求导积分与微分方程数值解(第1次课)讲解

用复合辛普森公式计算定积分，fun为被积函数表 达式字符串或m函数文件名，a，b是积分下上限， tol表示精度(缺省0.001)，trace=1图示积分过程(默 认=0不显示)
%quadl采用Lobatto算法，精度和速度要优于quad
%quad8采用8阶NewtonCotes算法，精度优于quad
sum(y(1:length(x)-1))*dx
10
( (x2 115)dx 的近似值)
0
求定积分运算的调用格式
14
trapz(x,y)
程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
用复合梯形公式计算定积分，x为积分变量分点向 量，y为被积函数分点函数值向量
quad('fun',a,b,tol,trace)
x
为例验证罗必塔法则：
程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
syms a b x f=a^x-b^x; g=x; l1=limit(f/g,x,0) df=diff(f,x); dg=diff(g,x); l2=limit(df/dg,x,0) if l1==l2 disp('罗必塔法则得到验证！') end
x3
syms x; y=5*x+log(sin(x)+exp(sin(x))); limit(y,x,3,'left')
求导数运算的调用格式
5
程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
[1] 一元函数求导 基本调用格式：
diff(f)
功能-求函数f的一阶导数
diff(f,n) 功能-求函数f的n阶导数
d2y=diff(y,2), disp('***') , pretty(d2y),
求导数运算的调用格式
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程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
[2] 多项式拟合求导（表达式未知或不易求导） 方法说明：
先利用polyfit将函数拟合成多项式函数，然后利用 多项式函数求导命令polyder求导或diff求导 应用示例： 例5 用5阶多项式拟合函数 cos(x)ln(3 x2 e2x) 并求x=2处的二阶导函数值
syms a b x y z; u=a*exp(b*x+y+z^2);pretty(diff(u,z))
例8 对 z x3y2 sin(xy),求3z x3
syms x y; z=x^3*y^2+sin(x*y);diff(z,x,3)
求导数运算的应用示例
9
ax bx
例9
以
lim
x0
[2] 定积分-解析解法
方法说明：
int(f,x,a,b) 依据微积分基本公式计算
应用示例： 2
1
例13 计算 (x2 a)2 dx
2
syms a x;f=sqrt(x^2+a);pretty(int(f,x,-2,2))
b
f (x)dx
a
x2
1
例14 对变上限函数 (1 t 2 )2 dtall~3Q!
值讲
解求
导
积
分
与
微
分
方
y2=poly2sym(p,'x'), y2d2=diff(y2,2), ans2=subs(y2d2,2), %利用通用求导函数diff求导，并代值
求导数运算的调用格式
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程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
[3] 参数方程求导
方法说明：
对参数方程x=x(t);y=y(t);先求出dy/dt和dx/dt
x 1sin
x)1
x3
程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
syms x; y=((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/x^3); limit(y)
例2 求极限 lim (11 n)n
n
syms n; y=(1+1/n)^n; limit(y,n,inf)
例3 求极限 lim [5x ln(sin x esin x)]
求不定积分运算的调用格式 10
程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
[1] 不定积分 方法说明： int(f)对默认变量积分；int(f,v)对指定变量积分 应用示例： 例10 计算 1 sin2 x cos2 xdx
syms x; y=1/(sin(x)^2*cos(x)^2); pretty(int(y))
hold on; t=4.1; x=eval(x); y=eval(y); plot(x,y,'ro');
k=eval(dydx); line([x,x+1],[y,y+k],'color','r')
求导数运算的调用格式
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程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
[4] 多元函数求导 方法说明： 对指定变量求导，求偏导数 应用示例： 例7 求 u aebx y z2 对z 的偏导数
Funtool符号计算器-功能
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程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
f±a f*a f/a f^a f(x+a) f(x*a) f+a f±g f*g f/g f(g) g=f swap
计算f(x) ±a，并赋给f。 计算f(x)*a，并赋给f。 计算f(x)/a，并赋给f。 计算f^a，并赋给f。 计算f(x+a)，并赋给f。 计算f(ax) ，并赋给f。 计算f(x)+a，并赋给f。 计算两函数之和/差，并赋给f。 计算两函数之积，并赋给f。 计算两函数之比，并赋给f。 计算复合函数f(g(x)) 。 将f的函数值赋给g。 交换f与g的函数表达式。
求定积分运算的应用示例
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例16
用两种方法求定积分
5
ln x / x2dx
x=2:.1:5;y=log(x)./(x.^2);
2
程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
tt=trapz(x,y) %复合梯形公式
fun=inline(' log(x)./(x.^2) ','x'); ss=quad(fun,2,5) %复合辛普森公式
