命题定理证明

有理数一定是自然数；
题设
如果一个数是有理数， 那么这个数一定是自然数。
结论
二、追根溯源
(1)什么是定义?
一般地,能清楚地规定某一名称或术语 的意义的句子叫做该名称或术语的定义. (2)什么是命题? 命题由哪两部分组成?
一般地,对某一件事情作出正确或不正 确的判断的句子叫做命题.
命题由可看做由题设(或条件)和结论两 部分组成.
(D)任何一个角都比它的补角小
判一判
所有的命题都是公理.
Χ Χ
所有的真命题都是定理. 所有的定理是真命题.
√ √
所有的公理是真命题.
公理、定理、真命题、命题之间的关系: 公理
真命题
命题
定理 其它的真命题
假命题
（ 4）
a a
2
（a 是实数）
假命题
说明假命题的方法： 举反例 使之具有命题的条件，而不具有 命题的结论
练习.判断下列命题的真假性？并说明为什么？
x 5 3 x （1）如果 2 3 那么x<4 x 5 3 x 是假命题。因为 当 2 3
时 x>4.25 ， 所以这个命
题是假命题
（２）如果a≠0,b≠0,那么a² +ab+b² =(a+b)²
(真命题)
因为旋转变换不改变图象的形状和大小。
4. X=３是方程 ＝０的解，这个命 题是真命题还是假命题？请说明理由。
假命题。理由如下：将X=３代入方程， 方程无意义。
X- 3 X2- 3
5. 若X是实数，则 x ＞0。这个命题是 真命题还是假命题？请说明理由．
假命题。因为若X=0，则X =0
2
2
命题的构成？
命题都由题设和结论两部分组成。
1.题设是已知事项（条件）， 2.结论是由已知事项推出的事项。
命题的形式？
命题都可以写成下列形式： ........ .......... ........ 如果 .......... · · · · ，那么· · · · · · · ·
是假命题。如：a=1,b=1时a² +ab+b² =3， (a+b)² =4，这时 a²+ab+b²≠ (a+b)² ，所以这个命题是假命题
（３）两个锐角之和一定是钝角
是假命题，如一个锐角为30°，另一个锐角为40°，则两角之 和等于70°为锐角，所以这个命题是假命题
(4)会飞的动物是鸟.
作业题 1 2 5
炉火纯青
哪些是真命题，哪些是假命题？
1）若a∥b，b∥c，则a∥c 2）如果a是有理数，则 a2 +1＞0 3）若a2＞b2 4）若 ab=0 则 a＞b 则a=0
5 ）如果两个角的两边互相平行，这两个 角一定相等. 6）绝对值等于它本身的数是正数.
下列命题中真命题的是(
B
)
(A)从“1、2、3、4、5、6”六个数中任选一 个数，是偶数的概率为0.4 (B)若a与b互为相反数,则a+b=0 (C)绝对值等于它本身的数是正数
１. 下列的命题中,哪些是真命题? 哪些是假命题?请说明理由:
（1）三角形的任何一个外角大于和它不相邻的一个
内角。 (真命题) （2）一条直线截另外两条直线所得到的同位角相等。
由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和“得到
(假命题)
（3）一个图形经过旋转变换，像和原图形全等。
因为两条直线是平行线时同位角才相等。
7、平行线的性质定理：
两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。
问题1 请同学们判断下列两个命题的真假，并思考 如何判断命题的真假． 命题1： 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条 平行线中的一条，那么它也垂直于另一条． （1）命题1是真命题还是假命题？ （2）你能将命题1所叙述的内容 用图形语言来表达吗？
(假命题)
因为会飞的不一定是鸟，如蚊子。
例 2 判别下列命题的真假,并说明理由 : (真命题) (1)如图已知∠1=和∠2 ,则∠1＞ ∠2;
1 2 因为∠1=60， ∠2= 40 所以∠1＞∠2
(真命题)
。
。
(2)三角形的两边之和大于第三边;
根据“两点之间线段最短”。
(3)三角形一条边的两个顶点到这条边 上的中线所在直线的距离相等
（4）你能结合图形用几何语言表述命题的题设和 结论吗？
已知：b∥c， a⊥b ． 求证：a⊥c．
（5）请同学们思考如何利用已经学过的定义定理 来证明这个结论呢？ 已知：b∥c，a⊥b ． 求证：a⊥c． 证明：∵ a⊥b（已知）， ∴∠1=90º （垂直的定义）． 又∵ b∥c（已知）， ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
题设
结论
指下面的命题的题设和结论:
1.如果同位角相等，那么两直线平行. 2.如果两直线平行，那么内错角相等.
