上海交通大学2015高数试卷(B类)
15年高考真题——理科数学(上海卷)-推荐下载
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷
数学（理科） 一．填空题：共 14 小题，每小题 4 分，共 56 分。
1．设全集U R ，若集合 A 1, 2,3, 4， B x 2 x 3，则
A ðU B _________。
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2 ，则其母线与轴的夹角的大小为
_______。
7．方程 log2 9x1 5 log2 3x1 2 2 的解为___________。2
8．在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 参加义务献血，要求男、女教师都有， 则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。
（A）充分非必要条件
（C）充要条件
（B）必要非充分条件
（D）既非充分又非必要条件
16．已知点 A 的坐标为 4 3,1，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 OB ，则点 3
33 B 的纵坐标为（ ） （A）
2
13
（D）
2
17．记方程①： x2 a1x 1 0 ，方程②： x2 a2 x 2 0 ，方程③：
f T 4 。⑴验证 h x x sin x 是以 6 为周期的余弦周期函数；⑵设 a b ，证明
3
对任意 c f a, f b ，存在 x0 a,b，使得
f x0 c ；⑶证明：“ u0 为方程 cos f x 1在
0,T 上得解”的充要条件是“ u0 为方程
x2 a3x 4 0 ，其中 a1, a2 , a3 是正实数。当 a1, a2 , a3 成等比数列时，下列选项中，能推
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案(上海卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =ð ． 【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B =【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i ab z i ++-=+⇒==⇒=+且【考点定位】复数相等，共轭复数 3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ． 【答案】4 【解析】2331636444a a a a ⋅=⇒=⇒= 【考点定位】正三棱柱的体积5、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】2【考点定位】抛物线定义6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．【答案】3π【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 【答案】2【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C -=-= 【考点定位】排列组合9、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】32y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】4【解析】由题意得：2()22x xf x -=+在[0,2]上单调递增，值域为1[,2]4，所以()1f x -在1[,2]4上单调递增，因此()()1y f x f x -=+在1[,2]4上单调递增，其最大值为1(2)(2)22 4.f f -+=+=【考点定位】反函数性质11、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E =（元）． 【答案】0.213、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且 ()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边CB 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DFC ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ． 【答案】1615-【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B【考点定位】复数概念，充要关系16、已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532 C ．112D ．132【答案】D 【解析】133313(cossin )(43)()332222OB OA i i i i ππ=⋅+=+⋅+=+，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根【考点定位】不等式性质 18、设(),n n n x y P 是直线21nx y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=-（ ） A ．1- B ．12- C ．1 D ．2 【答案】A【考点定位】极限三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2015上海高考理科数学真题及答案
2015上海高考理科数学真题及答案一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁U Β=．2．（4分）若复数z 满足3z+=1+i，其中i 是虚数单位，则z=．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c 1﹣c 2=．4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．5．（4分）抛物线y 2=2px（p＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p=．6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．7．（4分）方程log 2（9x﹣1﹣5）=log 2（3x﹣1﹣2）+2的解为．8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线C 1和C 2．若C 1的渐近线方程为y=±x，则C 2的渐近线方程为．10．（4分）设f ﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f ﹣1（x）的最大值为．11．（4分）在（1+x+）10的展开式中，x 2项的系数为（结果用数值表示）．12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=（元）．13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，且|f（x 1）﹣f（x 2）|+|f（x 2）﹣f（x 3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m ）|=12（m≥2，m∈N *），则m 的最小值为．14．在锐角三角形A BC 中，tanA=，D 为边BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E⊥A B 于E，DF⊥AC 于F，则•=．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设z 1，z 2∈C，则“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）已知点A 的坐标为（4，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB，则点B 的纵坐标为（）A．B．C．D．17．记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根18．（5分）设P n （x n ，y n ）是直线2x﹣y=（n∈N *）与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1B．﹣C．1D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AB=AD=2，E、F 分别是AB、BC 的中点，证明A 1、C 1、F、E 四点共面，并求直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小．20．（14分）如图，A，B，C 三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B 地后原地等待．设t=t 1时乙到达C 地．（1）求t 1与f（t 1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t 1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t 1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．21．（14分）已知椭圆x 2+2y 2=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S．（1）设A（x 1，y 1），C（x 2，y 2），用A、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|；（2）设l 1与l 2的斜率之积为﹣，求面积S 的值．22．（16分）已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），n∈N *．（1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{a n }的通项公式；（2）设{a n }的第n 0项是最大项，即a≥a n （n∈N *），求证：数列{b n }的第n 0项是最大项；（3）设a 1=λ＜0，b n =λn （n∈N *），求λ的取值范围，使得{a n }有最大值M 与最小值m，且∈（﹣2，2）．23．（18分）对于定义域为R 的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T 为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期．已知f（x）是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin 是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x 0∈[a，b]，使得f（x 0）=c；（3）证明：“u 0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u 0+T 为方程cosf （x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f （T）．2015年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁Β={1，U 4}．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】5J：集合．【分析】本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．【解答】解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁B）={x|x＞3或x＜2}，UB）={1，4}，∴A∩（∁U故答案为：{1，4}．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．2．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c 1﹣c 2=16．【考点】ON：二阶行列式与逆矩阵．【专题】5R：矩阵和变换．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c 1﹣c 2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a 的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a 的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．5．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=2．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．7．（4分）方程log 2（9x﹣1﹣5）=log 2（3x﹣1﹣2）+2的解为x=2．【考点】4H：对数的运算性质．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．【解答】解：∵log 2（9x﹣1﹣5）=log 2（3x﹣1﹣2）+2，∴log 2（9x﹣1﹣5）=log 2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x ）2﹣12•3x +27=0，因式分解为：（3x ﹣3）（3x ﹣9）=0，∴3x =3，3x =9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：x=2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；5O：排列组合．