镜像法
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a
(
2
b
2
h
d 2
2
d=2h
2
电轴法
d 2
b )(
b) a
29
河北工业大学
《工程电磁场导论》 3) 两平行的不同半径、带异号电荷长直圆导线的电场
例1-18 p45
y
a1
a2 x 思考:电荷分布？ Emax=? Emin=? τ与U的关系？ 2
b
b
d
h1
b h 2 a 2 2 2 2 b h1 a1 d h1 h 2
①球面上感应电荷为-q’,分布未知。
②球面为等位面，φ=0。 ③球外为有效区， ▽2 φ =0（除+q点外）。
12
镜像电荷计算公式
P R o R b r’ -q’ d r q
河北工业大学
《工程电磁场导论》
球面为等位面φ =0
1 4
0
用假想集中电荷-q’代替未 知分布的感应电荷，放在 轴线上。
a
(
2
b
2
h
d 2
2
d=2h
2
电轴法
d 2
b )(
b) a
32
例：分裂导线
河北工业大学
《工程电磁场导论》
y 电晕现象的发生和气象、导体表面的污染及传输线 本身的结构均有关，但主要原因是导线表面的电场强度超 出空气的击穿场强造成的，所以应尽力降低Emax。
上 页
下 页
思路
边值问题
导体球外（除q点）空间：
2 0 S const SD dS Q
+Q
上 页
下 页
讨论 3.点电荷q 对带有电压U0的金属球的镜像。
思路 边值问题
2 0 S U 0 SD dS Q
r r
(xb) (xb)
2 2
y y
2 2
1 2
K ，即
K K
2 2
(xb) (xb)
y y
K
整理得 ( x
1 1
b)
2
y
2
(
2 Kb K
2
1
)
2
y P r+
一系列偏心圆，圆心位置、半径与K有关， 与电轴位置b有关。 ra 2 2 2
31
河北工业大学
《工程电磁场导论》 2) 两平行的同半径、带异号电荷长直圆导线的电场 y
a
a x
电荷在导线表面 不均匀分布 特点：导线内 部E=0，表面等 位面，导线外 ▽2φ=0
b d
b
原来不均匀分布的电荷看作是集中在一条直线上，称为等 效电轴。只需确定等效电轴的位置b ，即可求解两带电平 行圆导线的电场。
河北工业大学
《工程电磁场导论》
镜像法的理论依据是唯一性定理与叠加定理； 用集中分布 的电荷代替未知分布的感应电荷、 极化电荷； 这些集中分布的电荷是假想电荷，称之为镜像 电荷； 镜像电荷必须放在无效区； 镜像电荷的数量、大小（正负）由场域交界面 的衔接条件决定； 不同介质（区域）中的场应由相应的电荷计算 （注意有效区！）。
x
28
河北工业大学
《工程电磁场导论》 2) 两平行的同半径、带异号电荷长直圆导线的电场 y
a
a x
电荷在导线表面 不均匀分布 特点：导线内 部E=0，表面等 位面，导线外 ▽2φ=0
b d
b
原来不均匀分布的电荷看作是集中在一条直线上，称为等 效电轴。只需确定等效电轴的位置b ，即可求解两带电平 行圆导线的电场。
r R 时球面上的感应电荷面
0Er
q 4
0 rR
密度为
R d cos R R b cos 3 3 d ( R 2 b 2 2 Rb cos ) 2 ( R 2 d 2 2 Rd cos ) 2 q (d
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镜像法场图演示
河北工业大学
《工程电磁场导论》
23
河北工业大学
《工程电磁场导论》
4.圆柱导体之间的镜像(电轴法）
1) 两平行长直带电轴线的电场分布 2) 两平行的同半径、带异号电荷长直圆
导线的电场 3) 两平行的不同半径、带异号电荷长直 圆导线的电场
24
河北工业大学
《工程电磁场导论》 1)两平行长直带电轴线的电场分布
2
1 2
}
既为所给边值问题的解
。
显然，界面上任意点的电位都为零！
3
镜像法
q
0
河北工业大学
《工程电磁场导论》
q
=
0 0
-q
0（上半平面， ,
2
q 点除外） 界上电位为零。
q’=-q
导体平面上及无穷远边
镜像法同样适于线电荷与无限大导电平面
4
电场分布图
河北工业大学
《工程电磁场导论》
2
4 R ( R
2
R )
2 3 2
d
2
2 Rd cos )
球面上的总感应电量为
q in q (d
2
R )
2
4 R
2
R sin d ( 2 )
2
0
(R
d
2
2 Rd cos )
3 2
R d
q
14
思考
河北工业大学
《工程电磁场导论》
