复变函数论第三版钟玉泉PPT第一章.
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Fra Baidu bibliotek复变函数
第一章
第一节
第二节 第三节 第四节
复数与复变函数
复数
复平面上的点集 复变函数 复球面与无穷远点
1
复变函数
一、复数的概念
第一节
复数
1. 虚数单位: 实例 : 方程 x 2 1在实数集中无解 . 为了解方程的需要, 引入一个新数 i, 称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i 2 1; (2) i 可以与实数在一起按同 样的法则进行四则运算 . 虚数单位的特性: 一般地，如果n是正整数, 则 i 4 n 1, i 4n1 i , i 4 n 2 1, i 4 n 3 i . 2.复数:对于任意两实数x, y, 我们称 z x iy 为复数. 其中 x , y 分别称为 z 的实部和虚部,
二、复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 1. 两复数的代数和: z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ). 2. 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). 3. 两复数的商: z1 x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 . 2 2 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2 4. 共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数. 与 z 共轭的复数记为z , 若 z x iy, 则 z x iy. ( x yi )( x yi ) x 2 ( yi )2 x 2 y 2 .
z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz . 任何一个复数 z 0有无穷多个辐角, 如果 1 是其中一个辐角 , 那么 z 的全部辐角为 Argz 1 2kπ ( k为任意整数). 特殊地, 当 z 0 时, z 0, 辐角不确定. 辐角主值的定义: 在 z ( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的 0
3
两个共轭复数 z, z 的积是一个实数.
复变函数
5. 复数域: 全体复数在四则运算这个代数结构下构 成一个复数域,记作C.实数域和复数域都是代数学 中所研究的域的概念的实例. 6. 共轭复数的性质: z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 2 2 z2 ( 2) z z; ( 3) z z Re( z ) Im( z ) ; (4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ). z1 z1 例1 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2 解 z1 (5 5i )( 3 4i ) 5 5i z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i ) ( 15 20) (15 20)i 7 1 z1 i. 7 1 i. 25 5 5 z2 5 5
记作 x Re( z), y Im( z).
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i , 我们把它看作实数 x .
2
复变函数
两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0. 注：实数可以比较大小,但复数不能比较大小.
向量的长度称为z 的模,
记为 z r x y . 显然下列各式成立 x z, y z, z x y, 2 z z z z2 .
2 2
6
y
y
( x, y )
r
Pz x iy
o
x
x
复变函数
2. 复数的辐角 在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示
7
称为 Argz 的主值, 记作 0 arg z . y arctan , π x z 0 辐角的主值 , arg z 2 y y (其中 arctan )arctan x π , 2 x 2 π ,
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一 对应. 因此, 一个建立了直角坐标系 的平面可以 用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平 面. 复数 z x iy 可以用复平面上的点 ( x, y) 表示. 1. 复数的模 复数 z x iy 可以用复平面上的向量 OP 表示,
例3 化简 5 12i . 解 设 5 12i x iy, 5 12i ( x 2 y 2 ) 2 xyi, x 2 y 2 5, x 3, y 2, 2 xy 12 5 12i (3 2i ).
5
复变函数
三、复平面
4
复变函数
例2 设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 证明 z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ). 证 z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) 2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ). 或 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ).
第一章
第一节
第二节 第三节 第四节
复数与复变函数
复数
复平面上的点集 复变函数 复球面与无穷远点
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复变函数
一、复数的概念
第一节
复数
1. 虚数单位: 实例 : 方程 x 2 1在实数集中无解 . 为了解方程的需要, 引入一个新数 i, 称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i 2 1; (2) i 可以与实数在一起按同 样的法则进行四则运算 . 虚数单位的特性: 一般地，如果n是正整数, 则 i 4 n 1, i 4n1 i , i 4 n 2 1, i 4 n 3 i . 2.复数:对于任意两实数x, y, 我们称 z x iy 为复数. 其中 x , y 分别称为 z 的实部和虚部,
二、复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 1. 两复数的代数和: z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ). 2. 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). 3. 两复数的商: z1 x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 . 2 2 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2 4. 共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数. 与 z 共轭的复数记为z , 若 z x iy, 则 z x iy. ( x yi )( x yi ) x 2 ( yi )2 x 2 y 2 .
z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz . 任何一个复数 z 0有无穷多个辐角, 如果 1 是其中一个辐角 , 那么 z 的全部辐角为 Argz 1 2kπ ( k为任意整数). 特殊地, 当 z 0 时, z 0, 辐角不确定. 辐角主值的定义: 在 z ( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的 0
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两个共轭复数 z, z 的积是一个实数.
复变函数
5. 复数域: 全体复数在四则运算这个代数结构下构 成一个复数域,记作C.实数域和复数域都是代数学 中所研究的域的概念的实例. 6. 共轭复数的性质: z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 2 2 z2 ( 2) z z; ( 3) z z Re( z ) Im( z ) ; (4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ). z1 z1 例1 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2 解 z1 (5 5i )( 3 4i ) 5 5i z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i ) ( 15 20) (15 20)i 7 1 z1 i. 7 1 i. 25 5 5 z2 5 5
记作 x Re( z), y Im( z).
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i , 我们把它看作实数 x .
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复变函数
两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0. 注：实数可以比较大小,但复数不能比较大小.
向量的长度称为z 的模,
记为 z r x y . 显然下列各式成立 x z, y z, z x y, 2 z z z z2 .
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y
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( x, y )
r
Pz x iy
o
x
x
复变函数
2. 复数的辐角 在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示
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称为 Argz 的主值, 记作 0 arg z . y arctan , π x z 0 辐角的主值 , arg z 2 y y (其中 arctan )arctan x π , 2 x 2 π ,
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一 对应. 因此, 一个建立了直角坐标系 的平面可以 用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平 面. 复数 z x iy 可以用复平面上的点 ( x, y) 表示. 1. 复数的模 复数 z x iy 可以用复平面上的向量 OP 表示,
例3 化简 5 12i . 解 设 5 12i x iy, 5 12i ( x 2 y 2 ) 2 xyi, x 2 y 2 5, x 3, y 2, 2 xy 12 5 12i (3 2i ).
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复变函数
三、复平面
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复变函数
例2 设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 证明 z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ). 证 z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) 2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ). 或 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ).