模糊线性规划中模糊目标系数的隶属函数的确定

( 5 ) 的反问题 .
首先 , 问题 ( 5 ) 可表示为标准形式
max [ c ]α x, s . t . A x + y ≤b,
x ≥0. ( 8)
3
R
其中 : y = ( y1 , …, ym ) T 表示每一约束所添加的人工变量 . 可以写成更加简洁的形式
max [ c ]α x,
3
R
图 1 模糊系数 c1 的隶属函数
F ig. 1 The m em bersh ip function of fuzzy coeff ic ien t c1
s . t . A ′
x y
= b,
( 9)
x ≥0.
3 其中 : A ′ = ( A I) , I表示 m 阶的单位阵 . 可以求出当 x = x
其中 :M = { 1, 2, …, m } ; N = { 1, 2, …, n} ; 模糊系数 cj , a ij , bi 为模糊量 (即正规且完备的具有半严格拟凹隶属函数的模 糊子集 ) , P 为模糊关系 (即经典不等关系 ≤模糊推广 , 通 常是模糊可能关系 [ 7 - 9 ] . 讨论这样一类模糊线性规划 :
3
L
R
3
R
命题 1
[8 ]
x为 ( 2 ) 的 α2 最 大解的充要条件 : x 是下
由命题 1, 可知 : x3 为 ( 2 ) 的 α2 最 大解的充要条件 : x3 是下 列线性规划的最优解
max [ c ]α x,
R
列线性规划的最优解
max [ c ]α x, s . t . A x ≤b,
3 mP . α n, 若 m P α n, 且 μ P ( n, m ) <α
( 4)
其中 :η ( x ) = { c = ( c1 , c2 ) | x 是 m in c x s . t . A x ≤b, x ≥
3 3 ) , D ( c2 , c2 ))‖ 0 的 α2 最大解 } ; D ( c, c3 ) = ‖ ( D ( c1 , c1 ∝ 3 3 表示 模 糊 向 量 c = ( c1 , c2 ) , c3 = ( c1 , c2 ) 间 的 距 离 ; 3 L ‖・‖ sup m in { | [ ci ]α ∝ 表示无穷范数 ; D ( ci , ci ) = α∈[ 0, 1 ]
( 7)
2. 1 第一阶段
通过与决策者的交流 , 针对目标系数 c1 , 决策者可以给 出几个 c1 在不同的 α水平下的 α2 截 集 , 对于 c1 其他的 α2 截集 , 可以通过线性插值得到 , 从而可以确定 c1 的隶属函 数 (见图 1 ) . 类似的方法 , 我们可以确定 c2 的隶属函数 .
定义 1
[7 - 8 ]
设
m , n 为实数域 R 上模糊集 , 且隶属
c2 ) 尽可能地接近 , 因为 c = ( c1 , c2 ) 是根据决策者提供的信
函数分别为 μ m : R → [ 0, 1 ],μ n : R → [ 0, 1 ], 令可能性指标
Pos ( m ; n ) = sup{m in (μ m ( x ) ,μ n ( y ) ) | x ≤y, x, y ∈R }
0 引言
在模糊集理论中 ,隶属函数起着十分重要的作用 . 隶属 函数的确定是处理模糊现象的第一步而且是重要的一步 . 当数据给定的情况下 ,许多学者提出了确定简单模糊推理 模型中隶属函数的方法 ,如 : 利用神经网络方法 [ 1 ] , 利用最 速下降法 [ 2 ]等 . 在模糊线性规划领域中 ,众多学者多集中于问题的求 解
max [ c ]α x, s . t . A x ≤b,
x ≥0. ( 6)
3
R
2 隶属函数的确定
利用一种两阶段法来确定模糊系数的隶属函数 . 为了 讨论的简便 , 假设问题 ( 2 ) 中只有 2 个变量 x1 、 x2 , 2 个目标 系数 c1 、 c2.
下面构造问题 ( 7 )
R ) | c′ m in { D ( [ c ]α , c′ ∈< ( x3 ) }
模型符合决策者的决策 . 所以 , 我们的问题可以表示为
3 3 η ( x3 ) } 1 m in { D ( c, c ) | c ∈ 3 3 3 3 3
定义 2
[7 - 8 ]
设 P 为定义 1 中的模糊可能关系 , 令 α
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α ∈ ( 0, 1 ], 给定模糊量 m , n, 记 m P ;记 α n, 若 μ P (m , n ) ≥
其中 : c = ( c1 , …, cn ) , A = [ a ij ]m ×n , b = ( b1 , …, bm ) , 即模型 ( 1 ) 中 , 只有模糊目标系数是模糊量 . 为了定义最优 解 , 首先给出关于模糊关系的几个定义 .
足以下要求 :
3 3 ( 1 ) c3 = ( c1 , c2 ) 与第一阶段确定的模糊系数 c = ( c1 ,
Abstract: A two stage method is p roposed to elicit the membership function of fuzzy objective co 2 efficients in the setting of fuzzy linear p rogramm ing . In the first stage, a rough mem bership function is elicited based on the method of linear interpolation; in the second stage, a more p recise mem bership function is obtained by the past decision specified by decision maker . Key words: fuzzy linear p rogramm ing; mem bership function; fuzzy relation; inverse p roblem
信阳师范学院学报 : 自然科学版 第 20 卷 第 4 期 2007 年 10 月
Journal of Xinyang Nor mal University Natural Science Edition Vol . 20 No. 4 Oct . 2007
・ 基础理论研究 ・
模糊线性规划中模糊目标系数的隶属函数的确定
M em bersh ip Function Elic ita tion of Fuzzy O bjective Coeff ic ien ts in Fuzzy L in ear Programm in g
W E I Ben 2cheng , L I Gang
1 2
(1. Departm ent of M athematics Sciences, Huanghuai College, Zhumadian 463000, China; 2. Depart m ent of M athematical and Physical Sciences, Shandong Institute of L ight Industry, J i’ nan 250100, China )
x ≥0,
R R
( 3)
3
s . t . A x ≤b,
x ≥0. x 为带有目标系数 c
3
( 5)
3 3 = ( c1 , c2 ) 的问题 ( 2 ) 的 α2 最大解的
其中 , [ c ]α 表示模糊矩阵各元素 α - 截集的右端点所组成 的实数矩阵 .