下列情况下，如何取镜像电荷？数量、大小？ 1. 金属球不接地； 2. 金属球与电源（U0）相接； 3. 金属球带电量为Q。 4. 点电荷置于金属球壳内，球壳接地；
能否用集中分布的 电荷代替？ 等效代替
2
真空中一对点电荷产生的场 《工程电磁场导论》
上半空间任意点P的电位为
q 4
0
河北工业大学
q P R R’
1
1 1 ' R R
1
0 0
-q
2
q 4
0
{
x
2
y (z h)
2
2
1 2
x
2
y (z h)
R q q d 2 R b d
q q 0 r r
解得
13
河北工业大学
于是球外任意点的电位
q 4
0
为
q 4
0
《工程电磁场导论》
R1
q 4
0
R2
1 R R d R2 1
p
q 4 0 R
q 40 r
q 40 r2
q' 40 r 1
q 4 0 d
E
1 R R ( 2 er er er ) 2 2 1 2 40 r dr1 dr2 q
上 页
下 页
点电荷位于不接地导体 球附近的场图
讨论
2.点电荷q 对带有电荷 Q的金属球的镜像。
y P
忽略边缘郊应，且忽略不计 导线半径，先求电位分布。
r
r+
E
2 0 r
x
b
b
Q P Q
E dr E dr
2
0
ln r C 1 ln r C 2
P
2
q
1
2
河北工业大学
《工程电磁场导论》
q
1
q’’ +
2 2
= 1 q’
介质2中的电 场由q”产生
2 2
q'
1 2 1 2
q
q''
1 2
q q q'
镜像法场图演示
11
3.点电荷与导体球面的镜像
p42 R q d
河北工业大学
《工程电磁场导论》
用假想集中电荷-q’代替未 知分布的感应电荷，放在 轴线上。
镜像法场图演示
15
讨论
1.点电荷q 对不接地金属球的镜像。 思路
边值问题
导体球外（除q点）空间：
2 0 const D 球S dS 0
S
上 页
下 页
导体球零电位 则 q'
R d q, b R d
2
球面等位（ q ' 位于球心） 通量为零（ q' , - q '大小相等） 任一点电位 球面电位 任一点场强
0
2
0
P
ln
r r
C
取y轴作为电位参考面，则C=0。
ln
0
2
0
ln
r r
2
(xb) (xb)
2 2
y y
2 2
1 2
25
等φ线
2
2 2
河北工业大学
《工程电磁场导论》
ln
0
2 2
r r
2
2
0
ln
等位线：φ=常数
q b d
-q’
S
q 4R
2
R b d q R q d
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q 讨论 5.求图示问题的镜像电荷的位置和大小。 思路 边值问题 -q’
2 0 S 0 SD dS q
上半空间（除q点）：
q +q’
-q
2
2
n
，
介质交界面上
9
镜像电荷q’,q”计算公式
当 z 0时
1
q 4 1 R 1 q' 4 1 R 1 '
1 1
河北工业大学
《工程电磁场导论》
q P R 1
2
q’’ R2
当 z 0时
R1’
q’
2
Q
z 0 处有
1 z 2 z
2
q'' 4
导体球外（除q点）空间：
S
U0 Q 4R
+Q
Q 4 πεRU0 Q q
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讨论 4.点电荷q 在不带电的金属球壳内的镜像。
思路 边值问题
2 0 S const SD dS q
导体球内（除q点）空间：
8
河北工业大学
p43 q
1
2
《工程电磁场导论》
2.点（线）电荷与平面介质交界面的镜像
q
1
q’’ +
2 2
= 1 q’
1 0 , 上半平面（
2
q 点除外）
2
2
0 , 下半平面
2
1
0,
r 时 介质交界面上
1 2,
1
1 n
(x h) y a
h
K K
2 2
1 1
2
x
b
a
2
2 Kb K
2
1
b h
2
b
a
2
b
h
( h b )( h b ) a
反演点
26
E
线
2
0
河北工业大学
《工程电磁场导论》
E
E
ln
x
(xb) (xb)
无限大导体平面附近的点电荷的镜像法
5
直角形导体平面的镜像
一次镜像 -q
0 0 0
河北工业大学
《工程电磁场导论》
q
q q
0 0 0
q
-q
二次镜像
一次镜像
6
有效区
q
0
河北工业大学
《工程电磁场导论》
q
=
0 0
q
q =
-q
q
q
7
-q
镜像法小结
1. 2. 3. 4. 5. 6.
