麻省理工学院材料科学与工程系
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围绕一个刃型位错的σxx
你应该注意σxx在位错上方的应 力场是压应力,而在位错下方的 是拉应力。这是合理的，因为多 余半原子面在超过y=0 时是填满 的。同样可以注意应力场的范 围。最大的环对应于σ=0.05G, 仍然是很高的应力,并且它的范 围扩大了约 5 倍的柏氏矢量。这 也应该给你这样一个概念,即刃 型位错附近的应力降落有多迅 速。你也应该注意到对于σyy,压 应力(和拉应力)在位错上部和下 部都存在。同时也绘出了与σxx 类似的应力水平。与σxx相比较, σ yy 在 X 方 向 的 应 力 场 范 围 比 y 方向要小得多。
(e) 这一排列基本上是唯一的。只要部分位错在一个A层后发生,堆垛将会是 "#"#"$"$"$"$,但标记‘A'和‘B'是任选的。
2.4 方程 4.9 是一个刃型位错在笛卡尔坐标下的应力场公式。简化这一公式使之 能用r和θ表示。在两个单独的图中,画出围绕刃型位错的等应力轮廓线(分 别绘出σxx和σyy图)。 绘制应力的单位为μ,距离单位为b,采用ν=1/3. 评 价应力场的形态以及它可以延伸到晶体中的多远处。
⎜⎛ ⎝
1
1 −ν
− 1⎟⎞ ⎠
或者： d
=
Ga 2 12π (SFE)
⎜⎛ ⎝
ν 1−ν
⎟⎞ ⎠
注意平衡间距与层错能的倒数成正比。
(SFE) + Gb2 1 = Gb2 1 2π d 2π (1 −ν ) d
得到答案:
d
=
Gb 2 2π (SFE)
⎜⎛ ⎝
1
1 −ν
− 1⎟⎞ ⎠
对于全位错, b = 1 < 110 > ,但对部分位错, b = 1 < 112 >= a ,这里 a 是晶格
2
6
6
参数。现在我们有:
ห้องสมุดไป่ตู้
Ga a
d
=
66 2π (SFE)
围绕一个刃型位错的σyy
2.5 假设在具有高取向结合键的材料中,位错环定义为由直线段组成；位错环为矩 形
(a) 绘出一位错环并标明柏氏矢量。标明位错线的刃型和螺型分量 (b) 解释为什么这一位错环不会形成一个完整的园形 (c) 如果允许位错环达到平衡并保持恒定的面积,计算平衡位错环的纵横比 (d) 在实际材料中,该问题的限制并不与环的面积相关联。什么是这一问题
(d) 这个问题更自然的表述是使整个位错线长度最小。但通过最小化总能量, 显然的问题是总长度倾向为 0！
2.6 在本问题中,你将计算造成层错的不全位错的平衡间距。假设不全位错的 X1 和 Y1 分量是螺型的而 X2 和 Y2 分量是刃型的(见下图)。考虑位错间的力为 刃型分量之间的排斥力和螺型分量之间的吸引力。当不全位错分开时,能量 随 SFE×d 而增大,这里 SFE 是层错能而 d 为层错分开的间距。因此,阻止分 开的"化学"力是 SFE(单位是每平方米焦耳或每单位长度力)。以 SFE 和材料 性能来确定平衡位错的平衡间距。
麻省理工学院材料科学与工程系 3.14 物理冶金学 2003 年秋季
问题集 2 星期三到期,2003 年 9 月 17 日
2.1 在六方晶体中画出包括下列晶面和晶向族的(0001)极射投影图
2.2 如果 c/a 比值增加,没有位于圆环边缘的点将移向中心。相对的，如果 c/a 比值减少,这些点将移向圆环的边缘。
更实际的表示?
(a) 位错环看起来象右图
螺型
刃
刃
型
型
螺型
(b) 因为刃型和螺型分量有不同的线张力,所以位错环不会形成完整的圆。 为了达到系统总能量最低,环会形成正方形。
(c) A=ES,这里 A 是面积,E 和 S 是刃型/螺型线段的长度。因此 S = A . E
如果纵横比 R 定义为： R = E ,则我们能得到: R = E 2
S
A
2E 单位长度位错线的总能量是: 1 −ν
+ 2S
= 2E 1−ν
+
2A E
当对 E 取导数，一阶导数为 0 时能量将为最低:
dEnergy = 2 − 2A = 0 dE 1 −ν E 2
求解E2得到: E2=A(1-ν). 因为 R = E 2 ,很容易得到：R=1-ν A
如果假设ν=1/3,则螺型分量比刃型分量长大约 50%
平行螺位错之间的吸引力为: F = Gb2
2πd
位错的刃型分量之间的排斥力为:
F
=
Gb 2 2π (1 −ν )
x(x2 − y2 ) (x2 + y2)2
因为位错在相同的滑移面,y=0,x=d. 形成能量不优先的层错带(fcc 晶体不易 具有 hcp 堆垛)所产生的力将等价于部分位错之间的吸引力。因为 SFE 的单位 是每单位长度的力,因此上述力的单位也相同,我们可以直接等同它们(几乎 所有人都将力等同 SFE×d,但这没有适当的单位:F/长度)。吸引力在左边,排 斥力在右边得到平衡:
2.3 练习 4.10
(a) 如 果 空 位 盘 在 一 个 hcp 金 属 的 基 面 上 形 成 , 堆 垛 顺 序 应 为 ： "#"#"##"#"#"
(b) 这是一个非常高的能量排列,因为原子不是以密堆构成
(c) 与空位盘相比,肖脱基不全位错将产生局部的 ABC 堆垛排列并降低应变能
