高等数学偏导数第五节隐函数求导题库.
5 第五节 隐函数的求导公式 (定理 两个方程确定两个一元隐函数 定理 两个方程确定两个二元隐函数
x 2 y 2 z 2 1, z xy
确定了
1 x2 1 x2 和 , 它们是连续函数, 且有连续 z x 1 x2 1 x2 2x
1 x
3 2 2
1 x
2
, z x
x4 2x2 1
1 x
3 2 2
, 满足
2
1 x
4
解
x
47 6 7 47 5, y 2 . 3 4 3 4 7 6 7 6
例 (补) (1) (2)
x 2 y 2 z 2 1, 设 求 z xy.
y x 和 zx ; x 2 y 2 z 2 1, 在点 0, 1, 0 附近所确定的隐 z xy
x 2 y 2 z 2 1, z xy
在点 P x0 , y0 , z0 的某一邻域
内能够唯一确定一对连续且有连续导数的函数 y y x 和
z z x , 它们满足 y0 y x0 , z0 z x0 . 在 x 2 y 2 z 2 1 的两边对 x 求导, 则 x yy x zz x 0 , 从而 yy x zz x x . 在 z xy 的两边对 x 求导, 则 z x y xy x , 从而 xy x z x y .
x0 , y0 , z0
2 y 2z x 1 x , y
0 0 , z0
2 y0 2 x0 z0 0
(这等价于 x0 , y0 , z0 1, 0, 0 , 1, 0, 0 . 理由是: 因
x0 y0 z0 0 , 故 2 y0 2 x0 z0 2 2
第7-5节(隐函数的求导法则、偏导数的几
切线方程为
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = , 1 φ ′ ( x 0 ) ψ ′( x 0 )
法平面方程为
( x − x0 ) + φ ′( x0 )( y − y0 ) + ψ ′( x0 )( z − z0 ) = 0.
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将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu = 2 , 2 ∂y x + y ∂v xu + yv =− 2 . 2 x +y ∂y
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三、偏导数的几何应用之 空间曲线的切线与法平面
⎧ x = φ (t ) ⎪ 设空间曲线的方程 ⎨ y = ψ ( t ) ⎪ z = ω (t ) ⎩ (1)
例6
求曲线 Γ : x = ∫0 e cos udu ， y = 2 sin t
u
3t
t
+ cos t , z = 1 + e 在 t = 0处的切线和法平面方程.
解 当 t = 0时， x = 0, y = 1, z = 2,
′ = e t cos t , y′ = 2 cos t − sin t , z′ = 3e 3t , x
⇒ x′(0) = 1,
y ′ ( 0 ) = 2, z ′ ( 0 ) = 3,
x −0 y −1 z − 2 切线方程 = = , 1 2 3 法平面方程 x + 2( y − 1) + 3( z − 2) = 0,
即 x + 2 y + 3 z − 8 = 0.
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特殊地：
⎧ y = φ ( x) , 1.空间曲线方程为 ⎨ ⎩z = ψ ( x)
9-5 隐函数的求导公式
v v ( x , y ) ，它们满足条件 u0 u( x0 , y0 ) , v0 v ( x0 , y0 ),
并有
Fx Fv
u 1 ( F , G ) G x Gv , x J ( x, v ) Fu Fv G u Gv
v 1 ( F , G ) Fu Fx x J ( u, x ) Gu G x
一个具有连续导数的y f ( x ), 满足y0 f ( x0 )
且
dy Fx dx Fy
返回
y dy 例 2 已知 ln x y arctan , 求 x dx 解 令 F ( x , y ) 1 ln( x 2 y 2 ) arctan y 2 x y 2 1 2x x x y Fx ( x , y ) 2 2 x2 y2 x2 y2 y 1 2 x 1 1 2y y x x Fy ( x , y ) 2 2 2 2 2x y x y2 y 1 2 x dy Fx x y y x dx Fy
u ? x
u ? y
v ? x
v ? y
返回
隐函数存在定理 3 设 F ( x , y , u, v ) 、G ( x , y , u, v ) 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 F ( x0 , y0 ,
例5
u v u x x y x 0 解 方程两侧同时关于x 求导得 , y u v x v 0 v u x x x y u x x 即 , y u x v v x x
xu yv 0 yu xv 1
高等数学@9.5隐函数的求导法则
x x
x 2 z
2z x 2
(2 z) x z x
(2 z)2
(2 z) x x
2 z (2 z)2
(2 z)2 x2 (2 z)3 .