2 2 2
h2
2 2 d a1 a 2 h1 2d 2 2 2 d a 2 a1 h 2 2d
30
河北工业大学
Emax , Emin y
《工程电磁场导论》
xA=h1-a1
a1
A
Emax b b
B a2 x Emin
xB=h2+a2
d
h1 h2
授课计划——chap1-4
重点内容回顾 及疑难解答 位函数方程的通解形式。 测验：静电场分析计算的类型及方法、公式。
河北工业大学
《工程电磁场导论》
1-7
镜像法
理论依据：唯一性定理
教 学 内 容
主 要 知 识 点
1. 点（线）电荷与导体平面的镜像 2. 点（线）电荷与平面介质交界面的镜像
3. 点电荷与导体球面的镜像 4. 圆柱导体之间的镜像(电轴法)
总结
重点 难点 思考题 与作业 备注 预习1-8，1-9 1 镜像电荷的数量、大小的确定； 适用范围（有效区）
1.点电荷与导体平面的镜像
q p41
0
河北工业大学
《工程电磁场导论》
？ =
q
0 0
q’
0（上半平面， ,
2
q’=？
q 点除外） 界上电位为零。
导体平面上及无穷远边
导体平面上有负的感应 电荷，但电荷分布未知。 电荷轴对称分布。
2
R2
根据边界条件，
1 2
和
1
2
当 z 0 时 P 、 Q 两点重合，
q q' q''
R 1 R 1 ' R 2，则有
q'
1 2 1 2
2 2
1
q
2
q q' q''
q''
1 2
q q q'
10
注意有效区
介质1中的电 场由q,q’产生
2 2
y y
2 2
1 2
y P
ex
y
ey3;
k1
2 2 2 2 bxy e x b ( y b x ) e y
x
E 线方程
0
[( x b )
2
y ][( x b )
2
2
y ]
2
b
2
b
2
b
2
dx Ex
2
dy Ey
2
dz Ez
k1
K1 4
2
4
b
x
2
(y
K1 2
(
2
b
2
h
d 2
2
d=2h
2
电轴法
d 2
b )(
b) a
29
河北工业大学
《工程电磁场导论》 3) 两平行的不同半径、带异号电荷长直圆导线的电场
例1-18 p45
y
a1
a2 x 思考:电荷分布？ Emax=? Emin=? τ与U的关系？ 2
b
b
d
h1
b h 2 a 2 2 2 2 b h1 a1 d h1 h 2
①球面上感应电荷为-q’,分布未知。
②球面为等位面，φ=0。 ③球外为有效区， ▽2 φ =0（除+q点外）。
12
镜像电荷计算公式
P R o R b r’ -q’ d r q
河北工业大学
《工程电磁场导论》
球面为等位面φ =0
1 4
0
用假想集中电荷-q’代替未 知分布的感应电荷，放在 轴线上。
a
(
2
b
2
h
d 2
2
d=2h
2
电轴法
d 2
b )(
b) a
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例：分裂导线
河北工业大学
《工程电磁场导论》
y 电晕现象的发生和气象、导体表面的污染及传输线 本身的结构均有关，但主要原因是导线表面的电场强度超 出空气的击穿场强造成的，所以应尽力降低Emax。
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思路
边值问题
导体球外（除q点）空间：
2 0 S const SD dS Q
+Q
上 页
下 页
讨论 3.点电荷q 对带有电压U0的金属球的镜像。
思路 边值问题
2 0 S U 0 SD dS Q
r r
(xb) (xb)
2 2
y y
2 2
1 2
K ，即
K K
2 2
(xb) (xb)
y y
K
整理得 ( x
1 1
b)
2
y
2
(
2 Kb K
2
1
)
2
y P r+
一系列偏心圆，圆心位置、半径与K有关， 与电轴位置b有关。 ra 2 2 2
31
河北工业大学
《工程电磁场导论》 2) 两平行的同半径、带异号电荷长直圆导线的电场 y
a
a x
电荷在导线表面 不均匀分布 特点：导线内 部E=0，表面等 位面，导线外 ▽2φ=0
b d
b
原来不均匀分布的电荷看作是集中在一条直线上，称为等 效电轴。只需确定等效电轴的位置b ，即可求解两带电平 行圆导线的电场。
河北工业大学