(d) 在层错处的基面的堆垛排列将为："#"#"#$#$#$#
你应该注意σxx在位错上方的应 力场是压应力,而在位错下方的 是拉应力。这是合理的，因为多 余半原子面在超过y=0 时是填满 的。同样可以注意应力场的范 围。最大的环对应于σ=0.05G, 仍然是很高的应力,并且它的范 围扩大了约 5 倍的柏氏矢量。这 也应该给你这样一个概念,即刃 型位错附近的应力降落有多迅 速。你也应该注意到对于σyy,压 应力(和拉应力)在位错上部和下 部都存在。同时也绘出了与σxx 类似的应力水平。与σxx相比较, σ yy 在 X 方 向 的 应 力 场 范 围 比 y 方向要小得多。
(e) 这一排列基本上是唯一的。只要部分位错在一个A层后发生,堆垛将会是 "#"#"$"$"$"$,但标记‘A'和‘B'是任选的。
2.4 方程 4.9 是一个刃型位错在笛卡尔坐标下的应力场公式。简化这一公式使之 能用r和θ表示。在两个单独的图中,画出围绕刃型位错的等应力轮廓线(分 别绘出σxx和σyy图)。 绘制应力的单位为μ,距离单位为b,采用ν=1/3. 评 价应力场的形态以及它可以延伸到晶体中的多远处。
⎜⎛ ⎝
1
1 −ν
− 1⎟⎞ ⎠
或者： d
=
Ga 2 12π (SFE)
⎜⎛ ⎝
ν 1−ν
⎟⎞ ⎠
注意平衡间距与层错能的倒数成正比。
(SFE) + Gb2 1 = Gb2 1 2π d 2π (1 −ν ) d
得到答案:
d
=
Gb 2 2π (SFE)
⎜⎛ ⎝
1
1 −ν
− 1⎟⎞ ⎠
对于全位错, b = 1 < 110 > ,但对部分位错, b = 1 < 112 >= a ,这里 a 是晶格
2
6
6
参数。现在我们有:
ห้องสมุดไป่ตู้
Ga a
d
=
66 2π (SFE)
围绕一个刃型位错的σyy
2.5 假设在具有高取向结合键的材料中,位错环定义为由直线段组成；位错环为矩 形
(a) 绘出一位错环并标明柏氏矢量。标明位错线的刃型和螺型分量 (b) 解释为什么这一位错环不会形成一个完整的园形 (c) 如果允许位错环达到平衡并保持恒定的面积,计算平衡位错环的纵横比 (d) 在实际材料中,该问题的限制并不与环的面积相关联。什么是这一问题
(d) 这个问题更自然的表述是使整个位错线长度最小。但通过最小化总能量, 显然的问题是总长度倾向为 0！
2.6 在本问题中,你将计算造成层错的不全位错的平衡间距。假设不全位错的 X1 和 Y1 分量是螺型的而 X2 和 Y2 分量是刃型的(见下图)。考虑位错间的力为 刃型分量之间的排斥力和螺型分量之间的吸引力。当不全位错分开时,能量 随 SFE×d 而增大,这里 SFE 是层错能而 d 为层错分开的间距。因此,阻止分 开的"化学"力是 SFE(单位是每平方米焦耳或每单位长度力)。以 SFE 和材料 性能来确定平衡位错的平衡间距。
麻省理工学院材料科学与工程系 3.14 物理冶金学 2003 年秋季
问题集 2 星期三到期,2003 年 9 月 17 日
2.1 在六方晶体中画出包括下列晶面和晶向族的(0001)极射投影图
2.2 如果 c/a 比值增加,没有位于圆环边缘的点将移向中心。相对的，如果 c/a 比值减少,这些点将移向圆环的边缘。
更实际的表示?
(a) 位错环看起来象右图
螺型
刃
刃
型
型
螺型
(b) 因为刃型和螺型分量有不同的线张力,所以位错环不会形成完整的圆。 为了达到系统总能量最低,环会形成正方形。
(c) A=ES,这里 A 是面积,E 和 S 是刃型/螺型线段的长度。因此 S = A . E
如果纵横比 R 定义为： R = E ,则我们能得到: R = E 2
S
A
2E 单位长度位错线的总能量是: 1 −ν
+ 2S
= 2E 1−ν
+
2A E
当对 E 取导数，一阶导数为 0 时能量将为最低:
dEnergy = 2 − 2A = 0 dE 1 −ν E 2
求解E2得到: E2=A(1-ν). 因为 R = E 2 ,很容易得到：R=1-ν A
如果假设ν=1/3,则螺型分量比刃型分量长大约 50%
平行螺位错之间的吸引力为: F = Gb2
2πd
位错的刃型分量之间的排斥力为:
F
=
Gb 2 2π (1 −ν )
x(x2 − y2 ) (x2 + y2)2
因为位错在相同的滑移面,y=0,x=d. 形成能量不优先的层错带(fcc 晶体不易 具有 hcp 堆垛)所产生的力将等价于部分位错之间的吸引力。因为 SFE 的单位 是每单位长度的力,因此上述力的单位也相同,我们可以直接等同它们(几乎 所有人都将力等同 SFE×d,但这没有适当的单位:F/长度)。吸引力在左边,排 斥力在右边得到平衡:
2.3 练习 4.10
(a) 如 果 空 位 盘 在 一 个 hcp 金 属 的 基 面 上 形 成 , 堆 垛 顺 序 应 为 ： "#"#"##"#"#"
(b) 这是一个非常高的能量排列,因为原子不是以密堆构成
(c) 与空位盘相比,肖脱基不全位错将产生局部的 ABC 堆垛排列并降低应变能
(d) 在层错处的基面的堆垛排列将为："#"#"#$#$#$#