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C 95=126种；其中只有女教师的有C 65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线C 1和C 2．若C 1的渐近线方程为y=±x，则C 2的渐近线方程为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设C 1的方程为y 2﹣3x 2=λ，利用坐标间的关系，求出Q 的轨迹方程，即可求出C 2的渐近线方程．【解答】解：设C 1的方程为y 2﹣3x 2=λ，设Q（x，y），则P（x，2y），代入y 2﹣3x 2=λ，可得4y 2﹣3x 2=λ，∴C 2的渐近线方程为4y 2﹣3x 2=0，即．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（4分）设f ﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f ﹣1（x）的最大值为4．【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f ﹣1（x）在[]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f ﹣1（x）的最大值．【解答】解：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[]，可得y=f﹣1（x）在[]上为增函数，因此y=f（x）+f﹣1（x）在[]上为增函数，∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（2）+f﹣1（2）=1+1+2=4．故答案为：4．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．11．（4分）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为45（结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x2项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．【解答】解：∵（1+x+）10=，∴仅在第一部分中出现x2项的系数．再由，令r=2，可得，x2项的系数为．故答案为：45．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=0.2（元）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．【解答】解：赌金的分布列为ξ112345P所以Eξ1=（1+2+3+4+5）=3，奖金的分布列为：若两张卡片上数字之差的绝对值为1，则有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4种，若两张卡片上数字之差的绝对值为2，则有（1，3），（2，4），（3，5），3种，若两张卡片上数字之差的绝对值为3，则有（1，4），（2，5），2种，若两张卡片上数字之差的绝对值为4，则有（1，5），1种，则P （ξ2=1.4）==，P （ξ2=2.8）==，P （ξ2=4.2）==，P （ξ2=5.6）==ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6P所以Eξ2=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，则Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元．故答案为：0.2【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键．13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，且|f（x 1）﹣f（x 2）|+|f（x 2）﹣f（x 3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m ）|=12（m≥2，m∈N *），则m 的最小值为8．【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i ，x j （i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i ）﹣f（x j ）|≤f（x）max ﹣f（x）min =2，要使m 取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m 值．【解答】解：∵y=sinx 对任意x i ，x j （i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i ）﹣f（x j ）|≤f （x）max ﹣f（x）min =2，要使m 取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，|f（x 1）﹣f（x 2）|+|f（x 2）﹣f（x 3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f （x m ）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m 的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x i ，x j （i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i ）﹣f（x j ）|≤f （x）max ﹣f（x）min =2是解答该题的关键，是难题．14．在锐角三角形A BC 中，tanA=，D 为边BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E⊥A B 于E，DF⊥AC 于F，则•=﹣．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由题意画出图形，结合面积求出cosA=，，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵△ABD 与△ACD 的面积分别为2和4，∴，，可得，，∴．又tanA=，∴，联立sin 2A+cos 2A=1，得，cosA=．由，得．则．∴•==．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设z 1，z 2∈C，则“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：设z 1=1+i，z 2=i，满足z 1、z 2中至少有一个数是虚数，则z 1﹣z 2=1是实数，则z 1﹣z 2是虚数不成立，若z 1、z 2都是实数，则z 1﹣z 2一定不是虚数，因此当z 1﹣z 2是虚数时，则z 1、z 2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．16．（5分）已知点A 的坐标为（4，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB，则点B 的纵坐标为（）D．C．B．A．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】56：三角函数的求值．【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA 的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点A 的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB，则OB 的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B 的纵坐标为y=|OB|sin （θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．17．记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据方程根与判别式△之间的关系求出a 12≥4，a 22＜8，结合a 1，a 2，a 3成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论．【解答】解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a 12﹣4≥0，△2=a 22﹣8＜0，即a 12≥4，a 22＜8，∵a 1，a 2，a 3成等比数列，∴a 22=a 1a 3，即a 3=，则a 32=（）2=，即方程③的判别式△3=a 32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B．【点评】本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．18．（5分）设P n （x n ，y n ）是直线2x﹣y=（n∈N *）与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点，则极限=（）D．2C．1B．﹣A．﹣1【考点】6F：极限及其运算．【专题】53：导数的综合应用．【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n （x n ，y n ）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x 2+y 2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AB=AD=2，E、F 分别是AB、BC 的中点，证明A 1、C 1、F、E 四点共面，并求直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】利用长方体的几何关系建立直角坐标系．利用向量方法求空间角．【解答】解：连接AC，因为E，F 分别是AB，BC 的中点，所以EF 是△ABC 的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A 1C 1，所以EF∥A 1C 1，所以A 1、C 1、F、E 四点共面．以D 为坐标原点，DA、DC、DD 1分别为x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，易求得，设平面A 1C 1EF 的法向量为则，所以，即，z=1，得x=1，y=1，所以，所以=，所以直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小arcsin ．【点评】本题主要考查利用空间直角坐标系求出空间角的方法，属高考常考题型．20．（14分）如图，A，B，C 三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B 地后原地等待．设t=t 1时乙到达C 地．（1）求t 1与f（t 1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t 1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t 1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．【考点】HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（1）由题意可得t 1==h ，由余弦定理可得f （t 1）=PC=，代值计算可得；（2）当t 1≤t≤时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=，当＜t ≤1时，f（t）=PB=5﹣5t，综合可得当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，可得结论．【解答】解：（1）由题意可得t 1==h，设此时甲运动到点P，则AP=v 甲t 1=5×=千米，∴f（t 1）=PC===千米；（2）当t 1≤t≤时，乙在CB 上的Q 点，设甲在P 点，∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，∴f（t）=PQ===，当＜t≤1时，乙在B 点不动，设此时甲在点P，∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t∴f（t）=∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，故f（t）的最大值没有超过3千米．【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题．21．（14分）已知椭圆x 2+2y 2=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S．（1）设A（x 1，y 1），C（x 2，y 2），用A、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|；（2）设l 1与l 2的斜率之积为﹣，求面积S 的值．【考点】IT：点到直线的距离公式；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）依题意，直线l 1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C 到直线l 1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=2|x 1y 2﹣x 2y 1|；当l 1与l 2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l 1的斜率为k，则直线l 2的斜率为﹣，可得直线l 1与l 2的方程，联立方程组，可求得x 1、x 2、y 1、y 2，继而可求得答案．