例3 设 x =x(y,z)、 y =y(x,z)、 z =z(x,y) 都是由方程 F(x,y,z)=0所确定的具有连续偏导数的函数，
Fz
y) z
x z x
x
y
z y
z Fz
y ( y) zz
Fz
zFz Fz
z
练习题
1.求方程 z3 3xyz a3 确定隐函数z=z(x,y) 的偏导数
2. 设 z=z(x,y) 是由方程 f (x+y, y+z, z+x)=0
所确定的隐函数，求 z , z x y
解 设 F x y z, G x2 y2 z2 1
Fx 1, Fy 1, Fz 1, Gx 2x, Gy 2 y, Gz 2z,
J
Fx Gx
Fy Gy
1
2x
1 2y
2( y x)
dx 1 Fz dz J Gz
Fy Gy
11 J 2z
F dx F dy F dz 0, x y z
则方程F(x,y,z)=0在该邻域 内恒能唯 0,
连续且具有连续偏导数的
dz Fx dx Fy dy
函数 z = f (x, y)它满足条件
Fz
Fz
z0=f(x0, y0), 并有
1 J
x y
u v
vx x2
隐函数
两边对 x 求偏导
2z x ( ) 2 x x 2 z
D8_5隐函数求导
(2 z )2 x 2 (2 z )3
12
例3. 设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程
解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
u y u xv 2 y x y2
由题设 J
x y y x
x2 y2 0
故有
u 1 u y x u yv 2 x J v x y2 x
v xu yv 2 y x y2
v 1 x J
xv yu 2 x y2
第五节 隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
第八章
D8_5隐函数求导
1
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性
及求导方法问题 .
D8_5隐函数求导
2
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F ( x 0 , y0 ) 0 ; ③ F y ( x 0 , y0 ) 0
则方程 导数
的某邻域内可唯一确定一个 并有连续
D8_5隐函数求导 19
例4. 设 x u y v 0 , y u x v
u v x y u x x u v y x v x x
u u v v 1, 求 x , y , x , y .
9-5隐函数的求导公式
F ( x , f ( x )) 0 为 x 的一元函数 F
x
说明 求一元隐函数的导数的方法有两种： 1°等式两边同时对x（y）求导； 2。利用公式求（偏）导
Fx Gx u 1 (F ,G ) Fu x J ( x, v ) Gu Fv Gv , Fv Gv
Fu Fx v 1 (F ,G ) Gu G x x J ( u, x )
Fy u 1 (F ,G ) Gy y J ( y, v ) Fv Gv
2 2
请你动手
设 xy 2 e x sin y 确定 y 与 x dy 的函数,用两种方法求 dx
令F（x，y） xy2 e x sin y
Fx y 2 e x
Fy 2 xy cos y
dy Fx y2 e x dx Fy cos y 2 xy
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
b1 D1 b2 a12 , a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
隐函数存在定理 3 设 F ( x , y , u, v ) 、G ( x , y , u, v ) 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v 0 ) 的 某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 F ( x0 , y0 , u0 , v 0 ) 0 ,G ( x0 , y0 , u0 , v 0 ) 0 ，且偏导数 所组成的函数行列式（或称雅可比式） F F ( F , G ) u v J G G ( u, v ) u v
第五节隐函数的求导
Fx Fz 或 yx , yz Fy Fy
7
例3（1） 解 设 则
z tanx yz 2
xy z
F x, y, z z tanx yz 2 xy z
2 xy z
z z ，求 , x y
z Fx sec2 x yz 2 xy （ln 2） y
则 Fx 2 x, Fy 2 y, Fz 2 z 4 z x z y , x 2 z y 2 z
