 三 讲
晶 格 每一独立模式对应一个振动态(q) 。 振 可以用独立简谐振子的振动来表述格波的独立动 的 模式。 热 声子——晶格振动中的独立简谐振子的能量量容 子。 理 论
比热容公式读法
比热容公式读法比热容公式是：c = Q/mΔT ，读作“c 等于 Q 除以 m 乘以ΔT ”。
咱们先来说说这个公式到底是啥意思哈。
c 代表比热容，Q 表示吸收或者放出的热量，m 是物质的质量，ΔT 呢则是温度的变化量。
比热容这玩意儿啊，就好比是每个物质的“个性标签”。
不同的物质，比热容可大不一样。
比如说水，它的比热容就挺大，所以海边的城市夏天不会太热，冬天也不会太冷，这就是水的比热容在起作用。
记得有一次，我在给学生们讲比热容的课。
那堂课上，有个小家伙特别积极，一直举手问问题。
他瞪着那双好奇的大眼睛问我：“老师，为啥沙子在太阳底下晒一会儿就特别烫，可海水就不会呢？”我就笑着跟他说：“这就是因为水和沙子的比热容不一样呀！水的比热容大，要让它温度升高得吸收好多热量，而沙子的比热容小，稍微来点热量温度就上去啦。
”那孩子听完，似懂非懂地点点头，然后又皱着眉头开始思考。
咱们再回到这个公式。
在实际生活中，这个公式用处可大了。
比如说，冬天咱们要计算给房间加热需要多少能量，就得用到比热容。
你得先知道房间里空气的比热容，还有房间的体积、温度变化等等，然后才能算出需要的热量。
还有啊，在工厂里生产的时候，要控制一些材料的温度变化，也得靠比热容公式来帮忙。
工程师们得精确计算，才能保证生产过程不出岔子。
从小学到高中，咱们学习的知识是越来越复杂，但是每一个知识点都是有用的。
就像这个比热容公式，虽然看起来有点复杂，但只要咱们理解了，就能解释好多生活中的现象。
而且，学习这些知识可不能死记硬背，得结合实际去理解。
比如说，夏天咱们吃冰淇淋，为啥冰淇淋拿在手里一会儿就化了，这里面也有比热容的知识呢！再比如说，汽车发动机工作的时候，会产生大量的热。
工程师们在设计的时候，就得考虑发动机材料的比热容，不然温度太高，发动机可就要出故障啦。
总之，比热容公式虽然只是物理学中的一个小部分，但它却和我们的生活息息相关。
咱们只有真正掌握了它，才能更好地理解这个世界，解决生活中的问题。
材料的热传导与热稳定性-2022年学习资料
热流法测量原理-Hot Plate-Heat Flux Transducer-Test-Direction of-Sample-Heat Flow-Cold Plate-△A-2=元，R2.8-8-h-NETZSC HFM436 Lambda热流法导热-仪，适用于绝热材料。
保护热流法导热仪：-保护热板法导热仪：-HOT PLATE-Top Heat Sink-Insulatio -He主r-HALVH VN9-Direction of-Top Sample-TEST SAMPLE-O ter-heat flow-GUARD HEATER-Guard--VWVW--W-Heater-Bott m Sample-HEAT FLUX TRANSDUCER-Auxiliary一VWwW--COLD PL TE-Bottom He主Sink
固体材料热传导的微观机理-固体导热：电子导热，声子导热和光子导热。-热传导过程：材料内部的能量传输过程-能 的载体：电子-（德布罗意波-格波：声频波的量子-光子（电磁波-金属：主要是电子导热为主-合金/半导体：电子 声子导热，-绝缘体：声子导热
热传导的物理机制-声子热传导：-声子从高浓度到低浓度区域的扩散过程。-热阻：-声子扩散过程中的各种散射。=ō+ōT-热传导系数：-九=？cvl-其中，C:声子比热容；V:声子传播速度；：声子平均自由程。
显微结构的影响-0.04-0.03-单品Ti02-平行于c轴-多晶hl-单10-品拉尺寸为17μ口-0.0 -品粒尺寸为胡口-0.D1-单品Ti0z垂直于e轴-单Caz-多品T10运-多晶CaFg-28μ1-200 400-G00-800-1000-1200-T℃-几种不同晶型的无机材料热导率与温度的关系
影响热导率的因素-1.温度的影响-2.显微结构的影响-3.化学组成的影响-4.气孔的影响
声子模型与爱因斯坦热容理论
德拜（Debye）于1912年 提出了另一个简化模型。 丌再认为所有振动模为单 一频率，而是有一个宽广 的频率分布。从而完善了 热容理论。