方法二：设直线l 1、l 2的斜率分别为、，则=﹣，利用A（x 1，y 1）、C（x 2，y 2）在椭圆x 2+2y 2=1上，可求得面积S 的值．【解答】解：（1）依题意，直线l 1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C 到直线l 1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x 1y 2﹣x 2y 1|；当l 1与l 2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l 1的斜率为k，则直线l 2的斜率为﹣，设直线l 1的方程为y=kx，联立方程组，消去y 解得x=±，根据对称性，设x 1=，则y 1=，同理可得x 2=，y 2=，所以S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|=．方法二：设直线l 1、l 2的斜率分别为、，则=﹣，所以x 1x 2=﹣2y 1y 2，∴=4=﹣2x 1x 2y 1y 2，∵A（x 1，y 1）、C（x 2，y 2）在椭圆x 2+2y 2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即﹣4x 1x 2y 1y 2+2（+）=1，所以（x 1y 2﹣x 2y 1）2=，即|x 1y 2﹣x 2y 1|=，所以S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．22．（16分）已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），n∈N *．（1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{a n }的通项公式；（2）设{a n }的第n 0项是最大项，即a≥a n （n∈N *），求证：数列{b n }的第n 0项是最大项；（3）设a 1=λ＜0，b n =λn （n∈N *），求λ的取值范围，使得{a n }有最大值M 与最小值m，且∈（﹣2，2）．【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】2：创新题型；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）把b n =3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n =6，由此得到{a n }是等差数列，则a n可求；（2）由a n =（a n ﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1，结合递推式累加得到a n =2b n +a 1﹣2b 1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M 和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），b n =3n+5，∴a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{a n }是等差数列，首项为a 1=1，公差为6，则a n =1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n =（a n ﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=2（b n ﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b 2﹣b 1）+a 1=2b n +a 1﹣2b 1，∴，∴．∴数列{b n }的第n 0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a 1=λ，∴∈（﹣2，2），∴λ∈，∴．②当λ=﹣1时，a 2n =3，a 2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a 2n →+∞，无最大值；当n→+∞时，a 2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．23．（18分）对于定义域为R 的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T 为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期．已知f（x）是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin 是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x 0∈[a，b]，使得f（x 0）=c；（3）证明：“u 0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u 0+T 为方程cosf （x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f （T）．【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据余弦函数的周期定义，判断cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可；（2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x 0，使得f（x 0）=c，而根据f（x）在R 上单调递增即可说明x 0∈[a，b]，从而完成证明；（3）只需证明u 0+T 为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解得出u 0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意x ∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T），可讨论x=0，x=T，x∈（0，T）三种情况：x=0时是显然成立的；x=T 时，可得出cosf（2T）=1，从而得到f（2T）=2k 1π，k 1∈Z，根据f （x）单调递增便能得到k 1＞2，然后根据f （x）的单调性及方程cosf （x）=1在[T，2T]和它在[0，T]上解的个数的情况说明k 1=3，和k 1≥5是不存在的，而k 1=4时结论成立，这便说明x=T 时结论成立；而对于x∈（0，T）时，通过考查cosf （x）=c 的解得到f （x+T）=f（x）+f（T），综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【解答】解：（1）g（x）=x+sin ；∴==cosg（x）∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；（2）∵f（x）的值域为R；∴存在x 0，使f（x 0）=c；又c∈[f（a），f（b）]；∴f（a）≤f（x 0）≤f（b），而f（x）为增函数；∴a≤x 0≤b；即存在x 0∈[a，b]，使f（x 0）=c；（3）证明：若u 0+T 为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解；则：cosf（u 0+T）=1，T≤u 0+T≤2T；∴cosf（u 0）=1，且0≤u 0≤T；∴u 0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；∴“u 0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u 0+T 为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）：①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；②当x=T 时，cosf（2T）=cosf（T）=1；∴f（2T）=2k 1π，（k 1∈Z），f（T）=4π，且2k 1π＞4π，∴k 1＞2；1）若k 1=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x 0∈（0，T），使f（x 0）=2π；cosf（x 0+T）=cosf（x 0）=1⇒f（x 0+T）=2k 2π，k 2∈Z；∴f（T）＜f（x 0+T）＜f（2T）；∴4π＜2k 2π＜6π；∴2＜k 2＜3，无解；2）若k 1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x 1＜x 2＜2T，使得f（x 1）=6π，f（x 2）=8π；则T，x 1，x 2，2T 为cosf（x）=1在[T，2T]上的4个解；但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；3）当k 1=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c 在（0，T）上的解；设其解为f（x 1），f（x 2），…，f（x n ），（x 1＜x 2＜…＜x n ）；则f（x 1+T），f（x 2+T），…，f（x n +T）为方程cosf（x）=c 在（T，2T）上的解；又f（x+T）∈（4π，8π）；而f（x 1）+4π，f（x 2）+4π，…，f（x n ）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c 在（T，2T）上的解；∴f（x i +T）=f（x i ）+4π=f（x i ）+f（T）；∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．【点评】考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由cosf （x）=1能得出f（x）=2kx，k∈Z，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．。
上海交通大学2015-1末 高数试卷(医科类)
2015级第一学期《高等数学》期末考试试卷 (高数医科类)一、选择题（本题共15分，每小题3分）1. 设()f x 有二阶连续的导数，2sin ()()'+=x f x f x e ，且(0)1=f ，则 ( ) （A ）(0)f 是极小值； （B ）(0)f 是极大值；（C ）(0)f 不是极值； （D ）(0,(0))f 是曲线()=y f x 的拐点。
2. 积分1111||I dx x x -=⎰，2920sin I xdx π=⎰，13211x x xe I dx e -=+⎰和242sin I x xdx ππ-=⎰中，值为0的是 ( ) （A ）2I 、3I 和4I ； （B ）1I 、2I 和3I ； （C ）1I 和2I ； （D ）2I 和3I 。
3. 设0()x f x =⎰，2345()g x ax bx cx dx =+++。
若当0x →时()f x 与()g x 是同阶无穷小，则 （ ) （A ）0a ≠ ； （B ）0a =，0b ≠； （C ）0a b ==，0c ≠； （D ）0a b c ===。
4. 设()f x 和()g x 在(,)-∞+∞上可导，且()()<f x g x ，则必有 （ ） （A ）()()->-f x g x ； （B ）0lim ()lim ()→→<x x x x f x g x ；（C ）()()''<f x g x ； （D ）0()()x xf x dxg x dx <⎰⎰。
5. 已知非负函数()f x 在[1,)+∞上连续，且1()f x dx +∞⎰收敛，则关于函数1()()xf t x dt tϕ=⎰（[1,)x ∈+∞）的下列说法中，不正确是 （ ） （A ）可导； （B ）无界； （C ）无极值； （D ）单调。
二、填空题（本题共15分，每小题3分） 6. 设()=y f x 在任意点x 处增量22()1∆=∆+∆+xy x o x x ，且(0)1=f ，则(1)=f ________。
2015年上海高考理科数学部分试题word版
19.(本题满分12分)
如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AB =AD =2，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点.证明A 1、C 1、F 、E 四点共面，并求直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小.
20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，A 、B 、C 三地有直道相通，AB =5千米，AC =3千米，BC =4千米，现甲乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()t f (单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时. 乙到达B 地后在原地等待. 设t =t 1时，乙到达C 地.
(1)求t 1与()t f 的值；
(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米. 当11≤≤t t 时，求()t f 的表达式，并判断()t f 在[t 1,1]上的最大值是否超过3？说明理由.
21. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线l 1和l 2分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D 记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .
(1)设A (x 1,y 1)，C (x 2,y 2). 用A 、C 的坐标表示C 到直线l 1的距离，并证明12212y x y x S -=；
(2)设l 1与l 2的斜率之积为21
-，求面积S 的值.
薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。
佳节又重阳，玉枕纱厨，半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。
莫道不消魂，帘卷西风，人比黄花瘦。
(完整)上海交通大学_2006-2007学年_高等数学(高数)_期末考试_试卷_(180学时)
2006级《高等数学》第二学期期末考试参考标准（180A ）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设xoy 平面上区域(){}22,|1,D x y x y y x =+≤≥，1D 是D 在第一象限的部分，则32(sin sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 （ ）（A ）122sin sin D x ydxdy ⎰⎰； （B ）132D xy dxdy ⎰⎰；（C ）1324(sin sin )D xy x y dxdy +⎰⎰； （D ）0.2. 设(){}222,,|1x y z x y z Ω=++≤，则三重积分x e dv Ω=⎰⎰⎰ （ ） （A ）2π； （B ）π； （C ）32π； （D ）2π. 3. 设F yi zj xk =++v v v v ,则 rot F =v （ ） （A ）i j k ++v v v ； （B ）()i j k -++v v v ； （C ）i j k -+v v v ； （D ）i j k -+-v v v . 4. 幂级数211n n x n ∞=-∑在收敛域[1,1)-上的和函数()s x = （ ） （A ）ln(1)x -； （B ）ln(1)x --； （C ）ln(1)x x--； （D ）ln(1)x x --. 5. 设函数1,02()45,2x f x x x ππππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩展开成正弦级数，其和函数 1()sin n n s x b nx ∞==∑，则9()2s π-= （ ） （A ）1-； （B ）2-； （C ）1； （D ）2.二、填空题（每小题3分，共15分）6.设u z =+,则()div grad u = .7. 设()f x 是连续函数，2222222()()x y z t F t f x y z dv ++≤=++⎰⎰⎰，()F t '= .8. 设C 为曲线cos ,sin ,t t t x e t y e t z e ===上对应于t 从0变到2的这段弧，则曲线积分2221Cds x y z =++⎰ .9. 全微分方程(1)()0y x y dx e x dy +-++=的通解为 .10.级数n ∞=∑的敛散性为 .三、计算下列各题（第1小题6分，第2小题8分, 共14分）11. 设z 是方程zx y z e +-=所确定的,x y 的隐函数，求2z x y ∂∂∂.12. 计算曲面22z y x =-夹在圆柱面221x y +=和229x y +=之间部分的面积.四、计算下列各题（每小题10分，共30分）13. 计算曲线积分sin 1()()2y Cx e dy y dx +--⎰，其中C 是位于第一象限中的直线1x y +=与位于第二象限中的圆弧221x y +=构成的曲线，方向从A (1,0)经过B (0,1)，再到C (1,0)-.14. 试求参数λ，使当曲线C 落在区域(){},|0D x y y =>时，曲线积分222222()()Cx x x y dx x y dy y y λλ+-+⎰ 与路径无关，并求2(,)22222(0,1)(,)()().x y x x u x y x y dx x y dy y yλλ=+-+⎰15. 求22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑为z =与z =所围立体表面的外侧.五、（本题10分）16. 将函数243()232x f x x x -=--展开为1x -的幂级数.六、（本题8分）17. 设()20(1)()(1)!nn n f x x n ∞=-=-∑，求()0(1)n n f ∞=∑.七、（本题8分）18. 设()f x 在(1,1)-内具有三阶连续导数，且(0)0f '''≠，证明：级数111{[()()]2(0)}n n f f f n n ∞='---∑ 绝对收敛.。
上海交通大学第一学期高数a类期末考试题及答案解析
上海交通大学第一学期高数a类期末考试题及答案解析一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 已知 x=0 是 f\left( x \right) =\frac{x+b\ln\left( 1+x \right)}{ax-\sin x} 的可去间断点，则 a,b 的取值范围是（）解：2. 下列反常积分中，收敛的是（）解：3. 设函数 f(x) 在区间 [-a,a] 上二阶可导，且 f\left( x \right) >0,f'\left( x \right) >0,f''\left( x \right) <0 ，下列函数中，在区间 [-a,a] 上恒正、单调递减且为下凸函数的是（）解：4. 积分 \int_0^{\pi}{|\sin \left( 4x+1 \right)|\mathrm{d}x}= （）解：5. 设函数 f(x) 在 R 上连续， g\left( x \right)=\int_0^{x^2}{\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t} .对于两个命题：①若 f(x) 为偶函数，则 F\left( x \right)=\int_0^x{f\left( t \right) g\left( t \right)\mathrm{d}t} 为奇函数；②若 f(x) 为单调递增函数，则 G\left( x \right)=\int_0^x{\left( f\left( x \right) -f\left( t \right) \right) g\left( t \right) \mathrm{d}t} 存在极小值.下列选项正确的是（）解：二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设 f\left( x \right) =x\mathrm{e}^x, 则曲线 y=f(x) 的拐点是_____________.解：7. 直线 L_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{-4}=\frac{z+3}{1} 和 L_2:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{-1} 的夹角为_____________.解：8. 设函数 f\left( x \right) =\mathrm{arctan} x ，常数a>0 ，若 f\left( a \right) -f\left( 0 \right)=f'\left( \xi \right) a\,\,, 则 \underset{a\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\xi ^2}{a^2}= _____________.解：9. 极坐标曲线 r=2cos3\theta 上对应于\theta=\frac{5}{6}\pi 的点处的切线方程为_____________.解：10. 一阶常微分方程 y'\left( x \right) =\frac{y}{x+y^2} 的通解为_____________.解：视为关于 x 的一阶线性微分方程，然后利用公式直接求解即可：\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{x}{y}+y\Rightarr ow x=y^2+Cy三、（本大题共8分）11. 设 y=y(x) 是由方程 y^3-2x\int_0^y{\sin^2t\mathrm{d}t=x+\pi ^3} 所确定的可导函数，求\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mid_{x=0}^{} .解：。
高等数学考试试卷四套【上海交通大学】
（C） a 9 ， b 12 ；
（D） a 9 ， b 12 。
2. 设 x 0 时， ln cos x axk ，则常数 a 和 k 的值分别为
（）
（A） a 1 ， k 2 ； 2
（B） a 1 ， k 2； 2
（C） a 1 ， k 1； 2
（D） a 1 ， k 1。 2
11.
用极限定义证明：
lim
x1
2
arctan 1 x2
x
。
12.