3.如果a∥b，b ∥c，那么a ∥c
4.如果两个角不相等，那么这两个角不是对 顶角
P21.1（1）（2）
两条直线平行，同位角相等.
题设
如果两条平行直线被第三条直线所截， 那么同位角相等.
命题2 相等的角是对顶角． （1）判断这个命题的真假． （2）这个命题题设和结论分别是什么？ 题设：如果有两个角相等； 结论：那么这两个角互为对顶角．
问题2 请同学们判断下列两个命题的真假，并思 考如何判断命题的真假．
命题2 相等的角是对顶角．
（3）我们知道假命题是在条件成立的前提下，结 论不一定成立，你能否利用图形举例说明当两个角 相等时它们不一定是对顶角的关系.
推理证明
(真命题)
对顶角相等
(真命题)
3 2 1
∵∠1＋∠3＝180° ∠2＋∠3＝180° ∴∠1＝∠2
(同角的补角相等)
要判定一个命题是真命题常常通过推理的方式.
课内练习：
１、请举两个命题,要求其中一个是真命题, 另一个是假命题.并说明你是用什么方法来 作业题 3 判别它们的真假的.
２、如图,若∠1+∠2=180 ,则a∥b.用推理的方
结论
★ 如：对顶角相等
题设
结论
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 题设 结论
内错角相等
题设
如果两个角是内错角， 那么这两个角相等
结论
练习：指出下列命题的题设和结论,并改写
成“如果„„那么„„” 的形式.
(1)两直线平行，同位角相等； (2)等角的余角相等
(3)
相等的角是对顶角
(4)三个内角都等于60°的三角形是
5.3.2 命题定理证明
一、感受生活
侧面展开图
对事情作了判断的语句是否正确？ 下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判 断？哪些没有对事情作出判断？ 1、对顶角相等； 是 √ 2、画一个角等于已知角； 否 √ 3、两直线平行，同位角相等； 是 否 4、a、b两条直线平行吗？ 否 5、温柔的李明明； 是 6、玫瑰花是动物； ×
例、哪些是真命题，哪些是假命题？ 2）同位角相等
1）如果两个角互补，那么它们是邻补角 . （假命题）
（假命题） 3）两点可以确定一条直线 （真命题） 4）若A=B，则2A=2B （真命题） 5）垂线最短 （假命题） 6）两点之间线段最短 （真命题） 7）同角的补角相等 （真命题） P24.12
公理 ★ 公理：人们在长期实践中总结出来的，并把 它们作为判断其他命题真假的原始依据的命 题。（它们是不需要证明的基本事实） 定理 ★ 定理：用逻辑推理的方法判断它们是正确的 ，并且可以进一步作为判断其他命题真假的 依据。这样得到的真命题叫做定理。 （它们是需要证明其正确性后才能用）
思考下列命题的题设(条件)是什么?结论是什么 ? (1)三角形的两边之和大于第三边 (2)三角形三个内角的和等于180
0
(3)两点确定一条直线
(4)对于任何实数 x, x2 ＜0. 上述命题中,哪些正确?哪些不正确?你的理由 是什么? (1),(2), (3) （ 4） 正确的是_______ 不正确的是______
定理（举例）：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
三角形任何两边的和大于第三边; 内错角相等, 两条直线平行; 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
前面我们已经学过的,用推理的方法得到的那些用黑体字表述的图形的性质都可以作为 定理.