2 z x 2 3 2 z 2 z 2 2 2 z y zy 2 z y2 z y 3 2 2 y y 2 z 2 z 2 z
y x
解 设
F x, y x y
y
x
则
Fx yx y 1 y x ln y
Fy x ln x xy
y x 1
所以
Fx yx y ln y y y x 1 Fy x ln x xy
x
6
y 1
定理2 设函数F x, y, z 在点 x0 , y0 , z0 的某一邻域内具有连续 偏导数，且F x0 , y0 , z0 0, Fz x0 , y0 , z0 0, 则方程F x, y, z 0 在点 x0 , y0 , z0 的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数的函 Fy Fx z z 数z f x, y , 它满足z0 f x0 , y0 , 并且 , x Fz y Fz
z x 2 x x 2 z
2
2 z x zx
2
2
12
例6 设u f x, y, z 具有连续的一阶偏导数，又函数y y x ,
隐函数的求导公式
把 x看成z, y 的函数对y 求偏导数得
0
f
u
(
x y
1)
fv
( xz
yz x), y
整理得 x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看成 x, z的函数对z 求偏导数得
1
f
u
(
y z
1)
fv ( xy
xz y), z
整理得
y 1 fu xyfv . z fu xzfv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内有对各个变量的连 续偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 )
0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )不等于零，则方程组 F ( x, y,u,v) 0、 G( x, y,u,v) 0
u f (x, y)
六、设函数u( x)由方程组 g( x, y, z) 0所确定,
h( x, z) 0
且g 0, h 0,求 du .( f , g, h均可微)
y z
dx
七、设 y f ( x, t), 而t 是由方程 F ( x, y, t) 0 所确定的
5隐函数的求导法
Fx
Fz
z x
0
Fxx
2Fxz
z x
Fzz
(
z x
)2
Fz
2z x 2
0
解得：
2z x2
1 Fz3
[ Fxx Fz2
2Fxz Fx Fz
Fzz Fx2 ]
两种方法相比，法二较简便，因为可避免
商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数 时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入 即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。`
z dy y
z x F1
y F2 (F1dxzx F2dFFyxz )
解法2 微分法. 对方程两边求微分:
F1
d(
x) z
F2
d(
y) z
0
F1
(
zdx z2
xdz)
F2
(
zd
y z2
ydz)
0
xF1 yF2 z2
dz
F1dx F2 dy z
sin
关于x 求导，得
1 0
rx rx
cos sin
r( sin ) r cos x
x
,
即scions
rx rx
r( sin ) x r cos x 0
1 ,
1 r sin cos r sin
rx 解 得
Hale Waihona Puke 并有z Fx ，z Fy .
x Fz
高等数学第8章五节隐函数的求导公式最终
3
引例:已知
e
x y
xy 0 确定 y y( x ), 求 y( x )
e
x y
(1 y) (y xy) 0
注意此方程能确定一个一元函数，是在y可导的前 提下进行的． 并不一定都能确定一元 函数．
10
练习P102 2
y dy 已知 ln x y arctan , 求 . x dx
2 2
解
公式法
令 F ( x , y ) ln x 2 y 2 arctan y , x x y y x , Fy ( x , y ) 2 , 则 Fx ( x , y ) 2 2 2 x y x y x y dy Fx . y x dx Fy
x2 y2 z2 解 法一 公式法 令 F ( x , y , z ) 2 2 2 1 a b c 2x 2z 则 Fx 2 , F y 2 y , Fz a b2 c2
z c x 2 , x a z
2
c y z 2 b z y
2
( z 0)
在求Fx , Fy, Fz时, 将F(x, y, z)看作是 x, y, z的三个自变量的函数.