பைடு நூலகம்
原因是爱因斯坦假设每 个原子都具有相同的周 围环境，因而起振动频 率都是相同的但实际幵 丌是这样的。
Contents ·目录
1
声子的由来及特点
2
爱因斯坦热容模型
3
不足与发展
声子的由来及特点
声子(phonon)就是“晶格振动的简正模能量量子。
在固体物理学的概念中，结晶态固体中的原
子戒分子是按一定的规律排列在晶格上的。在晶
体中，原子间有相互作用，原子幵非是静止的，
它们总是围绕着其平衡位置在作丌断的振动。另
的谐振子构成。
把振动物体看作丌考虑体 积的微粒（戒者质点，点 电荷）的时候，这个振动 物体就叨谐振子。
声子的由来及特点
在经典理论中，这些谐振子的能量将是连续
的，但按照量子力学，它们的能量则必须是量子
化的，叧能取hv的整数倍，即 En=（n+1/2）hν （其中1/2hν 为零点能） 这样，谐振子相应的能态En就可以认为是由 n个能量为hν 的“激发量子”相加而成。
这种量子化了的弹性波的最小单位就叨声子 。
声子的由来及特点
声子的特点
1. 声子是简谐近似下的产物，如果振动太 剧烈，超过小振动的范围，那么晶格振动 就要用非简谐振动理论描述。 2.声子幵丌是一个真正的粒子，声子可以 产生和消灭，有相互作用的声子数丌守恒 ，声子动量的守恒律也丌同于一般的粒子 ，幵且声子丌能脱离固体存在。
一方面，这些原子又通过其间的相互作用力而连 系在一起，即原子各自的振动丌是彼此独立的。
复合晶体散热铝的热学性质的量子声子理论
LED散热铝的晶格比热容的声子理论依据声子功能性材料是近年才兴起的，是以爱因斯坦的量子理论为依据的，所谓声子是晶格振动中的简谐振子的能量量子，因简谐振荡的频率为声频，简称声子，它反映了晶体中原子的集体运动的量子化性质。
而传热与散热是固体内部声子两种不同性质的达动方式。
所有的教科书都重视对声子传热的研究，以为传热快，散热也一是快。
这是错误的，传热快的物质其散热（吸热）的速度不一定快。
因为物质的传热与热传导系数成正比；散热（吸热）与比热容系数成正比。
传热快物质不一定散热快。
晶格振动假设:每个原子中心的平衡位置在对应晶格格点上；原子离开平衡位置的位移与原子间距相比是小量,可以用谐振近似。
晶体内的原子在各自的平衡位置上作微小的振动，原子间存在着相互作用力，振动在晶体中形成了波；由于晶格周期性条件的限制，波的能量是量子化的。
如果振动微弱，原子间非简谐作用可以忽略，振动模式可以用一系列独立的简谐振子来描述，谐振子的能量量子称为声子。
由于声子对固体材料比热容有功献，而金属电子在一定的温度范围内是恒定的，对固体比热容无贡献。
因此有必要对声子的理论进行研究。
材料的热学性能晶格振动热容热膨胀热传导热稳定性升华熔化晶格振动：材料中各原子在平衡位置的微小振动。
格波：晶格振动以波的形式在晶格中传播。
材料的热容 热容是质点热运动的的能量随温度变化的一个物理量，是物体温度升高1K 所需要增加的热量。
QC T ∂=∂【J/K 】 J/(K g)【】J/(K mol)【】21Q C T T =-平均热容：工程应用中应注意适用温度范围物质的热容与其热过程有关：p p p v v vQ H C ()()T T Q E C ()()T T ∂∂==∂∂∂∂==∂∂恒压热容： 恒容热容：Q ：热量 E ：内能 H ：焓p vC C >将1g 质量的物体温度升高1K 所需要增加的热量称为物质 的比热容，简称比热。
1mol 物质的热容，称为摩尔热容。
《比热容》 讲义
《比热容》讲义一、什么是比热容在我们的日常生活中，经常会发现不同的物质在吸收或放出相同热量时，温度的变化却大不相同。
比如，同样在太阳下暴晒一段时间，沙子会变得很热，而海水的温度升高却相对较少。
这背后隐藏着一个重要的物理概念——比热容。
比热容，简单来说，就是指单位质量的某种物质，温度升高（或降低）1 摄氏度时所吸收（或放出）的热量。
它的单位是焦耳每千克摄氏度，写作 J/（kg·℃）。
为了更直观地理解比热容，我们可以想象有两个相同质量的物体，一个是铁块，一个是木块。
当给它们提供相同的热量时，铁块的温度会上升得比木块快很多。
这是因为铁的比热容比木的比热容小，所以铁在吸收相同热量时，温度变化更大。
二、比热容的特点1、比热容是物质的一种特性每种物质都有其特定的比热容值，就像每个人都有独特的指纹一样。
