4位黑洞数的证明及相关问题剖析

A B C D - D C B A m n p k

A B B D - D B B A m 9 9k 4位黑洞数的证明及相关问题剖析

邬金华

自原苏联人卡普耶卡提出4位数反复重排求差会得到黑洞数6174至今，这种看似简单的数字游戏隐含的数学道理已逐渐引起越来越多的人的兴趣，并很快被推演到更多位的情形。网上有消息称，该问题已被“印度学者”和台湾中学生李光宇各自解决，大陆人王景之稍后也在网上公布了他的研究结论，但是，在可以搜索到的材料中却一直没有见到有关的严格的数学证明，而且，台湾李光宇和大陆王景之的结论也不完全一致。为弥补这些缺憾，这里先介绍几种对经典4位黑洞数的证明方法和相关结论，随后再陆续公布对其它位数的研究结果。

一、操作过程中的差数

在反复重排求差的演算过程中，除首次演算时的被减数是某个任意4位数（但4个数字不全相同）以外，以后操作的被减数都是上一次差数的重排，就是说，以后的操作都是在差数基础上进行的，而且黑洞数本身也是一个差数，只是较为特殊罢了。为了揭示一般差数的特点，这里将重排求差时的最大数用大写字母ABCD的形式写出（最小数随之而定），差数用小写字母mnpk的形式写出。按最大数中间二位数字是否相同，可将最大数和相应得到的差数分为两种类型。

类型1：最大数中间二位数字不同，即A≥B＞C≥D，称无核类型（0核类型），或普通类型。

将相减操作写成竖式，可以得到被减数、减数和差数各构成数字之间的基本关系式：

m=A-D m+k=10

n=B-C-1 n+p=8

p=C-B+9 m>n

k=D-A+10

很明显，所有差数的共同特点是：首尾二数字之和必为10，中间二数字之和必为8，首位数大于二位数。这样，能作为差数出现的数并不多，这里将它们从小到大全部罗列如下，共1+2+3+……+9=45个：

1089

2085 2178

3087 3177 3267

4086 4176 4266 4356

5085 5175 5265 5355 5445

6084 6174 6264 6354 6444 6534

7083 7173 7263 7353 7443 7533 7623

8082 8172 8262 8352 8442 8532 8622 8712

9081 9171 9261 9351 9441 9531 9621 9711 9801

类型2：最大数中间二位数字相同，即A≥B=C≥D（不能同时都取等号），称有核类型。

同样写成竖式，可得被减数、减数和差数各构成数字之间的基本关系式为：

m=A-D-1 m<9

k=D-A+10 m+k=9

此时差数的首尾二数字之和必为9，但首位数字不能为9，中间二数字永远是99。这类差数只有9个，它们是

0999 1998 2997 3996 4995 5994 6993 7992 8991

综合两种类型，在4位数中，能作为差数出现的数共有54个，他们就是研究4位黑洞数的根本出发点。

二、黑洞数6174的证明

按黑洞数的定义，如果将黑洞数本身也重排求差，那么差数的构成数字就应该与黑洞数的构成数字相同，这样，就可以有3种不同的方法证明黑洞数6174。

证明1——顺推

对上述54个差数逐一重排求差，如果差数的构成数字与被减数的构成数字相同（排列次序可以不同），那么该差数就一定是黑洞数；如果不存在这样的差数，就没有单一的黑洞数。实际上，在54个差数中，大多数差数都可以找到与自己构成数字完全相同的“同伴”，如1089、9081、9801等等，它们都是交换了m、k或n、p位置的结果，它们重排求差时的最大数都是一样的，故可将它们归并为一组，称等效差数数组，简称等效数组。因为有限定条件（m>n 或m<9），同一数组中包含的差数的个数可以是1个、2个、3个……，最多可有比位数少1个，这里不妨将他们分别称为一元数组、二元数组、三元数组等等。这里是4位数，最多可包含3个差数，故可归并出一元数组、二元数组和三元数组，共29组。这样，只需针对这29组差数重排求差就可以证明有无黑洞数了。结果，只有数组4176-6174重排求差得6174，其构成数字与最大数7641相同，所以6174就是黑洞数，而且是唯一的。

这里介绍一个求差小窍门，可以很快得到对某数重排求差结果：某数如为类型1的数，其中最大和最小两数字之差即为差数的首位数，剩下两数之差再减1就是差数的二位数，差数的第3位和第4位只需使其与首二位数之和分别为8和10就行了。如对4176或1089重排求差，看下图：

