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《离散数学(专)》阶段练习四

(第七章、第九章)

一、判断题(对的在括弧中打个“√”,错的在括弧中打个“⨯”)

1、任意一棵树都至少拥有三个1度点. ( )

2、任一连通图都至少有一棵生成树,且生成树可以不唯一. ( )

3、任意一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码. ( )

4、所谓叶结点的层数,就是叶结点到根结点的通路长度.

5、对集合}1010{≤≤-=x x A ,定义在其上的运算||y x -是封闭的. ( )

6、半群就是运算满足封闭性且存在幺元的代数系统. ( )

7、独异点一定是半群. ( )

8、群中的每个元素都有逆元,但对应的逆元不唯一. ( )

9、群与其任一子群具有相同的幺元. ( )

10、交换群就是对运算满足交换律且每个元素都有逆元的独异点.

11、记集合},{b a A =的幂集为)(A P ,则代数系统>⊕<),(A P 构成交换群.( )

12、交换群必定是循环群. ( )

13、循环群中的生成元一定是唯一的. ( )

14、群中无零元. ( )

15、设G 为群,那么成立:对∀a , b , c ∈G ,若ab =ac ,则b =c .

16、已知群,G <*>有两个子群,H <*>,,K <*>,那么,H

K <*>和,H K <*>

中,是群,G <*>子群的只有,H K <*>.

( )

二、一棵树T 有2n 个2度点,3n 个3度点,……,k n 个k 度点,其余均为1度点,试问:这棵树T 有多少个1度点?

三、选择题

1、关于树,下列选项中唯一错误的是( ). (A )恰有一个结点入度为0的有向树,叫做根树

(B )根树中,除了叶结点以外的点,都可以叫做分支点

(C )所谓3叉正则树,就是存在一个分支点并且该分支点恰有3个儿子的的根树. (D )所谓树高,即根树中离根结点最远的叶结点所在的层数.

2、下列四个关于树的定义的选项中,唯一一个不正确的是( ).

(A )树是连通的无圈图

(B )树是连通且边数比点数多1的图 (C )树是无圈且边数比点数少1的图 (D )树是每一条边都是割边的连通图.

3、下面的各个符号串组成的集合中,不是前缀码的是( ).

(A ){00,10,010,110,1110}; (B ){,,,,,}aa ab ba bba bbb ;

(C ){,,,,,}ac ba cb cac caa cab ; (D ){,,,,,,}bc ab bb ba bcb bcc bca .

4、对代数系统>*<,A ,下列四个论述中正确的只有( ). A. 若存在零元θ,则零元是唯一的 B. 若存在左幺元,则左幺元必是唯一的

C. 若同时存在左、右幺元,则左、右幺元必相等

D. 若一个元素存在左逆元,则它一定也存在右逆元

5、群是除了不必满足下列( )这一特征但却必须满足其余特征的代数系统>*<,A . A. 可交换性 B. 可结合性 C. 存在幺元 D. 封闭性

E. A 中每个元素都有逆元

6、设>*<,H 和>*<,K 都是群>*<,G 的子群,则下列选项中一定还是群>*<,G 的

子群的只有( ). A. >*-<,K H B. >*⋂<,K H C. >*⋃<,K H

D. >*⊕<,K H

7、交换群是只须同时满足( )等特征的独异点>*<,S .

A. 存在生成元

B. 存在零元

C. 存在幺元

D. 可交换性且S 中每个元素都有逆元

8、下列关于m 叉树的描述正确的是( ).

A. 除了树叶以外,所有其它点的出度必须都大于等于m 的根树

B. 所有点的出度都小于m 的根树

C. 所有点的出度都小于等于m ,但m 必须能取到至少一次的根树

D. 除了树叶以外,所有其它点的出度都必须等于m 的根树

四、填空题

对于实数集合R ,下表所列的二元运算是否具有左边一列中的那些性质,请在相应的位置上添上“是”或“否”.

五、设>*<,R 是一个代数系统,*是实数集合R 上的一个二元运算,它使得对于R 中的任意元素a 、b ,都有

b a b a b a ⋅++=*

其中的运算“+”、“⋅”即为实数的加法、乘法.

试证明:0是幺元,且>*<,R 独异点.

六、设>*<,S 是一个半群,而且对于S 中的元素a 和b ,如果a b b a *=*,则有b a =,试证明:

1、对于S 中任一个元素b ,必有b b b =*;

2、对于S 中任一个元素a 和b ,必有a a b a =**.

七、设>*<,H 和>*<,K 都是群>*<,G 的子群,试证明>*⋂<,K H 也是

>*<,G 的子群.

八、设>*<,G 是个独异点,并且对于G 中的每一个元素x 都有e x x =*,其中e 是幺元,证明>*<,G 是一个阿贝尔群.

九、在实数集合

上定义如下二元运算:

x *3312y x y x y =⋅--+

其中“=”右边的运算依次为实数的乘法、减法和加法运算. (1)、二元运算“*”满足哪些性质(在封闭性、交换性以及结合性中讨论)?并给出理由.

(2)、代数系统,<

*>中是否有幂等元(即满足x x x =*的元素x )?是否有幺元e ?

若有,请求出e .

(3)每个元素是否都有逆元?若有,请求出相应元素.

十、1、给定权13,11,7,5,3,2,试以它们构造一棵最优二叉树.

2、对给定权值11,5,13,4,2,1,8,6,3,9,7.请画出一棵最优4叉树.

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