不同的物质，比热容一般不同。
例如，水的比热容约为 4200 J/（kg·℃），而砂石的比热容约为 920 J/（kg·℃）。
2、比热容与物质的状态有关同一种物质，在不同的状态下，比热容也可能不同。
比如，水和冰虽然是同一种物质，但水的比热容比冰的比热容大。
这也是为什么在寒冷的冬天，湖水结冰往往是从表面开始，因为冰的比热容小，散热相同的情况下温度下降更快。
3、比热容与温度有关大多数物质的比热容会随着温度的变化而略有变化，但在通常的温度范围内，这种变化相对较小，可以忽略不计。
三、常见物质的比热容1、水水是我们生活中最常见的物质之一，也是比热容较大的物质之一。
其比热容约为 4200 J/（kg·℃），这意味着让 1 千克的水温度升高 1 摄氏度，需要吸收 4200 焦耳的热量。
正因为水的比热容大，所以它在调节气候、冷却发动机等方面有着重要的作用。
2、金属金属的比热容通常较小。
比如铜的比热容约为 390 J/（kg·℃），铝的比热容约为 900 J/（kg·℃）。
第4章 4.1 4.2 比热的声子模型
可得频率分布函数(态密度)为：
2π
3
Vc
s
q q
ds
对于三重简并，总态密度为：
Vc 3 2 π 1
3n
s
q q
ds
2. 计算德拜模型的能态密度
(1) 能态密度 - 在德拜模型中称为德拜频率分布 由弹性波的色散关系： =vq
晶格振动的能量量子------声子。
受普朗克对能量量子化的启发，爱因斯坦首先对原子振动的 能量进行量子化，得到准粒子--声子。
晶格 振动 格波 简谐 近似 独立的振动 由玻恩-卡门 分立 模式 值 边界条件
晶格振动能量 量子化
声子
声子遵循的规则如下：
1.声子是晶格振动的能量量子，其能量为： 声子不是真实的粒子，称为“准粒子”，它反映的是晶格原 子集体运动状态的激发单元。 2.一个格波(一种振动模式)，称为一种声子(一个就是一 种声子)，当这种振动模式处于
爱因斯坦声子模型
1907年，根据普朗克的热辐射振子统计和光子概念，爱因 斯坦提出声子模型，定量解释了固体比热容与温度的关系。 1.模型 (1)晶体中原子振动的能量是相互独立的，所有原子都具 有同一频率 ，E=nh ； (2)系统服从基本统计物理原理-玻耳兹曼原理。
2.计算 晶体可以看成是一个热力学系统，在简谐近似下，晶格中 原子的热振动可以看成是相互独立的简谐振动。据量子力学， 每个谐振子的能量都是量子化的。
D
B
9N
3 D
（4-11）
D
(2)比热表达式
1 ( )d E 0 k T 2 B e 1 2 k T e CV kB ( )d 2 k T 0
声子对金属比热的贡献
声子对金属比热的贡献
声子对金属比热的贡献
声子对金属比热的贡献
声子在物理学中是经典的基本物理粒子，在金属比热中发挥着重要作用。
它是
以压强波式传播的能量载体，可以从一种物理状态到另一种物理状态中传播，从而实现能量的转化。
特别是金属，由于其原子层间间隙很小，声子能量在其中传播得很快，而且能量分布得很均匀，所以它对金属比热的贡献是非常大的。
另外，声子在金属比热中也起着重要的作用。
由于各种声子的传播速度和其他
特性不同，它们可以携带不同的能量，这给金属比热带来了新的可能性。
最后，声子能带来具体的实际应用。
声子的变形和弹性也可以增加金属的断裂
强度。
由于声子能量的传播更加均匀，所以它们可以用来改善金属行为，增加其热传导性能，实现更高效的比热效率。
总而言之，声子对金属比热的贡献是巨大的。
它使得金属能够更好地传播能量，改善金属的性能，并增加金属的耐用性，使其变得更加坚韧。
这些特性都使声子发挥了重要作用，被广泛应用于现实中的各种领域，因此，声子对于金属比热的贡献是显而易见的。
论述电子和声子对金属比热的贡献
论述电子和声子对金属比热的贡献金属比热分析是对金属表面温度变化和物理性质之间关系的研究、研究金属在温度或时间不同条件下的性状变化，以及其使用的金属的比热容的研究，在该研究中，电子和声子将为金属提供贡献。
电子是质子和中子围绕核外集群中流动的最小粒子，它们可分成空间电荷、磁原子和其他电子，空间电荷是最强的，可以影响金属的热传导和导电性，从而影响金属的比热。
空间电荷是由电子实现的，因此，电子也是金属比热的影响因素之一，在电子结构改变时，可以带来几个十分之一的比热变化。