求
lim
xln
ln ln
x1 x1
。
x0
13. 求 lim x0
1 x2 sin2 x tan2 x 。
x2 ln2 1 x
四、（每小题 8 分，共 16 分）
14. 已知 f x
e
x
,
1 2
x2
1
，求证：
（1）当 x 1,0 时， ex 1 x2 1 ；
2
（2）若函数 g x 在 R 上可导，且 g x f x ，则 g 0 1。
2
上海交通大学《高等数学》考试试卷 二
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 当 x 0 时，与 x 等价的无穷小量是
[
x ] 是取整函数），
g
x
x, 0,
x 1， x 1
则方程 g( f (x)) 0 的解集为：___________________。
7. lim( 1 1 1 1 )
。
n n2 1 n2 2 n2 3
2015年高考理科数学上海卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x ≤≤=，则U AB =ð .2．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y ，，=⎧⎨=⎩则12c c -= . 4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a = .5．抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = . 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 7．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C .若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 . 10．设1()f x -为2()22x xf x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为 . 11．在1020151(1)x x++的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）. 12．赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元.13．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m *N （）（）（）（）（）（≥）-+--∈，则m 的最小值为 .14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD △与ACD △的面积分别为2和4.过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则 DE DF = . 二、选择题：本大题共有4题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z C ∈，则“12z z ,中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数.当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是( )A .方程①有实根，且②有实根B .方程①有实根，且②无实根C .方程①无实根，且②有实根D .方程①无实根，且②无实根18．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n *N -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限 1lim 1n n ny x →∞-=-( ) A .1- B .12- C .1D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.证明：11A C F E ，，，四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f t ()(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后在原地等待.设1=t t 时，乙到达C 地. （Ⅰ）求1t 与1f t ()的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求f t ()的表达式，并判断f t ()在1[,1]t 上的最大值是否超过3？说明理由.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y =-；（Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n *N ∈. （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n *N ≥∈.求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （Ⅲ）设10a ＜λ=，()n n b n *N λ=∈.求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2)Mm∈-.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f =，()4πf T =. （Ⅰ）验证()sin3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （Ⅱ）设a b <.证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =； （Ⅲ）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）1sin602a a ︒，1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭【考点】棱锥的结构特征123270x+=011019102015201511(1)C x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，项的系数．数学试卷 第10页（共18页） 数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）【解析】对任意的i x ，j x ，max min |()()|()()2i j f x f x f x f x -≤-=， 欲使m 取最小值，尽可能多的让(1,2,,)i x i m =取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，*12231|()()||()()||()()|12(2,)m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，按照下图所示取值可以满足条件，所以m的最小值为8．【提示】对任意的i x ，j x ，|()()|2i j f x f x -=，让i x 取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，12231|()()||()()||()()|12m m f x f x f x f x f x f x --+-++-=，【解析】解：如图，ABD △与ACD △的面积分别为2和4||||22AB DE =，||||4AC DF =，可得4||||DE AB =，8||||DF AC =，32||||||||DE DF AB AC =．1tan 2A =，∴sin 1cos 2A A =，联立||||sin 2AB AC A ||||12AB AC =85||||15DE DF =8||||||||cos ,DE DF DE DF DE DF ==故答案为：1615-．85||||15DE DF =数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）为坐标原点，、DC 、DD 分别为xyz 轴，建立空间直角坐标系，易求得(0,2,D C =，11(2,2,0)A C =-，(0,1,A E =设平面11AC EF 的法向量为(,y,)n x z =11100n A C n A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以,,)(2,2,0)0,)(0,1,1)x y z y z -=-=2-⎧所以(1,1,1)n =，111|||(1,1,1)(0,2,1)||cos ,|||||35n D C n D C n D C -===1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小arcsincos AC AP A =上的Q 点，设甲在cos QB PB B22(78)(5t --cos AC AP A ，代值计算可得；由已知数据和余弦定理可得3数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）2(a a +-+2112()b b a +++-112)b a +-2(a a +-+1(22n a b +)n x <<；则1()f x T +，2()f x T +，…，()n f x T +为方程c o s ()f x c =在[,2]T T 上的解；又()(4π8π)f x T +∈,；而1()4πf x +，2()4πf x +，…，()4π(4π,8π)n f x +∈为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解； ∴()()4π()()i i i f x T f x f x f T +=+=+；∴综上对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+．【提示】（Ⅰ）根据余弦周期函数的定义，判断(6π)cosg x +是否等于cos ()g x 即可； （Ⅱ）根据()f x 的值域为R ，便可得到存在0x ，使得0()f x c =，而根据()f x 在R 上单调递增即可说明0,[]x a b ∈，从而完成证明；（Ⅲ）只需证明0u T +为方程cos ()1f x =在区间[2]T T ,上的解得出0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+，可讨论0x =，x T =，(0)x T ∈,三种情况：0x =时是显然成立的；x T =时，可得出cos (2)1f T =，从而得到1(2)2πf T k =，1k ∈Z ，根据()f x 单调递增便能得到12k >，然后根据()f x 的单调性及方程cos ()1f x =在[],2T T 和它在[0]T ,上解的个数的情况说明13k =，和15k ≥是不存在的，而14k =时结论成立，这便说明x T =时结论成立；而对于(0)x T ∈,时，通过考查c o s ()f x c =的解得到()()()f x T f x f T +=+，综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【考点】函数与方程的综合运用。