能确定
dy 一个隐函数y = f (x), 并求 . dx
x y 记 证 F ( x, y ) xy e e , 则
Fx ( x , y ) y e x 与Fy ( x , y ) x e y
隐函数存在定理1
隐函数 y = f (x), 且
x dy Fx ye . y dx Fy xe
dy Fx ( x , y ) dy Fx . 或简写: dx Fy ( x , y ) dx Fy
高等数学 第八章 第5节 隐函数的求导公式((中央财经大学))
一、一个方程的情形二、方程组的情形三、小结三、小结 思考题思考题第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式注意, 隐函数不一定都能显化.注意, 隐函数不一定都能显化.一. 一元函数的隐函数的求导法利用多元函数的偏导数求一元函数的隐函数导数的公式二. 由一个方程确定的隐函数的求导法由隐函数存在定理的条件及多元函数求导方法雅可比行列式设⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 确定函数,)(x z z =求,d d x y 。
xz d d ,)(x y y = 想想, 怎么做 ？想想, 怎么做 ？方程组,,1C G F ∈方程组中每个方程两边关于运用克莱满法则解此二元一次方程组运用克莱满法则解此二元一次方程组我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式(之一).我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式(之一).设⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 确定函数求方程组想想, 怎么做 ？想想, 怎么做 ？,),(y x u u =,),(y x v v =,x u ∂∂,y u ∂∂,x v ∂∂。
yv∂∂,,1C G F ∈利用问题 1 的结论 , 你可能已经知道应该怎么做了 .分别将x 或y 看成常数依葫芦画瓢哦！想想, 怎么做？想想, 怎么做？请自己动手做想想, 怎么做？想想, 怎么做？对方程组中的每个方程关于变量 x 求导, 然后解关于xv x u ∂∂∂∂ 和的二元一次方程组.将 y 看成常数 将 y 看成常数将 y 看成常数 将 y 看成常数, 0),(),( 时当≠∂∂v u G F),(),(),(),( v u G F v x G F xu ∂∂∂∂−=∂∂将 y 看成常数 将 y 看成常数, 0),(),( 时当≠∂∂v u G F),(),(),(),( v u G F x u G F xv ∂∂∂∂−=∂∂将 x 看成常数 将 x 看成常数对方程组中的每个方程关于变量 y 求导, 然后解关于yv y u ∂∂∂∂ 和的二元一次方程组.将 x 看成常数 将 x 看成常数, 0),(),( 时当≠∂∂v u G F),(),(),(),( v u G F v y G F yu ∂∂∂∂−=∂∂将 x 看成常数 将 x 看成常数, 0),(),( 时当≠∂∂v u G F),(),(),(),( v u G F y u G F yv ∂∂∂∂−=∂∂例4设{2=+−xvu确定函数−=∂∂xu14+uvv2141+=∂∂uv x v 141+=∂∂uv y u 142+=∂∂uv u y v建议!关于隐函数求导, 关键在于理解建立公式的过程, 而不是死记求导公式.谢谢大家！。
高数第五节 隐函数的求导方法07-05
第五节隐函数的求导方法一、一个方程的情形二、方程组的情形一、一个方程的情形设函数),(y x F 满足：隐函数的求导公式则方程 0),(=y x F 在点P 0的某邻域内能唯一确定一个具有连续导数的函数)(x f y =，隐函数存在定理（1）0),(00=y x F ，（2）在000(,)P x y 的某邻域内有连续偏导数，（3）0),(00≠y x F y ，并有：。
例１设方程0122=−+y x 确定隐函数)(x f y =，求(0)y ′和(0)y ′′解令1),(22−+=y x y x F 则,2x F x =,2y F y =x yF dy dx F =−,00==x dx dy,yx −=222d y x y x dx y yy ′ −=−=− ′2yy x x y−−−=,13y−=22011,x y d y dx===−22011x y d y dx==−=(,,)0(,)F x y z z z x y =假设由方程＝确定隐函数，推广方程两边对x类似处理其他的隐函数。
解1令则,4),,(222zzyxzyxF−++=,2xFx =,42−=zFz2xzF x,Fzx z=−=∂−∂222zx(z)x(z)∂=∂−+−2)2(2)2(zzxxz−−⋅+−=.)2()2(322zxz−+−=例3设04222=−++zzyx，求22xz∂∂.