关于电子对金属比热的贡献，目前有几种见解可供考虑，首先，Patterson提出的电子排斥力理论就是目前最为有效的解释，它基于电子结构来解释金属的比热。
它称：如果比热是由电子带来的，那么比热会随着温度的升高而增加，这是由于电子结构的改变而导致的，即在较高的温度下，电子会受到热力学抛射压力的影响，因此电子将会在更大的温度差异下排斥，从而导致比热的增加。
其次是Kittel提出的空间局域电磁学理论，它称，电子的能量状态受到其周围空间结构的影响。
由于磁场的变化会影响电子的能量状态，因此我们可以通过调整磁场来改变电子的分布，从而影响金属的比热。
最后，存在一种拟空间电子理论，它提出，在金属的表面层中，电子的行为和空间结构改变会导致拟空间电子，即实际电子外加一个额外的电子，从而影响金属的比热。
另一方面，声子也是金属比热和电子结构之间的重要因素，声子也被称为波，它们是由金属原子构成的固体状态中的小荷兰传播而形成的，它们可以影响固体内部粒子的能量。
因此，当金属在温度变化时，它们将影响固体内部的声子结构，从而影响金属的比热。
另外，研究发现，热声子的性质受比重、高温因子和电子参数的影响，当金属温度升高时，热声子的强度也会增加，因此可以改变金属的比热。
最后，根据艾尔罗理论，由于声子的能量和电子的能量的区别，声子的能量会传播到更大的金属表面，从而影响金属的比热。
由以上可以看出，电子和声子对金属比热都有显著的影响，它们可以影响金属的温度和物理性质，从而改变金属的比热。
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1
KD
D
v
6π2 V
N
3
11
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
对每一种偏振类型，声子能量为
U p
dD
p
(
)
e /t
1
D 0
d
V 2
2π2v3
e /t 1
为简单起见，假定波速 v 与偏振态无关，因此
U
3
D 0
d
V 2
2T )4 2π 2v 33
隔内的模式数目，此函数亦称为模式密度，但
常称为态密度
5
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
5.1. 3 一维情况下的态密度 考虑玻恩-卡曼环状原子链，波矢 K 的取值
K l 2π l 2π （l为整数且l ( N , N ]）
Na L
22
L=Na 为原子链的长度，所以在区间 π/a K π/a
p
假定在 ~+d 范围内晶体具有给定极化模为 p 的振动模式数 Dp()d，用积分代替求和，
U p
dDp
(
)
e
/t
1
4
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
晶格比热容为
U
Clat T kB p
dDp
(
)
( /t )2 e /t
(e /t 1)2
所以问题就转化为求 Dp() ，即求单位频率间
xD 0
dx
e
x3 x 1
其中定义 x /t / kBT，以及 xD D / kBT / T 称为德拜温度
12
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
德拜温度为
D
kB
v kB
6π2 V
N
1/ 3
因此总的声子能量
U
9Nk
BT
T
3
xD 0
dx
e
x3 x 1
V (2π)3
4 3
πK
3
因此对每种偏振类型，态密度为
D()
dN
d
VK 2π
2 2
dK
d
9
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
5.1. 5 计算态密度的德拜模型 德拜具体分析的是各向同性的弹性介质，对
每一种偏振假定声速保持恒定，就像在经典弹性 连续介质中的情况一样，这时色散关系
5.1 声子比热容
德拜近似下的固体比热容
锗和硅的比热容
15
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
杜隆-珀替定律
根据经典统计理论的能量均分定理，每一个 简谐振动的平均能量是 kBT，若固体中有 N 个原 子，则有 3N 个简谐振动模，则固体总能量为
热容为
U 3NkBT U
13