充要条件 : x3 是下列线性规划的最优解
416
魏本成 ,等 : 模糊线性规划中模糊目标系数的隶属函数的确定 max z = cx,
s . t . A x ≤b,
x ≥0, ( 2)
T
假设 , 现在决策者提供了一个过去的决策 :在优化程度 为 α下的决策 x3 , 即问题 ( 2 ) 在精确的模糊目标系数 c3 =
3 ( c1 , c2 ) 下的 α - 最大解 . 3 3 现在的问题就是确定模糊目标系数 c3 = ( c1 , c2 ) 满
定义 3
- 最大解 .
[7 - 8 ]
给定问题 ( 2 ) 的一可行解 , 若不存在
3 ( 2 ) 任意可行解 x ′ ( x′ ≠ x) 满足 cxP , 则称 x 为 ( 2 ) 的 α α cx ′
关于 α2 最大解 , 有如下的求解方法 .
[ ci ]α | , | [ ci ]α - [ ci ]α | } , i = 1, 2.
[3 - 5 ]
献 [ 6 ]中的方法 , 确定一个相对粗糙的隶属函数 ; 第二阶 段 ,利用决策者过去的决策 (这一要求对于决策者而言是 实际可行的 ,甚至是容易的 ) 来提高所得隶属函数的精确 度.
1 背景知识
Ram ik
[7 - 8 ]
提出了基于模糊关系的模糊线性规划模型
如下 :
max z = c1 x1 + K + cn xn , s . t . ( ai1 x1 + … + a in xn ) P bi , i∈M ,
息得到的 , 所以 ,“ 真正 ” 的模糊系数也应该与此相一致 ;
( 2 ) 决策者提供的 x3 是问题 ( 2 ) 在精确的模糊目标系
3 3 数 c3 = ( c1 , c2 ) 下的 α2 最大解 , 因为要保证所确定的数学
所以 , 可能性指标可看作 R 上的模糊关系 . 引入如下记号 Pos ( m ; n ) =μp ( m , n ) .
max z = c1 x1 + … + cn xn , s . t . ( ai1 x1 + K + a in xn ) ≤bi , i∈M ,
xj ≥0, j∈N ,
收稿日期 : 2006 2 09 2 28; 修订日期 : 2007 2 01 2 13; 3 . 通讯联系人 , E2 mail: wbc862@ ztc. edu. cn 基金项目 :河南省自然科学基金项目 ( 0511012700 ) 作者简介 :魏本成 ( 1964 2) , 男 , 河南上蔡上 , 副教授 , 主要从事不确定信息处理研究 1
xj ≥0, j∈N , ( 1)
,而对于系数的隶属函数的确定却很少有所讨论 .
[6 ]
Inuiguchi等人
讨论了可能线性规划中隶属函数的确定 ,
他们的方法主要是通过与决策者的交流 , 得到模糊系数在 不同 α2 水平下的截集 ,然后利用线性插值得到模糊系数的 隶属函数 . 这一方法有几个缺点 : ( 1 ) 根据此方法确定的模 糊系数隶属函数有时精度比较低 ; ( 2) 由此确定的模糊线 性规划模型有时与决策者的实际决策不一致 . 为克服以上 缺点 ,文献 [ 6 ]中提出通过要求决策者提供更多的 α— 截集 来提高所得隶属函数的精度 . 但这一要求 ,有时对决策者而 言 ,是非常苛刻的 ,甚至是不合理的 . 针对这一问题 ,提出一 种两阶段法来确定模糊系数的隶属函数 . 第一阶段 ,利用文
魏本成
13
,李 钢
2
( 1. 黄淮学院 数学科学系 ,河南 驻马店 463000; 2. 山东轻工业学院 数理科学系 ,山东 济南 250100 )
摘 要 : 针对模糊线性规划问题中的模糊目标系数的确定 ,提出了一种两阶段方法 . 在第一阶段 ,利用线性 插值技术得到一个粗糙的隶属函数 ; 在第二阶段 ,利用决策者过去的决策来提高所得隶属函数的精确度 . 关键词 : 模糊线性规划 ; 隶属函数 ; 模糊关系 ; 反问题 中图分类号 : TP301 文献标识码 : A 文章编号 : 1003 2 0972 ( 2007 ) 04 2 0416 2 03
2 3 其中 : < ( x ) = { c′ = ( c′ 1 , c′ 2 ) ∈R | x 是模糊线性规划 :
R ) 表示实数 m in c′ x s . t . A x ≤ b, x ≥0 的最优解 } ; D ( [ c ]α , c′
3
向量间的距离 , 同样可以按照 ( 4 ) 中的含义来理解 . 由文献 [ 10 2 11 ], 知道问题 ( 7 ) 实际上是经典线性规划
2. 2 第二阶段