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《离散数学(专)》阶段练习四
(第七章、第九章)
一、判断题(对的在括弧中打个“√”,错的在括弧中打个“⨯”)
1、任意一棵树都至少拥有三个1度点. ( )
2、任一连通图都至少有一棵生成树,且生成树可以不唯一. ( )
3、任意一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码. ( )
4、所谓叶结点的层数,就是叶结点到根结点的通路长度.
(
)
5、对集合}1010{≤≤-=x x A ,定义在其上的运算||y x -是封闭的. ( )
6、半群就是运算满足封闭性且存在幺元的代数系统. ( )
7、独异点一定是半群. ( )
8、群中的每个元素都有逆元,但对应的逆元不唯一. ( )
9、群与其任一子群具有相同的幺元. ( )
10、交换群就是对运算满足交换律且每个元素都有逆元的独异点.
(
)
11、记集合},{b a A =的幂集为)(A P ,则代数系统>⊕<),(A P 构成交换群.( )
12、交换群必定是循环群. ( )
13、循环群中的生成元一定是唯一的. ( )
14、群中无零元. ( )
15、设G 为群,那么成立:对∀a , b , c ∈G ,若ab =ac ,则b =c .
(
)
16、已知群,G <*>有两个子群,H <*>,,K <*>,那么,H
K <*>和,H K <*>
中,是群,G <*>子群的只有,H K <*>.
( )
二、一棵树T 有2n 个2度点,3n 个3度点,……,k n 个k 度点,其余均为1度点,试问:这棵树T 有多少个1度点?
三、选择题
1、关于树,下列选项中唯一错误的是( ). (A )恰有一个结点入度为0的有向树,叫做根树
(B )根树中,除了叶结点以外的点,都可以叫做分支点
(C )所谓3叉正则树,就是存在一个分支点并且该分支点恰有3个儿子的的根树. (D )所谓树高,即根树中离根结点最远的叶结点所在的层数.
2、下列四个关于树的定义的选项中,唯一一个不正确的是( ).
(A )树是连通的无圈图
(B )树是连通且边数比点数多1的图 (C )树是无圈且边数比点数少1的图 (D )树是每一条边都是割边的连通图.
3、下面的各个符号串组成的集合中,不是前缀码的是( ).
(A ){00,10,010,110,1110}; (B ){,,,,,}aa ab ba bba bbb ;
(C ){,,,,,}ac ba cb cac caa cab ; (D ){,,,,,,}bc ab bb ba bcb bcc bca .
4、对代数系统>*<,A ,下列四个论述中正确的只有( ). A. 若存在零元θ,则零元是唯一的 B. 若存在左幺元,则左幺元必是唯一的
C. 若同时存在左、右幺元,则左、右幺元必相等
D. 若一个元素存在左逆元,则它一定也存在右逆元
5、群是除了不必满足下列( )这一特征但却必须满足其余特征的代数系统>*<,A . A. 可交换性 B. 可结合性 C. 存在幺元 D. 封闭性
E. A 中每个元素都有逆元
6、设>*<,H 和>*<,K 都是群>*<,G 的子群,则下列选项中一定还是群>*<,G 的
子群的只有( ). A. >*-<,K H B. >*⋂<,K H C. >*⋃<,K H
D. >*⊕<,K H
7、交换群是只须同时满足( )等特征的独异点>*<,S .
A. 存在生成元
B. 存在零元
C. 存在幺元
D. 可交换性且S 中每个元素都有逆元
8、下列关于m 叉树的描述正确的是( ).
A. 除了树叶以外,所有其它点的出度必须都大于等于m 的根树
B. 所有点的出度都小于m 的根树
C. 所有点的出度都小于等于m ,但m 必须能取到至少一次的根树
D. 除了树叶以外,所有其它点的出度都必须等于m 的根树
四、填空题
对于实数集合R ,下表所列的二元运算是否具有左边一列中的那些性质,请在相应的位置上添上“是”或“否”.
五、设>*<,R 是一个代数系统,*是实数集合R 上的一个二元运算,它使得对于R 中的任意元素a 、b ,都有
b a b a b a ⋅++=*
其中的运算“+”、“⋅”即为实数的加法、乘法.
试证明:0是幺元,且>*<,R 独异点.
六、设>*<,S 是一个半群,而且对于S 中的元素a 和b ,如果a b b a *=*,则有b a =,试证明:
1、对于S 中任一个元素b ,必有b b b =*;
2、对于S 中任一个元素a 和b ,必有a a b a =**.
七、设>*<,H 和>*<,K 都是群>*<,G 的子群,试证明>*⋂<,K H 也是
>*<,G 的子群.
八、设>*<,G 是个独异点,并且对于G 中的每一个元素x 都有e x x =*,其中e 是幺元,证明>*<,G 是一个阿贝尔群.
九、在实数集合
上定义如下二元运算:
x *3312y x y x y =⋅--+
其中“=”右边的运算依次为实数的乘法、减法和加法运算. (1)、二元运算“*”满足哪些性质(在封闭性、交换性以及结合性中讨论)?并给出理由.
(2)、代数系统,<
*>中是否有幂等元(即满足x x x =*的元素x )?是否有幺元e ?
若有,请求出e .
(3)每个元素是否都有逆元?若有,请求出相应元素.
十、1、给定权13,11,7,5,3,2,试以它们构造一棵最优二叉树.
2、对给定权值11,5,13,4,2,1,8,6,3,9,7.请画出一棵最优4叉树.