第一章2连续介质力学

⎡e1′ ⋅ e1 M = ⎢⎢e′2 ⋅ e1
⎢⎣e3′ ⋅ e1
e1′ ⋅ e2 e′2 ⋅ e2 e3′ ⋅ e2
e1′ ⋅ e3 ⎤ ⎡cos(e1′，e1 )
e′2
⋅
e3
⎥ ⎥
=
⎢⎢cos(e′2，e1
)
e3′ ⋅ e3 ⎥⎦ ⎢⎣cos(e3′，e1 )
cos(e1′，e2 ) cos(e′2，e2 ) cos(e3′，e2 )
A
A
A
J′ = MJMT
例1.26 证明： ∇v 是二阶张量。
解：
∇v
=
ei
∂ ∂xi
(v je j )
=
v j，i ei e j
xi = M mi xm′
∂xi ∂xm′
= M mi
vn′ = M nj v j
∂vn′ ∂xm′
= ∂vn′ ∂xi
∂xi ∂xm′
=
∂(Mnjvj ∂xi
)
Mmi
cos(e1′，e3 )⎤ cos(e′2，e3 )⎥⎥ cos(e3′，e3 )⎥⎦
b = (e1′ e′2 e3′ ) b′ = (e1 e2 e3 ) b b = (e1′ e′2 e3′ ) b′ = (e1 e2 e3 ) MT b′ = (e1 e2 e3 ) b
b = MTb′
b′ = Mb
定义：基矢量ei和ej可作并积，而形成二阶单位并矢量eiej
∇v = 2x1e1e1 + x2e1e2 + 4x2e2e1 + (x1 + 2x2 )e2e2
∇v = (e1
e2 )⎢⎣⎡42xx12
x2 ⎤ ⎡e1 ⎤
x1
+
2x2
⎥ ⎦
⎢⎣e2
⎥ ⎦
在三维空间中，二阶单位并矢量有九个。一般地，九个二阶
= MmiMnj
∂vj ∂xi
矢量的基 ei 称为一阶单位并矢量
两个一阶单位并矢量作并积的结果 eie j 称为二阶单位并矢量
以此类推，eie j ek 称为三阶单位并矢量
三阶张量为：如果一个量 Π在坐标系x1x2 x3 和 x1′x2′ x3′ 中具有不变的形
式，即
Π = Π ijk ei e j ek = Π i′jk ei′e′j e′k
(ei e j )(emenel ) = ei e j emenel
ek × (ei e j ) = (ek × ei )e j = ε kimeme j (ei e j ) × ek = ei (e j × ek ) = ε jkmei em (ei e j ) ⋅ ek = ei (e j ⋅ ek ) = δ jk ei (ei e j ) × (emen ) = ei (e j × em )en = ε jmk ei ek en
dA
x′
M
=
⎡ cosα ⎢⎣− sinα
sinα ⎤
cosα
⎥ ⎦
x
在x’y’中
dA′ = dx′dy′ = (cosαdx + sinαdy)(−sinαdx + cosαdy) = dxdy = dA
∫ ∫ ∫ J′ = x′x′T dA′ = MxxT MT dA = M xxT dA MT = MJMT
1.3 张 量
标量
矢量
张量
数量
数量＋方向 矢量＋“方向”
1.3.1 矢量的坐标变换式
x3
x3′
x3′ x3
x1′ x1
x2′
x2
x1′
平移
x1
旋转
x3
x2′
x2′
x2
x1′
x1
x3′
x2
反射
⎡e1′ ⎤ ⎡e1 ⎤
⎢⎢e′2
⎥ ⎥
=
M
⎢⎢e2
⎥ ⎥
⎢⎣e3′ ⎥⎦ ⎢⎣e3 ⎥⎦
(e1′ e′2 e3′ ) = ( e1 e2 e3 ) M T
A = MT A′M A′ = MAMT
Aij = M mi M nj Am′ n
Ai′j = M im M A jn mn
如果一个量A在坐标系 x1′x2′ x3′ 和 x1x2 x3 中具有不变的形式，即 A = Aij ei e j = Ai′j ei′e′j
且在坐标变换（1.61）中满足如下的关系：
bi = M jib′j bi′ = M ijb j
梯度： grad u = ∇u
若u是标量，∇u 是矢量； 若u是矢量，∇u 是？？。
如：
v
=
( x12
+
2
x
2 2
)e1
+
( x1x2
+
x22 )e2
∇ν
∂v1 ∂x1
=
2x1
∂v2 ∂x1
= x2
∂v1 ∂x2
=
4x2
∂v2 ∂x2
= x1 + 2x2
加法： A + B = Aij ei e j + Bij ei e j = ( Aij + Bij )ei e j
乘法： ei ⋅ e j = δ ij ei × e j = εijkek
eie j = eie j
ei ⋅ (e jek ) = (ei ⋅ e j )ek = δijek (ei e j ) ⋅ (emen ) = ei (e j ⋅ em )en = δ jmei en
单位并矢量的线性组合A可记为：
⎡ A11 A12 A13 ⎤ ⎡e1 ⎤
A = Aijeie j = (eห้องสมุดไป่ตู้ e2
e3
)
⎢ ⎢
A21
A22
A23
⎥ ⎥
⎢⎢e2
⎥ ⎥
⎢⎣ A31 A32 A33 ⎥⎦ ⎢⎣e3 ⎥⎦
= (e1 e2 e3 ) A (e1 e2 e3 )T
⎡ A1′1 A1′2 A1′3 ⎤⎡e1′ ⎤
J
=
⎡Iy
⎢ ⎣
I
xy
I xy Ix
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣
∫
A
∫
A
x 2dA xydA
∫
A
∫
A
xydA⎤ ⎥
y 2dA⎥⎥⎦
∫ 解：可以看出，矩阵 J
=
A
⎡x2 ⎢ ⎣ xy
xy ⎤
y
2
⎥dA ⎦
记 ：
x
=
⎡x⎤
⎢ ⎣
y⎥⎦
∫ J = xxTdA A
y′
y
x′ = Mx x′T = xT MT d x′ = M d x
A = Ai′j ei′e′j = (e1′
e2′
e3′
)
⎢ ⎢
A2′1
A2′2
A2′3
⎥ ⎥
⎢⎢e
′2
⎥ ⎥
⎢⎣ A3′1 A3′2 A3′3 ⎥⎦⎢⎣e3′ ⎥⎦
= (e1′ e′2 e3′ ) A′(e1′ e′2 e3′ )T
A = (e1 e2 e3 ) MT A′M(e1 e2 e3 )T
Ai′j = M im M jn Amn
则称A为二阶张量。
⎡1 0 0⎤ ⎡e1 ⎤
定
( I = δijeie j = e1
e2
e3 ) ⎢⎢0
1
0⎥⎥
⎢⎢e2
⎥ ⎥
义：
⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣e3 ⎥⎦
为二阶单位张量
例1.24：证明，在材料力学中定义的平面图形的惯 性矩和惯性积的集合构成二维情况下的张量分量
且其分量在坐标变换（1.61）中满足
Π m′ nl = M mi M nj M lk Π ijk
则称Π 为三阶张量。
ε = εijkeie jek 置换张量
零张量: 所有分量都为0的张量 零阶张量 ：标量
1.3.3 张量的代数运算
数乘： αA = α ( Aij ei e j ) = (αAij )ei e j