三角函数图像与性质课件

sin y x =，x R ∈

π

π- 2π- cos y x =，x R ∈

2

π

32

π

2

π-

32

π

-

1.3.2 三角函数的图像与性质

1．利用单位圆中正弦线作正弦函数图象作法：（几何作法） （1）在直角坐标系的x 轴上任取一点O 1，以

O 1为圆心作单位圆，从⊙O 1与x 轴的交点A 起，把⊙O 1分成12等份，过⊙O 1上各点作x 轴的垂线，可得对应

于0,

,,,,2632

πππ

π等角的正弦线； （2）把x 轴上0~2π这一段分成12等份，

把角x 的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与x 轴上的点x 重合；

（3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象。

因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数sin y x =，[2,2(1)]x k k ππ∈+（k Z ∈）且0k ≠的图象与函数

sin y x =，[0,2]x π∈的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只要将函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象向左、

右平移，就可得到函数sin y x =，x R ∈的图象。 2．余弦函数的图象

由于cos cos()sin[()]sin()22y x x x x ππ==-=--=+，所以余弦函数cos y x =，x R ∈与函数sin()2y x π=+,x R ∈

是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：正弦曲线向左平移2

π个单位得到，即：

3．五点法作图

（1）sin y x =，[0,2]x π∈；

自变量 x

2

π π

32π 2π

函数值

y

1

－1

（2）sin 1y x =+，[0,2]x π∈． 自变量

x

0 2

π π 32

π 2π sin x

1

1-

函数值

y

1

2

1

1

4．正弦、余弦函数的定义域、值域 函 数 sin y x =

cos y x = 函 数 sin y x = cos y x =

定义域

x R ∈

x R ∈

值 域

[1,1]-

[1,1]-

y

x O 32

π

1

2π 2

π

向左平移

2

π

个单位 32

π

2

π

π

2π

5．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ

6．正切函数是不是周期函数？

()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫+=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且， ∴π是tan ,,2y x x R x k k z ππ⎛⎫

=∈≠+∈ ⎪⎝⎭

且的一个周期。

π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。 7．作tan y x =，x ∈⎪

⎫

⎛-

,ππ的图象

说明：

（1（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠

ππ

2

的

图象，称“正切曲线”。

（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2

x k k Z π

π=+

∈所隔开的无穷多支曲线组成的。

8（1）定义域：⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ

； （2）值域：R

观察：当x 从小于()z k k ∈+

2

π

π，2

π+π−→−k x 时，tan x −−

→+∞

当x 从大于

()z k k ∈+ππ

2

，ππ

k x +−→−

2

时，-∞−→−

x tan 。 （3）周期性：π=T ；

（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；

（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。 例1：求下列函数的定义域：

（1）cos()3

y x π

=+

； （2）sin y x = （3）225lgsin y x x =-+

例2：求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么？ （1）cos 1y x =+，x R ∈； （2）sin 2y x =，x R ∈． 例3：求下列函数的值域： （1）21sin 1y x =

+； （2）sin sin 2

x

y x =

+． 例4：求函数sin cos y x x =+的值域。 例5：求函数3cos sin y x x =-的值域。

例6：求函数234sin 4y x cos x =--的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值。 例7：求函数sin cos sin cos y x x x x =++⋅的值域。

例8：如图，有一快以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B 、C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A 、D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？ 例9：已知函数cos3y a b x =-（0b >）的最大值为

32，最小值为1

2

-，求函数4sin3y a bx =-⋅ 的最大值和最小值。 例10：已知函数22sin cos 2y a x a x a b =-++的定义域是[0,]2

π

，值域是[5,1]-，求常数,a b ．

例11：求下列函数的周期：（1）3tan 5y x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

（2）tan 36y x π⎛

⎫

=-

⎪⎝

⎭

例12：求函数⎪⎭

⎫

⎝

⎛-

=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。 例13：用图象求函数tan 3y x =

-的定义域。

例14．“tan 0x >”是“0x >”的 条件。 例15．与函数tan 24y x π⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

的图象不相交的一条直线是（ ） ()2

A x π

=

()2

B x π

=-

()4

C x π

=

()8

D x π

=

例16．函数1tan y x =-的定义域是（ ）．

A

D

O

C

B

θ