《工程电磁场导论》
镜像法的理论依据是唯一性定理与叠加定理； 用集中分布 的电荷代替未知分布的感应电荷、 极化电荷； 这些集中分布的电荷是假想电荷，称之为镜像 电荷； 镜像电荷必须放在无效区； 镜像电荷的数量、大小（正负）由场域交界面 的衔接条件决定； 不同介质（区域）中的场应由相应的电荷计算 （注意有效区！）。
x
28
河北工业大学
《工程电磁场导论》 2) 两平行的同半径、带异号电荷长直圆导线的电场 y
a
a x
电荷在导线表面 不均匀分布 特点：导线内 部E=0，表面等 位面，导线外 ▽2φ=0
b d
b
原来不均匀分布的电荷看作是集中在一条直线上，称为等 效电轴。只需确定等效电轴的位置b ，即可求解两带电平 行圆导线的电场。
r R 时球面上的感应电荷面
0Er
q 4
0 rR
密度为
R d cos R R b cos 3 3 d ( R 2 b 2 2 Rb cos ) 2 ( R 2 d 2 2 Rd cos ) 2 q (d
上 页 下 页
镜像法场图演示
河北工业大学
《工程电磁场导论》
23
河北工业大学
《工程电磁场导论》
4.圆柱导体之间的镜像(电轴法）
1) 两平行长直带电轴线的电场分布 2) 两平行的同半径、带异号电荷长直圆
导线的电场 3) 两平行的不同半径、带异号电荷长直 圆导线的电场
24
河北工业大学
《工程电磁场导论》 1)两平行长直带电轴线的电场分布
2
1 2
}
既为所给边值问题的解
。
显然，界面上任意点的电位都为零！
3
镜像法
q
0
河北工业大学
《工程电磁场导论》
q
=
0 0
-q
0（上半平面， ,
2
q 点除外） 界上电位为零。
q’=-q
导体平面上及无穷远边
镜像法同样适于线电荷与无限大导电平面
4
电场分布图
河北工业大学
《工程电磁场导论》
2
4 R ( R
2
R )
2 3 2
d
2
2 Rd cos )
球面上的总感应电量为
q in q (d
2
R )
2
4 R
2
R sin d ( 2 )
2
0
(R
d
2
2 Rd cos )
3 2
R d
q
14
思考
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《工程电磁场导论》
下列情况下，如何取镜像电荷？数量、大小？ 1. 金属球不接地； 2. 金属球与电源（U0）相接； 3. 金属球带电量为Q。 4. 点电荷置于金属球壳内，球壳接地；
能否用集中分布的 电荷代替？ 等效代替
2
真空中一对点电荷产生的场 《工程电磁场导论》
上半空间任意点P的电位为
q 4
0
河北工业大学
q P R R’
1
1 1 ' R R
1
0 0
-q
2
q 4
0
{
x
2
y (z h)
2
2
1 2
x
2
y (z h)
R q q d 2 R b d
q q 0 r r
解得
13
河北工业大学
于是球外任意点的电位
q 4
0
为
q 4
0
《工程电磁场导论》
R1
q 4
0
R2
1 R R d R2 1
p
q 4 0 R
q 40 r
q 40 r2
q' 40 r 1
q 4 0 d
E
1 R R ( 2 er er er ) 2 2 1 2 40 r dr1 dr2 q
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点电荷位于不接地导体 球附近的场图
讨论
2.点电荷q 对带有电荷 Q的金属球的镜像。
y P
忽略边缘郊应，且忽略不计 导线半径，先求电位分布。
r
r+
E
2 0 r
x
b
b
Q P Q
E dr E dr
2
0
ln r C 1 ln r C 2
P
2
q
1
2
河北工业大学
《工程电磁场导论》
q
1
q’’ +
2 2
= 1 q’
介质2中的电 场由q”产生
2 2
q'
1 2 1 2
q
q''
1 2
q q q'
镜像法场图演示
11
3.点电荷与导体球面的镜像
p42 R q d
河北工业大学
《工程电磁场导论》
用假想集中电荷-q’代替未 知分布的感应电荷，放在 轴线上。
镜像法场图演示
15
讨论
1.点电荷q 对不接地金属球的镜像。 思路
边值问题
导体球外（除q点）空间：
2 0 const D 球S dS 0
S
上 页
下 页
导体球零电位 则 q'
