公差分析基本知识
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公差分析
一、误差与公差 二、尺寸链 三、形位公差及公差原则
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一、误差与公差 （一）误差与公差的基本概念
1. 误差 误差——指零件加工后的实际几何参数相对于理想几何参数之 差。 （1）零件的几何参数误差分为尺寸误差、形状误差、位置误差及 表面粗糙度。 尺寸误差——指零件加工后的实际尺寸相对于理想尺寸之差，如直 径误差、孔径误差、长度误差。 形状误差（宏观几何形状误差）——指零件加工后的实际表面形状 相对于理想形状的差值，如孔、轴横截面的理想形状是正圆形，加工 后实际形状为椭圆形等。 相对位置误差——指零件加工后的表面、轴线或对称面之间的实际 相互位置相对于理想位置的差值，如两个面之间的垂直度，阶梯轴的 同轴度等。 表面粗糙度（微观几何形状误差）——指零件加工后的表面上留下 的较小间距和微笑谷峰所形成的不平度。 2. 公差 公差——指零件在设计时规定尺寸变动范围，在加工时只要控制 零件的误差在公差范围内，就能保证零件的互换性。因此，建立各种 几何公差标准是实现对零件误差的控制和保证互换性的基础。
1、确定要计算的目标值（闭环）。
2、找到与目标值相关的所有零件尺寸。
3、根据装配关系，建立尺寸链，目标尺寸是相关零件安照一定
的装配顺序得到的。
尺寸链计算类型
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尺寸链计算类型有三种：正计算、反计算、中间计算。 正计算——已经各组成环的尺寸公差，计算封闭环的尺寸公差。主要 用来验算设计的正确性。 反计算——已知封闭环的公差，通过等精度法或等公差法对组成环进 行公差分配。主要用在设计上，即根据机器的使用要求来分配各零件 的公差。 中间计算——已知封闭环的公差和部分组成环的公差，求某一组成环 的公差，通常用在加工工艺上。 尺寸链计算方法 极值法——各组成环都按照极限值进行尺寸链计算的方法。 基本公式 设尺寸链中组成环的个数为 m，其中有 n 个增环，A1 为组成环的基 本尺寸，对于直线尺寸链计算公式如下： 1）封闭环的基本尺寸 封闭环的基本尺寸是尺寸链中所有增环的基本尺寸之和减去尺寸链 中所有减环的基本尺寸
封闭环——加工或装配中最后自然形成的、需要保证的的那个尺寸。
组成环——尺寸链中封闭环以外的其他环（在尺寸链中是已知量）
组成环又分为增环和减环
增环——当某一组成环增加（减小），其他组成环都不变时，封闭环
也增加（减小）。
减环——当某一组成环减小（增加），其他组成环都不变时，封闭环
增加（减小）。
尺寸链建立
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（二）误差与公差的关系
公差零件误差
零件误差
图1
由图 1 可知，零件误差是公差的子集，误差是相对于单个零件而言的； 公差是设计人员规定的零件误差的变动范围。
（三）公差术语及示例
图2 以图 2 为例： 基本尺寸——零件设计中，根据性能和工艺要求，通过必要的计 算和实验确定的尺寸，又称名义尺寸，图中销轴的直径基本尺寸为Φ 20，长度基本尺寸为 40。 实际尺寸——实际测量的尺寸。 极限尺寸——允许零件实际尺寸变化的两个极限值。两个极限值 中大的是最大极限尺寸，小的是最小极限尺寸。
(2)封闭环尺寸的方差等于各组成环尺寸的方差之和即：
传递系数：各组成环对封闭环影响大小的系数 假设尺寸链各环尺寸的分布范围与尺寸公差相一致尺寸链中各组成 环的平均尺寸等于各组成环的尺寸的平均值各尺环的尺寸公差都等 于各环尺寸标准差的 6 倍，即 6σ组成环尺寸分布偏离正态分布时， 用下面公式进行近似：
图 3 公差带图解
公差带——在公差带图解中，由代表上极限偏差和下极限偏差的两条 直线所限定的一个区域。它是由公差带大小和其相对零线的位置来确 定。
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二、尺寸链 尺寸链——在机器装配或零件加工过程中，相互有联系的尺寸按
照一定顺序形成的封闭的尺寸组。
图 4 尺寸链
上图尺寸链中：A1、A2、A3、A4、A5、A6 为组成环，X 为闭环。Βιβλιοθήκη Baidu
平均尺寸表示尺寸分布的集中位置，在平均尺寸附近出现的概率较大
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当组成环的尺寸分布规律符合正态分布时，封闭环的尺寸分布规律也 符合正态分布，封闭环中间偏差的平方等于所有组成环中间偏差的平 方和