2015年高考理科数学上海卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页） 数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x ≤≤=，则U A B =ð . 2．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y ，，=⎧⎨=⎩则12c c -= . 4．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = .5．抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = . 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 7．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C .若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 .10．设1()f x -为2()22x xf x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为 . 11．在1020151(1)x x++的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）. 12．赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元.13．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m *N （）（）（）（）（）（≥）-+--∈，则m 的最小值为 .14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD △与ACD △的面积分别为2和4.过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则 DE DF = . 二、选择题：本大题共有4题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z C ∈，则“12z z ,中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．已知点A 的坐标为43,1（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )A .33 B .53C .112D .13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数.当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是( )A .方程①有实根，且②有实根B .方程①有实根，且②无实根C .方程①无实根，且②有实根D .方程①无实根，且②无实根18．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n *N -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限 1lim 1n n ny x →∞-=-( ) A .1- B .12- C .1D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.证明：11A C F E ，，，四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f t ()(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后在原地等待.设1=t t 时，乙到达C 地. （Ⅰ）求1t 与1f t ()的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求f t ()的表达式，并判断f t ()在1[,1]t 上的最大值是否超过3？说明理由.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共42页） 数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y =-；（Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n *N ∈. （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n *N ≥∈.求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （Ⅲ）设10a ＜λ=，()n n b n *N λ=∈.求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2)Mm∈-.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f =，()4πf T =. （Ⅰ）验证()sin 3x h x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数；（Ⅱ）设a b <.证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =； （Ⅲ）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.3 / 141sin602a a ︒，正棱柱的高1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭【提示】由题意可得1sin 601632a a a ⎛⎫︒=⎪⎭【考点】棱锥的结构特征数学试卷 第10页（共42页）数学试卷 第11页（共42页） 数学试卷 第12页（共42页）123270x +=5 / 14011019102015201511(1)C x x x ⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，项的系数．数学试卷 第17页（共42页） 数学试卷 第18页（共42页）【解析】对任意的i x ，j x ，max min |()()|()()2i j f x f x f x f x -≤-=， 欲使m 取最小值，尽可能多的让(1,2,,)i x i m =取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，*12231|()()||()()||()()|12(2,)m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，6m x <<≤|(m f x -++的最小值．7 / 14【解析】解：如图，||||2AB DE =，||||4AC DF =，可得4||||DE AB =，8||||DF AC =，32||||||||DE DF AB AC =．1tan 2A =，∴sin 1cos 2A A =，联立||||sin 2AB AC A ||||12AB AC =85||||15DE DF =8||||||||cos ,DE DF DE DF DE DF ==故答案为：1615-． 85||||15DE DF =数学试卷第22页（共42页）数学试卷第23页（共42页）数学试卷第24页（共42页）9 / 14易求得(0,2,D C =，(2,2,0)AC =-，(0,1,A E =11AC EF 的法向量为(,y,)n x z =11100n A C n A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以,)(2,2,0),)(0,1,1)z z -=-=，所以(1,1,1)n =，所以111|||(1,1,1)(0,2,1)||cos ,|||||35n D C n D C n D C -===CD 与平面11A C FE 所成的角的大小arcsincos AC AP A =数学试卷 第28页（共42页）数学试卷 第29页（共42页） 数学试卷 第30页（共42页）cos QB PB B22(78)(5t --cos AC AP A ，代3数学试卷 第34页（共42页）2(a a +-+2112()b b a +++-2)b a +-2(a +-+1(2a b +（Ⅱ）∵()f x 的值域为R ；∴存在0x ，使0()f x c =；又(),)]([c f a f b ∈；∴0()()()f a f x f b ≤≤，而()f x 为增函数；∴0a x b ≤≤；即存在0,[]x a b ∈，使0()f x c =；（Ⅲ）证明：若0u T +为方程cos ()1f x =在区间[],2T T 上的解；则：0cos ()1f u T +=，02T u T T +≤≤；∴0cos ()1f u =，且00u T ≤≤；∴0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解；∴“0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上得解”的充分条件是“0u T +为方程cos ()1f x =在区间[],2T T 上的解”；下面证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+：①当0x =时，(0)0f =，∴显然成立；②当x T =时，cos (2)cos ()1f T f T ==；∴11(2)2,()f T k k Z π=∈，()4πf T =，且12π4πk >，∴12k >；1）若13k =，(2)6πf T =，由（Ⅱ）知存在0(0,)x T ∈，使0()2πf x =；0002cos ()cos ()1()2πf x T f x f x T k +==⇒+=，2k ∈Z ；∴0()()(2)f T f x T f T <+<；∴24π2π6πk <<；∴223k <<4，无解；2）若15k ≥，(2)10πf T ≥，则存在122T x x T <<<，使得1()6πf x =，2()8πf x =；则T ，1x ，2x ，2T 为cos ()1f x =在[],2T T 上的4个解；但方程cos ()1f x =在[0]2T ,上只有()0f x =，2π，4π，3个解，矛盾； 3）当14k =时，(2)8π()()f T f T f T ==+，结论成立；③当(0)x T ∈,时，()(04π)f x ∈,，考查方程cos ()f x c =在(0)T ,上的解； 设其解为1()f x ，2()f x ，…，()n f x ，12()n x x x <<<；则1()f x T +，2()f x T +，…，()n f x T +为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解；又()(4π8π)f x T +∈,； 而1()4πf x +，2()4πf x +，…，()4π(4π,8π)n f x +∈为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解；∴()()4π()()i i i f x T f x f x f T +=+=+；数学试卷 第40页（共42页）∴综上对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+．【提示】（Ⅰ）根据余弦周期函数的定义，判断(6π)cosg x +是否等于cos ()g x 即可；（Ⅱ）根据()f x 的值域为R ，便可得到存在0x ，使得0()f x c =，而根据()f x 在R 上单调递增即可说明0,[]x a b ∈，从而完成证明；（Ⅲ）只需证明0u T +为方程cos ()1f x =在区间[2]T T ,上的解得出0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+，可讨论0x =，x T =，(0)x T ∈,三种情况：0x =时是显然成立的；x T =时，可得出cos (2)1f T =，从而得到1(2)2πf T k =，1k ∈Z ，根据()f x 单调递增便能得到12k >，然后根据()f x 的单调性及方程cos ()1f x =在[],2T T 和它在[0]T ,上解的个数的情况说明13k =，和15k ≥是不存在的，而14k =时结论成立，这便说明x T =时结论成立；而对于(0)x T ∈,时，通过考查cos ()f x c =的解得到()()()f x T f x f T +=+，综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【考点】函数与方程的综合运用。
高数上海交大试卷