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
U
3
V 2π2v
3
D 0
d
3
e /t 1
由上式对温度进行微分运算，可得热容
CV
U T
3V2 2π2v3k BT 2
D 0
d
4e /t
(e /t 1)2
9
Nk
B
T
3
xD 0
dx
x (ex
4ex 1)
2
14
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
（l为整数且l ( N , N ]） 22
对每一种偏振模式每一支色散，波矢空间每一体
积元 (2p/L)3 积内允许的
内有一个
K
值数为
K
值，即
K
空间每单位体
L 2π
3
V (2π)3
8
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
对每种偏振，波矢比 K 小的模式总数为
N
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
声子能量
在温度为 t (=kBT) 的声子总能量可表示成所
有声子模能量的总和
Ulat
UK,p
nK, p K, p
Kp
Kp
式中 <nK,p> 表示平衡情况下波矢为 K、极化模为 p 的声子占有数。声子为玻色子，因此有
1
1
nK , p
2π
2π d / dK
当 (K) 成水平
直线，即群速等
于0时， D() 就
出现一个奇点
7
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
5.1. 4 三维情况下的态密度
将周期性边界条件应用于边长为 L 的立方体
所包含的
N3
个原胞，于是波矢
K
三个分量的取
值与一维的情况一样，即
2π Kx,Ky,Kz l L
单位长度的模式数目为 L/2p，在其它区间为0
实际上我们需要知道的是单位频率间隔内的
模式（或状态的数目）D()
6
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
(K) 是 K 的偶函数，所以在 处 d 间隔内
的模式数等于在 K 处 dK 间隔内的模式数的两倍
D()d 2 L dK 2 L d
则态密度便成为
vK
D()
V 2
2π2v3
10
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
如果样品有 N 个原胞，则声学声子的总数目
就是 N 个，因此由
N
V (2π)3
4 3
πK
3
V (2π)3
4 3
π
v
3
我们可得到截止频率
在 K空间与此频率相D3 应6的π2V截v3止N 波矢为
CV T 3NkB
即热容是一个与温度和材料无关的常数，此即
杜隆-珀替定律
16
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
CV
9NkB
T
3
xD 0
dx
x4ex (ex 1)2
在高温的极限 T >> 情况下，即 xD<<1，x<<1
因此
ex (ex 1)2
N n1 e /t , Nn
t kBT
第 n 个量子态的谐振子占总谐振子数的比为
N n 1
en /t
Ns
es /t
s0
s0
2
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
一个谐振子的平均激发量子数为
利用
ses /t
n
s0
es /t
s0
xs
1
;
s0
1 x
eK ,p
1
eK ,p /t
1
1
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
5.1. 1 普朗克分布（玻色分布）
考虑一组处于热平衡的全同谐振子。玻尔
兹曼因子 eEn / KBT 表示量子态 En 出现的热力学 概率，则处于第 n+1 个量子态与第 n 个量子态
的谐振子数目的比为
s0
sx s
x
d dx
s0
xs
x (1 x)2
可得
n
1
e /t e
/t
1 e /t
1
此即普朗克分布（玻色分布）
3
固体物理导论 第 5 章 声子（II）：热学性质
5.1 声子比热容
5.1. 2 简正模的计算方法
具有不同频率 K,p 的谐振子集合的热平衡能
量为
U
K
K, p
e 1 K ,p /t