= 根据概率论，若将各组成环是为随机变量，则封闭环也是随机变量， 且有： （1）封闭环尺寸的平均值等于各组成环尺寸平均值的代数和
2）最大最小极限尺寸 封闭环的最大极限尺寸是尺寸链中所有增环的最大极限尺寸之和减 去所有减环的最小极限尺寸之和，同理得封闭环最小极限尺寸
•
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同理 3）封闭环的上下偏差 封闭环的上偏差等于尺寸链中所有增环的上偏差之和减去所有减环 的下偏差之和，同理可得封闭环的下偏差
= 同理： = 4）封闭环的公差
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= 中间偏差，公差及极限偏差的关系
概率法 概率法——运用概率论理论来求解封闭环尺寸与组成环尺寸之间的 关系。 正态分布
如果 X~( , ),Y~( , )是相互独立的正态分布随机变量，那么： X+Y~( + , + ) X-Y~( - , - )
在大批量的生产中，一个尺寸链中的个组成环尺寸的获得彼此没有关 系，因此，可将他们看成是相互独立的随机变量，经大量实测数据后， 从概率的概念来看，有两个特征数： 算术平均数:这个数值表示尺寸的分布集中的位置 均方根偏差 说明实际尺寸分布相对于算术平均值的离散程度 将极限尺寸换算成平均尺寸
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尺寸偏差——某一尺寸（实际尺寸，极限尺寸）减去基本尺寸所得到 的代数差。 上偏差=最大极限尺寸-基本尺寸，用代号（ES）（孔）和 es（轴） 下偏差=最小极限尺寸-基本尺寸，用代号（ES）（孔）和 es（轴） 尺寸公差——允许尺寸的变动量 尺寸公差=最大极限尺寸-最小极限尺寸 公差带 零线——在极限与配合图解中，标准基本尺寸是一条直线，以其为基 准确定偏差和公差。通常，零件沿水平方向绘制，正偏差位于其上， 负偏差位于其下，如下图。
-=
+
5）封闭环的实际误差
在零件加工过程中，当各环的实际误差不等于各环的公差时，封闭环
的实际误差等于所有组成环的误差之和
= 6）封闭环的中间尺寸与中间偏差 封闭环的中间尺寸是最大值与最小值之和的平均值
= 封闭环的中间尺寸等于所有增环的中间尺寸之和减去所有减环中间 尺寸之和
中间偏差是上下偏差的平均值，也是公差带的中心坐标，封闭环的中 间偏差为：
一、误差与公差 二、尺寸链 三、形位公差及公差原则
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一、误差与公差 （一）误差与公差的基本概念
1. 误差 误差——指零件加工后的实际几何参数相对于理想几何参数之 差。 （1）零件的几何参数误差分为尺寸误差、形状误差、位置误差及 表面粗糙度。 尺寸误差——指零件加工后的实际尺寸相对于理想尺寸之差，如直 径误差、孔径误差、长度误差。 形状误差（宏观几何形状误差）——指零件加工后的实际表面形状 相对于理想形状的差值，如孔、轴横截面的理想形状是正圆形，加工 后实际形状为椭圆形等。 相对位置误差——指零件加工后的表面、轴线或对称面之间的实际 相互位置相对于理想位置的差值，如两个面之间的垂直度，阶梯轴的 同轴度等。 表面粗糙度（微观几何形状误差）——指零件加工后的表面上留下 的较小间距和微笑谷峰所形成的不平度。 2. 公差 公差——指零件在设计时规定尺寸变动范围，在加工时只要控制 零件的误差在公差范围内，就能保证零件的互换性。因此，建立各种 几何公差标准是实现对零件误差的控制和保证互换性的基础。
1、确定要计算的目标值（闭环）。
2、找到与目标值相关的所有零件尺寸。
3、根据装配关系，建立尺寸链，目标尺寸是相关零件安照一定
的装配顺序得到的。
尺寸链计算类型
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尺寸链计算类型有三种：正计算、反计算、中间计算。 正计算——已经各组成环的尺寸公差，计算封闭环的尺寸公差。主要 用来验算设计的正确性。 反计算——已知封闭环的公差，通过等精度法或等公差法对组成环进 行公差分配。主要用在设计上，即根据机器的使用要求来分配各零件 的公差。 中间计算——已知封闭环的公差和部分组成环的公差，求某一组成环 的公差，通常用在加工工艺上。 尺寸链计算方法 极值法——各组成环都按照极限值进行尺寸链计算的方法。 基本公式 设尺寸链中组成环的个数为 m，其中有 n 个增环，A1 为组成环的基 本尺寸，对于直线尺寸链计算公式如下： 1）封闭环的基本尺寸 封闭环的基本尺寸是尺寸链中所有增环的基本尺寸之和减去尺寸链 中所有减环的基本尺寸
封闭环——加工或装配中最后自然形成的、需要保证的的那个尺寸。