等式的有关性质和不等式的有关性质 都可以看作公理 在等式或不等式中,一个量可以用它的等量 来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质 也看作公理,称为“等量代换”.
判断下列语句是不是命题？是用“√”， 不是用“× 表示。 1）长度相等的两条线段是相等的线段吗?( ) × 2）两条直线相交，有且只有一个交点（ √）
√） 3）不相等的两个角不是对顶角（
4）对顶角相等（ √） 5）今天天气真好啊！（ × ）
6）我计划明天去秋游；（ ×）
7）画两条相等的线段（× ）
命题的定义？
判断一件事情的语句叫做命题。（陈述句） ★语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的 判断. 注意： 1、只要对一件事情作出了判断，不管正确与否 ，都是命题。 如：相等的角是对顶角。 2、如果一个句子没有对某一件事情作出任何判 断，那么它就不是命题。 如：画线段AB=CD。 结论： ★ 问句，画图，感叹句，祈使句不是命题！
法说明它是一个真命题.
1
作业
如何证实一个命题是真命题呢
请你归纳 证明真命 题的方法
用我们以前学过 的观察,实验,验 证、特例等方法 .
哦……那可 怎么办
这些方法 往往并不 可靠. 真命题常常 通过推理的 方式即根据 已知事实来 推断未知事 实
也有一些命题是 人们经过长期实 践后而公认为正 确的命题
学到新知:
据此可知,一个命题有正确的和不正确之分.
正确的命题叫做真命题,如命题(1),(2),(3);
不正确的命题叫做 假命题,如命题(4).
例1.下列几个命题哪些是真命题？哪些是假命题？
假命题 （1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2）如果a＞b,b＞c,那么a=c； 假命题 （3）一组对边平行，另一组对边相等的四边 假命题 形是平行四边形。
命题1 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条 平行线中的一条，那么它也垂直于另一条． （3）这个命题的题设和结论分别是什么呢？ 题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线 中的一条； 结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条．
命题1 在同一平面内，如果一条直线垂直于两 条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
判定一个命题是真命题的方法:
(1)通过推理的方式,即根据已知的事实来 推断未知事实;
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理 . (2)人们经过长期实践后而公认为正确的. 数学中通常挑选一部分人类经过长期实践 后公认为正确的命题叫做基本事实.
定理和基本事实都可以作为判断其他命 题真假的依据.
公理（举例）：这些公认为正确的命题叫做公理。 1、两点间线段最短。 2、两点确定一条直线。 3、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 。 4、同位角相等，两直线平行。 5、两直线平行，同位角相等。
同角或等角的补角相等。
2、余角的性质：
同角或等角的余角相等。
3、对顶角的性质： 对顶角相等。
4、垂线的性质：
①过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直； ②垂线段最短。
5、平行公理的推论： 如果两条直线都和第三条 直线平行，那么这两条直 线也互相平行。
定理举例：
6、平行线的判定定理：
内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。
∴∠2=∠1=90º（等量代换）．
∴ a⊥c（垂直的定义）．
问题2 请同学们判断下列两个命题的真假，并思 考如何判断命题的真假．
命题2 相等的角是对顶角． （1）判断这个命题的真假．若为假命题 你能否利用图形举例说明 （2）这个命题题设和结论分别是什么？
问题2 请同学们判断下列两个命题的真假，并思 考如何判断命题的真假．
等边三角形
(5)垂直于同一条直线的两条直线平行
命题的真假？
如果题设成立，那么结论一定成立， 这样的一些命题叫做真命题。 如果题设成立时，不能保证结论一定成立， 它就是错误的命题，像这样的命题叫做假命题 正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。
★ 确定一个命题真假的方法： 利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举 反例等方法。
公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据。
1) 直线公理： 过两点有且只有一条直线.
2) 线段公理：两点之间，线段最短. 3) 平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与 已知直线平行. 4) 平行线判定公理： 同位角相等，两直线平行. 5) 平行线性质公理： 两直线平行，同位角相等.
定理举例： 1、补角的性质：