R d q, b R d
2
球面等位（ q ' 位于球心） 通量为零（ q' , - q '大小相等） 任一点电位 球面电位 任一点场强
0
2
0
P
ln
r r
C
取y轴作为电位参考面，则C=0。
ln
0
2
0
ln
r r
2
(xb) (xb)
2 2
y y
2 2
1 2
25
等φ线
2
2 2
河北工业大学
《工程电磁场导论》
ln
0
2 2
r r
2
2
0
ln
等位线：φ=常数
q b d
-q’
S
q 4R
2
R b d q R q d
上 页 下 页
q 讨论 5.求图示问题的镜像电荷的位置和大小。 思路 边值问题 -q’
2 0 S 0 SD dS q
上半空间（除q点）：
q +q’
-q
2
2
n
，
介质交界面上
9
镜像电荷q’,q”计算公式
当 z 0时
1
q 4 1 R 1 q' 4 1 R 1 '
1 1
河北工业大学
《工程电磁场导论》
q P R 1
2
q’’ R2
当 z 0时
R1’
q’
2
Q
z 0 处有
1 z 2 z
2
q'' 4
导体球外（除q点）空间：
S
U0 Q 4R
+Q
Q 4 πεRU0 Q q
上 页 下 页
讨论 4.点电荷q 在不带电的金属球壳内的镜像。
思路 边值问题
2 0 S const SD dS q
导体球内（除q点）空间：
8
河北工业大学
p43 q
1
2
《工程电磁场导论》
2.点（线）电荷与平面介质交界面的镜像
q
1
q’’ +
2 2
= 1 q’
1 0 , 上半平面（
2
q 点除外）
2
2
0 , 下半平面
2
1
0,
r 时 介质交界面上
1 2,
1
1 n
(x h) y a
h
K K
2 2
1 1
2
x
b
a
2
2 Kb K
2
1
b h
2
b
a
2
b
h
( h b )( h b ) a
反演点
26
E
线
2
0
河北工业大学
《工程电磁场导论》
E
E
ln
x
(xb) (xb)
无限大导体平面附近的点电荷的镜像法
5
直角形导体平面的镜像
一次镜像 -q
0 0 0
河北工业大学
《工程电磁场导论》
q
q q
0 0 0
q
-q
二次镜像
一次镜像
6
有效区
q
0
河北工业大学
《工程电磁场导论》
q
=
0 0
q
q =
-q
q
q
7
-q
镜像法小结
1. 2. 3. 4. 5. 6.
2 2 2
h2
2 2 d a1 a 2 h1 2d 2 2 2 d a 2 a1 h 2 2d
30
河北工业大学
Emax , Emin y
《工程电磁场导论》
xA=h1-a1
a1
A
Emax b b
B a2 x Emin
xB=h2+a2
d
h1 h2
授课计划——chap1-4
重点内容回顾 及疑难解答 位函数方程的通解形式。 测验：静电场分析计算的类型及方法、公式。
河北工业大学
《工程电磁场导论》
1-7
镜像法
理论依据：唯一性定理
教 学 内 容
主 要 知 识 点
1. 点（线）电荷与导体平面的镜像 2. 点（线）电荷与平面介质交界面的镜像
3. 点电荷与导体球面的镜像 4. 圆柱导体之间的镜像(电轴法)
总结
重点 难点 思考题 与作业 备注 预习1-8，1-9 1 镜像电荷的数量、大小的确定； 适用范围（有效区）
1.点电荷与导体平面的镜像
q p41
0
河北工业大学
《工程电磁场导论》
？ =
q
0 0
q’
0（上半平面， ,
2
q’=？
q 点除外） 界上电位为零。
导体平面上及无穷远边
导体平面上有负的感应 电荷，但电荷分布未知。 电荷轴对称分布。
2
R2
根据边界条件，
1 2
和
1
2
当 z 0 时 P 、 Q 两点重合，
q q' q''
R 1 R 1 ' R 2，则有
q'
1 2 1 2
2 2
1
q
2
q q' q''
q''
1 2
q q q'
10
注意有效区
介质1中的电 场由q,q’产生
2 2
y y
2 2
1 2
y P
ex
y
ey3;
k1
2 2 2 2 bxy e x b ( y b x ) e y
x
E 线方程
0
[( x b )
2
y ][( x b )
2
2
y ]
2
b
2
b
2
b
2
dx Ex
2
dy Ey
2
dz Ez
k1
K1 4
2
4
b
x
2
(y
K1 2