最大减最小得差数的首位

剩下二数之差再减1得差数的第二位8

10

最大减最小得差数的首位

剩下二数之差再减1得差数的第二位8

10

如某数是类型2的数，可用某数中的最大数减最小数再减1作为差数的首位数，差数的中间二数永远是“99”，差数的末位数与首位数之和为9。看下图：

最大减最小再减1得差数的首位

7 4 4 3 3 9 9 6

和为9 证明2——解方程

在前述类型1的基本关系式中，如果最大数ABCD是由黑洞数重排得到，那么差数mnpk 应该仍是黑洞数，它的4个构成数字就应该与A、B、C、D分别相同，这样的可能共有4！=24种，但考虑到k≠D，n≠A，p≠C，还有12种，将它们分别代入到基本关系式中就可得到12个四元一次方程组，分别求解（看似麻烦，其实很简单，因为未知数系数都是1,且都是1位数），结果发现，只有m、n、p、k顺序等于B、D、A、C时，方程组才有合乎条件（A≥B

＞C≥D，且都是1位正整数）的解，解得A=7，B=6，C=4，D=1，或m=6，n=1，p=7，k=4。

对类型2的数可用相同方法处理，但简单分析就知无解。故6174是唯一的黑洞数。

证明3——逆推

这在下面的叙述中将被提到。

三、逆推

所谓逆推，就是指求差的逆运算，即由差数mnpk反推求差时的最大数ABCD。

在类型1中，当mnpk已知时，将m、n、p、k分别代入到基本关系式中，可得4个等式，好像还是解四元一次方程组的问题，但因为已知的mnpk本身就有m+k=10，n+p=8的关系，故4个等式中只有2个是有效的，所以这时的四元一次方程组就成了不定方程；另一方面，ABCD还需满足A≥B＞C≥D，故方程组只有有限个解。类型2的情形与此类似，因为已知的m、k已经满足m+k=9，故2个等式中只有1个是有效的，而ABBD也要满足A≥B≥D（不同时取等号），所以方程组也只有有限个解。解这2类不定方程组，可分别得到它们的逆推求解公式。

1、类型1的逆推求解公式

当4位数mnpk满足条件m>n，m+k=10，n+p=8时，可用以下公式逆推求ABCD：

A = m+α（α= 0，1，2……9-m)

B = n+1+β（β=α，α+1，α+2，……α+m-n-1)

C = β

D = α

α、β的取值法则是先使α从0开始一直取到9-m时为止（A和D由此而定），在同一α条件下β可能可取多个值，即从α一直取到α+m-n-1时为止。以黑洞数6174为例，此时m=6，n=1，为清楚起见，可将α、β的取值和相应得到的ABCD列成式子和数表：

A = m+α=6 +α= 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9

B = n+1+β=2 +β= 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9

C = β= 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7

D = α= 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3

将它们写成正规数的形式就是

6200 6310 6420 6530 6640 7311 7421 7531 7641 7751

8422 8532 8642 8752 8862 9533 9643 9753 9863 9973

共有20个解，将它们重排求差一次就可得到黑洞数，这里称它们为1步数。顺便指出，在类型1中逆推ABCD可有（10-m）（m-n）个解（最多可有25个解）。但这并不是说只有这20个数才是1步数。实际上，凡是与这20个数中任何一个数的构成数字相同的一般4位数，都是1步数。以6200为例，与之构成数字相同的6020、2060、2600、0262、0062等等也都是1步数，因为在重排求差时，它们的最大数都是6200。可见，每个最大数实际代表的都是一个等效数组。用排列组合法可以计算出这些等效数组一共包含了多少个一般的1步数。当构成数字均不相同时，4个数字可组成24个不同的4位数；当构成数字只有2个相同时，则可组成12个不同的4位数；如果构成数字两两相同，则可组成6个不同的4位数；如果构成数字有3个都相同，则可组成4个不同的4位数。据此计算，1步数共有384个，显然，它们是各不相同的。

如果用其它差数逆推可以发现只有由6174逆推时才有与它构成数字相同的最大数7641，所以只有唯一的6174才是黑洞数，这就是证明黑洞数的第三种方法，显然此法比较麻烦。但逆推的最初用意并不在此。