《高等数学》第二学期期末考试参考标准一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设xoy 平面上区域(){}22,|1,D x y xy y x =+≤≥，1D 是D 在第一象限的部分，则32(sin sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 （ ）（A ）122sin sin D x ydxdy ⎰⎰； （B ）132D xy dxdy ⎰⎰；（C ）1324(sin sin )D xy x y dxdy +⎰⎰； （D ）0.解 32(sin sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰32sin sin DDxy dxdy x ydxdy =+⎰⎰⎰⎰122sin sin D x ydxdy =⎰⎰答案：A 2. 设(){}222,,|1x y z xy z Ω=++≤，则三重积分xe dv Ω=⎰⎰⎰ （ ）（A ）2π； （B ）π； （C ）32π； （D ）2π. 解1 43xe dv dv πΩΩ>=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，排除答案A 、B ；猜：C 或D||:1 2.718x e →，34/ 1.12523ππ=，42/ 1.53ππ= 答案：D解2 222111x xy z x e dv dxe dydz -Ω+≤-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰121(1)xe x dx π-=-⎰1202(1)x e x dx π=-⎰ 1024x xe dx ππ=-+⎰ 244(1)2e e ππππ=-+--=答案：D解3 xze dv e dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21cos 2000sin d d ed ππρϕθϕρϕρ=⎰⎰⎰1cos 2002sin d ed πρϕπϕρϕρ=⎰⎰1cos 2cos 220022[sin sin ]d e d e d ππρϕρϕππρρϕϕρϕϕ-=+⎰⎰⎰1cos cos 20022[||]d e e πϕρϕρϕϕπϕπϕπρρρ=-====-+⎰104(1)2e d ρπρρπ=-=⎰答案：D3. 设F yi zj xk =++,则 rot F = （ ）（A ）i j k ++； （B ）()i j k -++； （C ）i j k -+； （D ）i j k -+-.解 (1,1,1)ij k rot F x y z yzx∂∂∂==---∂∂∂ 答案：B 4. 幂级数211nn x n ∞=-∑在收敛域[1,1)-上的和函数()s x = （ ）（A ）ln(1)x -； （B ）ln(1)x --； （C ）ln(1)x x--； （D ）ln(1)x x --. 解 12022211()11xn n n n n n x x x x x dx n n ∞∞∞--=====--∑∑∑⎰01()ln(1)1xx dx x x x==---⎰ 答案：D5. 设函数1,02()45,2x f x x x ππππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩展开成正弦级数，其和函数1()sin n n s x b nx ∞==∑，则9()2s π-= （ ） （A ）1-； （B ）2-； （C ）1； （D ）2. 解 913()()()22222s s s πππ+-=-=-=-=- 答案：B二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设uz =+则()div grad u = . 解 ()div grad u div =x yx y=++++22==7. 设()f x 是连续函数，2222222()()x y z t F t f x y z dv ++≤=++⎰⎰⎰，()F t '= .解 220()22()tF t f d πρρρ=⋅⋅⎰，()F t '=()224t f t π8. 设C 为曲线cos ,sin ,t t t x e t y e t z e ===上对应于t 从0变到2的这段弧，则曲线积分2221Cds x y z=++⎰. 解=⎰该积分==⎰)21e --9. 全微分方程(1)()0y x y dx e x dy +-++=的通解为 . 解1 (1)()0y x y dx e x dy +-++=⇒ (1)()0y x dx ydx xdy e dy -+++=⇒ 2(1)()()()02y x d d xy d e -++=⇒ 通解：2(1)2y x xy e C -++=解2 (,)(0,0)(1)()x y y u x y dx e x dy =+-++⎰00(1)()xyy x dx e x dy =-++⎰⎰2(1)12y x xy e -=++-⇒ 通解：2(1)12y x xy e C -++-=10.级数n ∞=∑的敛散性为 .解112n nu u +===，收敛三、计算下列各题（第1小题6分，第2小题8分, 共14分）11. 设z 是方程zx y z e +-=所确定的,x y 的隐函数，求2zx y∂∂∂.解1111z z z x e e ∂=-=∂--+， 1111z z z y e e∂=-=∂--+ 2223(1)1()1(1)(1)(1)z z z y y y z z z z e e z z e x y e e e e '+∂'==-=-=-∂∂++++12. 计算曲面22z y x =-夹在圆柱面221x y +=和229x y +=之间部分的面积.解=I 2219x y ≤+≤=⎰⎰2301d πθ=⎰⎰3232112(14)|12r π=⋅+3322(375)6π=-四、计算下列各题（每小题10分，共30分）13. 计算曲线积分sin 1()()2y Cx e dy y dx +--⎰，其中C 是位于第一象限中的直线1x y +=与位于第二象限中的圆弧221x y +=构成的曲线，方向从A (1,0)经过B (0,1)，再到C (1,0)-.解 L ：0y =，方向从(1,0)-到(1,0)， 并记C L +所围区域为D ，则所求曲线积分 C LLI +=-⎰⎰11122Ddxdy dx -=-⎰⎰⎰1122ππ=+-=14. 试求参数λ，使当曲线C 落在区域(){},|0D x y y =>时，曲线积分222222()()Cx x x y dx x y dy y y λλ+-+⎰ 与路径无关，并求2(,)22222(0,1)(,)()().x y x x u x y x y dx x y dy y yλλ=+-+⎰解 记()22x P x y yλ=+，()2222x Q x y yλ=-+，则()()12222222xy x y x x y P yyλλλ-+-+∂=∂()()122322222x x y x xyQxyλλλ-+++∂=-∂P Qy x∂∂=⇒∂∂ 22232()20xy x x y x λλ+++=12λ⇒=-解1 ()u u y x ϕ∂=⇒=+∂2u y ∂=∂ 及 ()0,101u u =⇒=- 解2 2(,)(0,1)(,)x y u x y =-⎰100yxdy =+⎰⎰1=15. 求22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑为z =与z =所围立体表面的外侧.解 记∑所围立体为Ω，则22xzdydz yzdzdx z dxdy zdxdydz ∑Ω+-=⎰⎰⎰⎰⎰222222228x y z x y z zdzdxdy dxdy +≤+≤-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰22202(8)8z z dz z dz πππ=⋅+⋅-=⎰⎰五、（本题10分） 16. 将函数243()232x f x x x -=--展开为1x -的幂级数. 解 4321()(21)(2)212x f x x x x x -==++-+- 212(1)3(1)1x x =+-+-- 2112(1)31(1)13x x =⋅----+ 0022(1)(1)33nnn n n x x ∞∞==⎛⎫=---- ⎪⎝⎭∑∑ ()()1021113n n nn x +∞=⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，02x <<六、（本题8分）17. 设()2(1)()(1)!nnn f x x n ∞=-=-∑，求()0(1)n n f ∞=∑.解 ()()()()011!nn n f f x x n ∞==-∑()()()11!kk fk -=，()0,1,2,k =()()101(1)!kn n k f e k ∞∞-==-==∑∑七、（本题8分）18. 设()f x 在(1,1)-内具有三阶连续导数，且(0)0f '''≠，证明：级数111{[()()]2(0)}n n f f f n n∞='---∑绝对收敛.证明 ()()()202'0lim x f x f x f x x→---()()()32'0limx f x f x xf x →---=()()()22'0lim3x f x f x f x →''+--=()()lim6x f x f x x →''''--=()()()0'''0lim063x f x f x f →''''''+-==>()()112'0'''0lim 03n n f f f f n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦→=>故由级数201k n∞=∑收敛，可知级数111{[()()]2(0)}n n f f f n n ∞='---∑绝对收敛.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(上海卷)
高考提醒一轮看功夫，二轮看水平，三轮看士气梳理考纲，进一步明确高考考什么！梳理高考题，进一步明确怎么考！梳理教材和笔记，进一步明确重难点！梳理错题本，进一步明确薄弱点！抓住中低档试题。
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保持平常心，顺其自然2015年高考上海卷理数试题解析（精编版）（解析版）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =I ð ． 【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B =I 【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ． 【答案】45、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】26、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->21430,5333112x t t t t x x -⇒-+=>⇒=⇒=⇒-=⇒=【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】1209、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】3y x =±【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C 的渐近线方程为32y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】411、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．【答案】0.2【解析】赌金的分布列为1ξ1 2 3 4 5P15 15 15 15 15所以11(12345)35E ξ=++++=奖金的分布列为2ξ1.42.8 4.25.6 P25425C = 253310C = 25215C = 251110C = 所以223111.4(1234)2.8510510E ξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=12ξξE -E =0.2【考点定位】数学期望13、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m = 【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边CB 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DFC ⊥A 于F ，则D DF E⋅=u u u r u u u r．【答案】1615-【解析】由题意得：1sin ,cos ,sin 24125255A A AB AC A AB AC ==⋅⋅=+⇒⋅=，又112,43222125AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=,因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=u u u r u u u r 16cos()()151255DE DF A π⋅⋅-=⨯-=- 【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B16、已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532 C ．112 D ．132【答案】D【解析】133313(cos sin )(43)()3322OB OA i i i ππ=⋅+=⋅=+u u u r u u u r ，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根 【考点定位】不等式性质18、设(),n n n x y P 是直线21n x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1nn ny x →∞-=-（ ）A ．1-B ．12- C ．1 D ．2 【答案】A三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2015年上海高考数学理科含答案word版