解2方程两边对x 求偏导( y 看成常数)：两边再次求偏导（也可以按照解1的方式）：.)2()2(322z x z −+−=20240z z x z x x∂∂++−=∂∂22222240z z (x z )x x z zx∂∂∂∂∂∂+⋅+−=∂∂212()z z x ∂∂+=−例4 设),(xyz z y x f z ++=，求 x z ∂∂，y x ∂∂，zy∂∂解令,z y x u ++=,xyz v =则有方程),,(v u f z=)1(xz f u ∂∂+⋅=),(x z xy yz f v ∂∂+⋅+整理得,1vu vu xyf f yzf f −−+=方程两边对x 求偏导：(,)z z x y =整理得,v u vu yzf f xzf f ++−=)1(1+∂∂⋅=zy f u ),(zyxz xy f v ∂∂+⋅+整理得.1v u vu xzf f xyf f +−−=)1(0+∂⋅=xf u ),(y x yz xz f v ∂∂+⋅+方程两边对y 求偏导：(,)x x y z =方程两边对z 求偏导：(,)y y z x =二、方程组的情形举例解方程组两边00u v u x y x xu v y v x xx ∂∂+−= ∂∂∂∂ ++=∂∂ 例5假设由方程组01xu yv yu xv −=+= 确定隐函数u u v vu u(x,y ),v v(x,y ).,,,.x y x y∂∂∂∂==∂∂∂∂求对x 求偏导：(y 看成常数)22xu yv,x yu x +∂=−+∂22yu xv,x v x y∂−=∂+(1)(2)x y ×+×得：(1)(2)y x ×−×得：uv x y u x x,u v y x v xx ∂∂ −=− ∂∂⇒∂∂ +=− ∂∂00u v x v y y y u v u y x y y ∂∂ −−= ∂∂∂∂ ++= ∂∂ uv x y v yy ,u v y x u yy ∂∂ −= ∂∂ ⇒ ∂∂ +=− ∂∂ 方程组两边对y 求偏导:22xv yu,x u y y∂−=∂+22xu yv,x yv y +∂=−+∂(1)(2)x y ×+×得：(1)(2)y x ×−×得：A)两边求偏导；B)用公式：隐函数的求导法则:(1)()0:x yF dyF x,y =dx F =−三、小结(2)()0:y x z zF F zz F x,y,z =,=x F y F ∂∂=−−∂∂例2 已知x yy x arctan ln 22=+，求dxdy解1令则,arctan ln ),(22xyy x y x F −+=,),(22y x y x y x F x ++=,),(22yx xy y x F y +−=y x F F dx dy −=.xy yx −+−=解2方程两边对x 求导：22221112221xy y(x yy ),y x y x ()x′−′⋅⋅+=⋅++dy dx∴.x y yx −+−=2222x yy xy y,x y x y′′+−⇒=++xy yy x y,′′⇒−=+已知)(z yz x ϕ=，其中ϕ为可微函数，求?=∂∂+∂∂yz y x z x 思考题思考题解答记)(),,(zyz x z y x F ϕ−=,则zF x 1=，,1)(zz y F y ⋅′−=ϕ,)()(22z y z y z x F z −⋅′−−=ϕ,)(zy x z F F x z z x ϕ′−=−=∂∂,)()(z y y x z y z F F yz z y ϕϕ′−′−=−=∂∂于是z yzy x z x =∂∂+∂∂.。
高等数学偏导数第五节隐函数求导题库
【090501】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由z x e t t xy+=-⎰2d 所确定，试求∂∂∂∂z x z y,。
【试题答案及评分标准】解：原式两边分别对x y ,求偏导得∂∂∂∂zxye zxye xy xy +==---1122()()。
（6分）∂∂zyxe xy =-()2 （10分）【090502】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）。
【试题答案及评分标准】 解：原式两边对x 求导得yz x x z xz y ∂∂∂∂+++=0 则∂∂z x z y y x=-++（6分）同理可得：∂∂z y z xy x=-++ （10分）也可：∂∂∂∂z x F F z y y x z y F F z x y xx y y x =-=-++=-=-++【090503】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由sin()y z e x z -+=-2所确定，试求∂∂∂∂z x zy,。
【试题答案及评分标准】解：原式sin()y z e x y-+=-2两边求微分得cos()(d d )(d d )y z y z e x z x z --+--= 0d d cos()d cos()z e x y z ye y z x z x z=+-+--- （6分）则∂∂z x e e y z x zx z=+---cos()（8分）∂∂z y y z e y z x z=-+--cos()cos()（10分）【090504】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设y y x z =(,)由方程e e e xyz x y z ++=3所确定，试求∂∂∂∂y x yz,。
第五节隐函数的求导公式
第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。
隐函数存在定理1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。
则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx FF dxdy -= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。
将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内 0'≠y F于是得''yx FF dxdy -=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。
高等数学偏导数第五节隐函数求导题库.