组成环——尺寸链中封闭环以外的其他环（在尺寸链中是已知量）
组成环又分为增环和减环
增环——当某一组成环增加（减小），其他组成环都不变时，封闭环
也增加（减小）。
减环——当某一组成环减小（增加），其他组成环都不变时，封闭环
增加（减小）。
尺寸链建立
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（二）误差与公差的关系
公差零件误差
零件误差
图1
由图 1 可知，零件误差是公差的子集，误差是相对于单个零件而言的； 公差是设计人员规定的零件误差的变动范围。
（三）公差术语及示例
图2 以图 2 为例： 基本尺寸——零件设计中，根据性能和工艺要求，通过必要的计 算和实验确定的尺寸，又称名义尺寸，图中销轴的直径基本尺寸为Φ 20，长度基本尺寸为 40。 实际尺寸——实际测量的尺寸。 极限尺寸——允许零件实际尺寸变化的两个极限值。两个极限值 中大的是最大极限尺寸，小的是最小极限尺寸。
(2)封闭环尺寸的方差等于各组成环尺寸的方差之和即：
传递系数：各组成环对封闭环影响大小的系数 假设尺寸链各环尺寸的分布范围与尺寸公差相一致尺寸链中各组成 环的平均尺寸等于各组成环的尺寸的平均值各尺环的尺寸公差都等 于各环尺寸标准差的 6 倍，即 6σ组成环尺寸分布偏离正态分布时， 用下面公式进行近似：
图 3 公差带图解
公差带——在公差带图解中，由代表上极限偏差和下极限偏差的两条 直线所限定的一个区域。它是由公差带大小和其相对零线的位置来确 定。
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二、尺寸链 尺寸链——在机器装配或零件加工过程中，相互有联系的尺寸按
照一定顺序形成的封闭的尺寸组。
图 4 尺寸链
上图尺寸链中：A1、A2、A3、A4、A5、A6 为组成环，X 为闭环。Βιβλιοθήκη Baidu
平均尺寸表示尺寸分布的集中位置，在平均尺寸附近出现的概率较大
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当组成环的尺寸分布规律符合正态分布时，封闭环的尺寸分布规律也 符合正态分布，封闭环中间偏差的平方等于所有组成环中间偏差的平 方和
= 根据概率论，若将各组成环是为随机变量，则封闭环也是随机变量， 且有： （1）封闭环尺寸的平均值等于各组成环尺寸平均值的代数和
2）最大最小极限尺寸 封闭环的最大极限尺寸是尺寸链中所有增环的最大极限尺寸之和减 去所有减环的最小极限尺寸之和，同理得封闭环最小极限尺寸
•
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同理 3）封闭环的上下偏差 封闭环的上偏差等于尺寸链中所有增环的上偏差之和减去所有减环 的下偏差之和，同理可得封闭环的下偏差
= 同理： = 4）封闭环的公差
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= 中间偏差，公差及极限偏差的关系
概率法 概率法——运用概率论理论来求解封闭环尺寸与组成环尺寸之间的 关系。 正态分布
如果 X~( , ),Y~( , )是相互独立的正态分布随机变量，那么： X+Y~( + , + ) X-Y~( - , - )
在大批量的生产中，一个尺寸链中的个组成环尺寸的获得彼此没有关 系，因此，可将他们看成是相互独立的随机变量，经大量实测数据后， 从概率的概念来看，有两个特征数： 算术平均数:这个数值表示尺寸的分布集中的位置 均方根偏差 说明实际尺寸分布相对于算术平均值的离散程度 将极限尺寸换算成平均尺寸
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尺寸偏差——某一尺寸（实际尺寸，极限尺寸）减去基本尺寸所得到 的代数差。 上偏差=最大极限尺寸-基本尺寸，用代号（ES）（孔）和 es（轴） 下偏差=最小极限尺寸-基本尺寸，用代号（ES）（孔）和 es（轴） 尺寸公差——允许尺寸的变动量 尺寸公差=最大极限尺寸-最小极限尺寸 公差带 零线——在极限与配合图解中，标准基本尺寸是一条直线，以其为基 准确定偏差和公差。通常，零件沿水平方向绘制，正偏差位于其上， 负偏差位于其下，如下图。
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5）封闭环的实际误差
在零件加工过程中，当各环的实际误差不等于各环的公差时，封闭环
的实际误差等于所有组成环的误差之和
= 6）封闭环的中间尺寸与中间偏差 封闭环的中间尺寸是最大值与最小值之和的平均值
= 封闭环的中间尺寸等于所有增环的中间尺寸之和减去所有减环中间 尺寸之和
中间偏差是上下偏差的平均值，也是公差带的中心坐标，封闭环的中 间偏差为：