2015年上海⾼考数学理科含答案word版2015年上海⾼等学校招⽣数学试卷（理⼯农医类）⼀. 填空题（本⼤题共有14题，每题4分，满分56分）1．设全集U=R ，若集合{}A=12,3,4，，{}23B x x =≤≤，则U A C B = ； 2．若复数z 满⾜31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ； 3．若线性⽅程组的增⼴矩阵为122301c c ??，解为35x y =??=? ，则12c c -= ； 4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a = ；5．抛物线22(p 0)y px =>上的动点Q 到焦点的距离的最⼩值为1，则p = ；6．若圆锥的侧⾯积与过轴的截⾯⾯积之⽐为2π，则其母线与轴的夹⾓⼤⼩为； 7．⽅程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为；8．在报名的3名男教师和6名⼥教师中，选取5⼈参加义务献⾎，要求男、⼥教师都有，则不同的选取⽅式的种数为；（结果⽤数值表⽰） 9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为1C 和2C ，若1C的渐近线⽅程为y =，则2C 的渐近线⽅程为； 10．设()1f x -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最⼤值为；11．在10201511x x ?++的展开式中，2x 项的系数为；（结果⽤数值表⽰）12．赌博有陷阱，某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1、2、3、4、5的卡⽚中随机摸取⼀张，将卡⽚上的数字作为其赌⾦（单位：元）；随后放回该卡⽚，再随机摸取两张，将这两张卡⽚上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖⾦（单位：元）；若随机变量1ξ和2ξ分别表⽰赌客在⼀局赌博中的赌⾦和奖⾦，则12E E ξξ-= 元； 13．已知函数()sin f x x =，若存在12,,m x x x 满⾜1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()*12231++=12f x f x m m N --+--≥∈，则m 的最⼩值为；14．在锐⾓三⾓形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD 与ACD 的⾯积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF = ；⼆. 选择题（本⼤题共有4题，每题5分，满分20分）15．设12z z C ∈、，则“12z z 、中⾄少有⼀个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（）A. 充分⾮必要条件B. 必要⾮充分条件C. 充要条件D. 既⾮充分也⾮必要条件16．已知点A的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π⾄OB ，则点B 的纵坐标为（）A.B.C.112D.13217．记⽅程①：2110x a x ++= ；⽅程②：2210x a x ++=；③：2310x a x ++=；其中123a a a 、、是正实数，当123a a a 、、成等⽐数列时，下列选项中，能推出⽅程③⽆实数根的是（） A. ⽅程①有实根，且②有实根B. ⽅程①有实根，且②⽆实根C. ⽅程①⽆实根，且②有实根D. ⽅程①⽆实根，且②⽆实根18．设(),n n n P x y 是直线()*21nx y n N n -=∈+与圆222x y +=在第⼀象限的交点，则极限1n x n y x →∞-=-（）A. 1-B. 12-C. 1D. 2三. 解答题（本⼤题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
[精品]2015年普通高等学校招生全国统一考试高中数学理试题上海卷和答案
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2015年高考上海卷理数试题解析（精编版）（解析版）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B = ð ． 【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B = 【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ． 【答案】45、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】26、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．【答案】3π【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->21430,333112x t t t t x x -⇒-+=>=⇒=⇒-=⇒=【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】1209、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】y x = 【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C 的渐近线方程为2y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】411、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）． 【答案】0.2【解析】赌金的分布列为所以11(12345)35E ξ=++++=奖金的分布列为所以223111.4(1234)2.8510510E ξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=12ξξE -E =0.2【考点定位】数学期望13、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为 ． 【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m = 【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边CB 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅=．【答案】1615-【解析】由题意得：1sin sin 242A A AB AC A AB AC ==⋅⋅=+⇒⋅=，又112,43222AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=16cos()(15DE DF A π⋅⋅-=- 【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B16、已知点A 的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）A ．2B ．2C ．112D ．132【答案】D【解析】113(cos sin ))()3322OB OA i i i ππ=⋅+=⋅+= ，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根【考点定位】不等式性质18、设(),n n n x y P 是直线21nx y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=-（ ） A ．1- B ．12- C ．1 D ．2 【答案】A三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z 8. 已知两条直线 l1 和 l2 的方程分别是 l1 ： ， ， l2 ： 1 0 1 2 1 1 则过 l1 且平行于 l2 的平面方程是____________________________。
9. 微分方程 xy '' 3 y ' 0 的通解为_____________________________。 10.若函数 f ( x) 满足方程 f ''( x) xf '( x) 2e x x 2e x 及 f '( x) f ( x) 2 xe x e x ， 则 f ( x) _________________。
sin t 则 F ( x) dt ， x sin 2 t 1 （A）不为常数；
x 2
）
（B） L 平行于 ； （D） L 在 上。 （ （B） a 3 ， b 2 ， c 2 ； （D） a 3 ， b 2 ， c 2 。 （ （B）恒为零； （D）为正常数。
1 n
dx 的收敛性
（
）
（B）仅与 m 取值有关； （D）与 m 和 n 取值都有关。
5. 设函数 f ( x) 在 R 上连续且恒正。对于常数 a [0, ) ，记
an
a
a
( f ( x) f
n
n
( x))dx ， 则 lim an
n
1 n
（
）
（A）是否存在与 a 有关；
1
2. 设 y 4e2 x (2 x 3)e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y '' ay ' by cex 的 ）
）
（C）为负常数； 4. 设 m 和 n 为正整数， 则反常积分 （A）仅与 n 取值有关； （C）与 m 和 n 取值都无关；
0
ln m x (1 x)
（B）一定存在，且极限值与 a 无关；
（C）一定存在，且极限值与 a 有关； （D）一定不存在。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
x 1 6. 函数 F ( x) 2 dt （ x 0 ）的单调减少区间为_____________。 1 t
7. 设球面 x2 y 2 z 2 9 与平面 x 2 y z 6 0 的交线为 L ，则 L 所围成的平面 区域的面积 S _____________。
其中 (t ) 具有二阶导数，曲线 y (t ) 与 y 6 e1u du 5 在 t 1 处相切，求
2
t2
1
函数 (t ) 。 五、 （本题 10 分） 17.已知边长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，
AC1 是体对角线， M 和 N 分别是 BB1 和 B1C1
1
三、求极限（本题 10 分） 11.求 lim
x 0
3x
0
sin(3x t )dt
(1 x) x 1
。
四、积分计算（每小题 8 分，共 24 分）
1 dx 。 0 sin x cos x 1 ln(1 x) dx 。 13.求 0 (2 x ) 2
12.求 4 14.求 1
D
C
A B M
的中点， P 是 MN 的中点，求异面直线 DP 与 AC1 之间的距离。 七、证明题（本题 8 分） 18.设 f ( x) 是 [0,1] 上的连续函数，且满足 f ( x)dx 1 。
0 1
D1
C1
P
B1
A1
N
（1）证明：
(1 x ) f
2 0
1
2
(ห้องสมุดไป่ตู้x)dx
4
；
1
（2）是否存在满足题干条件的函数 f ( x) ，使得积分 (1 x 2 ) f 2 ( x)dx
0
4
？
若存在，给出这样的一个 f ( x) ；若不存在，请说明理由。
2
2
2
arctan x dx 。 x
五、解方程（第 15 小题 8 分，第 16 小题 10 分，共 18 分） 15.求在 [0, ) 上的可微函数 f ( x) ，使 f ( x) eu ( x ) ，其中 u ( x) f (t )dt 。
0 x
x 2t t 2 , d2y 3 16.设函数 y f ( x) 由参数方程 （ t 1 ） 所确定， 且满足 2 ， dx 4(1 t ) y ( t )
2015 级第二学期《高等数学》期中考试试卷 (B 类)
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
x 3 y 2z 1 0 1. 设有直线 L ： 及平面 ： 4 x 2 y z 2 0 ，则 （ 2 x y 10 z 3 0
（A） L 与 斜交； （C） L 垂直于 ； 一个特解，则 （A） a 3 ， b 2 ， c 0 ； （C） a 3 ， b 2 ， c 0 ； 3. 设 F ( x)