【090501 】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】 【隐函数的求导】【试题答案及评分标准】解：原式两边分别对 x, y 求偏导得(6分)【090502】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设函数z z(x, y)由yz zx xy 3所确定，试求Y,_Z (其中x y 0)。
x y【试题答案及评分标准】解：原式sin( y z) e x y 2两边求微分得解：原式两边对z y — x x 求导得zy 0x — xz 则—z y (6分)xy xzz x 同理可得：(10 7)')yy x也可：z F x z _y x F y y x z F y z x yF xy x【090503】【计算题】 ■0.5】【隐函数的求导公式】 【隐函数的求导】【试题答案及评分标准】【试题内容】设函数2所确定，试求足二。
x y【试题内容】设函数 z z(x, y)由z xxyet 2dt 所确定，试求xe2(xy)(10 分)z z(x,y)由 sin(y z) e x zcos(y z)(d y dz)x ze (d x d z) = 0dze x z d x cos(y z)d y e x zcos(y z)(6分)将x 1 , y 1,z 0代入上式得x zz ex e x z cos （y z ）（8分）z cos （ y z ） y e x z cos （y z ）（10 分）【090504】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设y y(x,z)由方程e x e y e z 3xyz 所确定，试求 业，业。
z【试题答案及评分标准】y eyxezy e ze y 3yz 3xz（5分）【090505】 3xy 3xz（10 分）【计算题】【中等 0.5】【隐函数的求导公式】 【试题内容】设z z(x, y)由方程23y z xy2z 所确定，试求z1 yy 1x3z 2 23z 2 2(5力) z 2y2x x22y（10分）y 3z 223z 22【090506】【试题内容】设z z(x, y)由2z 【中等0.5】【隐函数的求导公式】 cost 2 d t 所确定，试求 【试题答案及评分标准】解:2— cos （z y x ）2x （4分）cos （z y x ）2 cos （z y x ）2（10 分）【090507】【计算题】【中等 0.5】 【隐函数的求导公式】 【隐函数的求导】 【试题内容】设z z(x, y) 由方程e z2 3 一 …、 一-xy z 1所确定，试求z x（1,1,0），zy （I ,I ,0）°【试题答案及评分标准】解：方程两边求微分得e z d z y 2z 3d x3 ,2xyz d y2 2 .3xy z d z 0（6分）x【试题答案及评分标【计算题】d z 0(8 分)故 z x (1,1,0) 0,zy (1,1,0)(1。
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【090501】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由z x e t t xy+=-⎰2d 所确定，试求∂∂∂∂z x z y,。
【试题答案及评分标准】解：原式两边分别对x y ,求偏导得∂∂∂∂zx ye zxye xy xy +==---1122()()。
（6分）∂∂zyxe xy =-()2 （10分）【090502】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）。
【试题答案及评分标准】 解：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0 则∂∂z x z y y x=-++（6分）同理可得：∂∂z y z xy x=-++ （10分）也可：∂∂∂∂z x F F z y y x z y F F z x y xx y y x =-=-++=-=-++【090503】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由sin()y z e x z-+=-2所确定，试求∂∂∂∂z x zy,。
【试题答案及评分标准】解：原式sin()y z e x y-+=-2两边求微分得cos()(d d )(d d )y z y z e x z x z --+--= 0d d cos()d cos()z e x y z ye y z x z x z=+-+--- （6分）则∂∂z x e e y z x zx z=+---cos()（8分）∂∂z y y z e y z x z =-+--cos()cos()（10分）【090504】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设y y x z =(,)由方程e e e xyz xyz++=3所确定，试求∂∂∂∂y x yz,。
【试题答案及评分标准】∂∂y x e yz e xz x y =---33 （5分）∂∂y z e xy e xzz y =---33 （10分）【090505】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程x y z xy z ++-=232所确定，试求∂∂∂∂z x zy,。
【试题答案及评分标准】∂∂z x y z y z =---=--13213222（5分） ∂∂z y y x z x y z =---=--23223222 （10分）【090506】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由2220z y t t z y x+=+-⎰cos d 所确定，试求∂∂zx。
【试题答案及评分标准】解：212∂∂∂∂z xz y x z x =+--⎛⎝ ⎫⎭⎪cos()（4分）则 ∂∂z x z y x z y x =+-+--cos()cos()222（10分）【090507】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程e xy z z-=231所确定，试求z z x y(,,)(,,),110110。