Funtool符号计算器-界面
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程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
Funtool符号计算器-功能
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程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
图形化符号函数计算器的使用：
f=
为图形窗口1的控制函数，其缺省值为x；
g= 为图形窗口2的控制函数，其缺省值为1；
x= 为两窗口函数的自变量取值范围，缺省[-2*pi,2*pi]
求定积分运算的应用示例
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应用示例：
程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
sum使用一次用于求向量或矩阵每一列的和，若使 用两次则先按列求和再按行求和(行列总和)
例15 矩形法计算 y x2 115 在x=0与x=10之 间所围面积
dx=0.1; x=0:dx:10; y=-x.^2+115;
a= 为常数，缺省值为1/2。
df/dx 计算函数f对x的导法式，并赋给f。
int f 计算函数f的积分函数，并赋给f。
simple f 计算函数f的最简表达式，并赋给f。(syms x)
simplify(cos(x)^2+sin(x)^2); simplify((x^2+5*x+6)/(x+2));
例11 计算 1 (a2 x2)dx
syms a x; y=1/(a^2-x^2); pretty(int(y,x))
例12 计算二重不定积分 xexydxdy
syms x y; F=int(int(x*exp(-x*y),x),y)
求定积分运算的调用格式
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程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
求极限运算的调用格式
3
基本调用格式：
程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
limit(f) 功能:计算 limit(f,x,a) 功能:计算 limit(f,x,inf) 功能:计算 limit(f,x,a,'right') 功能:计算 limit(f,x,a,'left') 功能:计算
第三讲 极限、导数、积分(补充1 )
程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
内容：本讲针对一元微积分学补充极限、导数、 积分相关运算；介绍Funtool符号计算器
目的：学习极限 / 导数 / 积分相关函数的指令实 现，为学习微分方程数值解作准备
要求：能够解决高等数学中的极限/导数/积分求解 问题；了解并会使用Funtool符号计算器
syms t x;f= sqrt(1-t^2);pret0ty(diff(int(f,t,0,x^2)))
求定积分运算的调用格式
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程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
[3] 定积分-数值解法
方法说明：
当定积分-符号解法失效时，必须用定积分-数值解 法来近似计算定积分的值。矩形公式sum，复合梯 形公式trapz，复合辛普森公式quad/quad8的区别 在于替代等距曲边梯形的方式不同：
应用示例：
例4 求 f (x) (ax tan3x)1 2 sin xcos(bx)
的一阶、二阶导数
syms a b x;
y=(a*x+tan(3*x))^(1/2)+sin(x)*cos(b*x);
d1y=diff(y), disp('***'), pretty(d1y), disp('***')
x=0:.1:8; y=cos(x).*log(3+x.^2+exp(x.^2)); p=polyfit(x,y,5),
y2=polyval(p,x); plot(x,y,'b',x,y2,'r'); legend('y','y2',2); %产生数据点，拟合成5阶多项式函数，并作图比较
p1=polyder(p); p2=polyder(p1); ans1=polyval(p2,2), %利用多项式函数专用求导函数polyder求导，并代值
lim f (x) x0
lim f (x) xa
lim f (x) x
lim f (x) xa
lim f (x) xa
注意：
默认x趋于0；
在左，右极限 不相等，或有 一个不存在时， 默认为求右极 限；
求极限运算的应用示例
4
应用示例（熟悉应用类型）：
例1 求极限
lim (1tan x0
微分(导数)运算比较简单,任何一个由基本初 等函数经过四则及复合运算构成的函数,都可以用 导数公式和求导法则算出它们的导数.
积分运算则相对复杂得多,仍有许多函数“积 不出来”,由于它们的原函数无法由基本初等函数 经过四则及复合运算构成,计算这类定积分问题我 们也只能采用数值方法.
借助 MATLAB 我们得以快速解决这些问题!
然后代入公式dy/dx= dy/dt / dx/dt 即可
应用示例：
xt(1sin t)
例6
求参数方程

y
t
cos
t
syms t; x=t*(1-sin(t)); y=t*cos(t);
ezplot(x,y); grid on;
dx=diff(x,t); dy=diff(y,t); dydx=dy/dx; pretty(dydx) %下面在t=4.1处作出参数方程的切线（导数）
掌握极限(左、右极限) 函数 limit 掌握导数(1阶导、高阶导、偏导) 函数 diff 掌握积分(不定积分、定积分、数值积分) 函数
int trapz quad quadl quad8
求极限、求导数与求积分... 2
程第 数三 值讲 解求
导 积 分 与 微 分 方
极限,导数,积分是我们在高等数学学习中接触 过的最基本也是最重要的概念.一方面它们是很多 数学工具的基础(比如微分方程);另一方面它们又 是工程计算和科学研究直接面对的问题.
expand(cos(x+y)); expand((x-2)*(x-4));
syms x y; factor(x^3-y^3); factor(x^3+3*x^2+3*x+1);
num f 取表达式f的分子，并赋给f。
den f 取表达式f的分母，并赋给f。
1/f
求f的倒数函数，并赋给f。
finv 求f的反函数，并赋给f。