【试题答案及评分标准】解：方程两边求微分得e z y z x xyz y xy z z z d d d d ---=23322230（6分）将x =1，y z ==10,代入上式得d z =0（8分）故z z xy(,,)(,,),11011000==（10分）【090508】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由x e z yz =+2所确定，试求d z 。
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【试题答案及评分标准】∂∂z x y x z x z y z =-+++-sin()sin()cos() （5分）∂∂z y x y z x z y z =+-++-cos()sin()cos()（10分）【090510】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设函数z z x y =(,)由x z y z y z 321+++++=sin()ln()所确定，求∂∂zx。
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【试题答案及评分标准】2222x x x y y x z z z d (d d )d d ++-= 2122()d d (d d )z z x x x y y x +=++（6分）∂∂z x x yz =++1（8分） ∂∂z y x z =+1（10分）【090512】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设函数z z x y =(,)由z x y e z=++-1ln()所确定，求z z x y (,),(,)1010。
【试题答案及评分标准】当x y ==10,时，z e z =-1，则z =0（2分）z x ye z z x z xx =+-=11012(,)（6分）z x ye z z y z yy =+-=11012(,)（10分） 【090513】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设u xyz =，其中z z x y =(,)由方程ze e zx y=+所确定，求∂∂ux。
【试题答案及评分标准】∂∂∂∂u x yz xy zx =+（4分）e z x ze z xe z z x y ∂∂∂∂+=+ ∂∂z x e e z x y z =++()1（8分）∂∂u x yz xye e z x yz =+++()1 （10分）【090514】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程z e x yz=+所确定，求∂∂z x。
【试题答案及评分标准】ln z x yz=+z z x y ln =+（3分） []∂∂zx z ln +=11 （8分） ∂∂z x z=+11ln （10分）【090515】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设z z x y =(,)由方程sin()ln()xz z x y x +-=+2所确定，求z y (,)00。
【试题答案及评分标准】由原方程得：当x y ==00,时，z =1将x =0代入原方程得：ln z y =（4分） z y zy (,)011⋅=（8分）z y (,)001=（10分）【090516】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程e y x yz xz2+=ln cos()所确定，求z x (,)10。
【试题答案及评分标准】当x y ==10,时，z =0（2分） 22e z xz yxyz yz xz x x ()sin()++=- （8分）2100z x (,)=z x (,)100=（10分）【090517】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设y y x =()由方程xy x y ++=ln()1所确定，求 xyd d 。
【试题答案及评分标准】d d ()()y x y x yx x yy x y x x y =-++++=-++++1111（10分）【090518】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程x y z e z++=所确定，求全微分d z 。
【试题答案及评分标准】【090519】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】【试题答案及评分标准】d d d d x y ze z z ++=（8分） d d d z e x e y z z=-+-1111（10分）【090520】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程xy z z sin =2所确定，求全微分d z 。
【试题答案及评分标准】y z x x z y xy z z z sin d sin d cos d d ++=2 （7分）d sin d sin d cos z y z x x z yxy z=+-2（10分）【090521】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程z z xy 222+=ln 所确定，求∂∂∂∂z x zy,。
【试题答案及评分标准】2222z z zz y x xy y d d d d +=+21222()d d d z z z y x xy y +=+（6分）∂∂z x zy z =+2221()（8分）∂∂z y xyz z=+12 （10分）【090522】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程xz xyz -=ln()1所确定，求∂∂∂∂z x zy,。
【试题答案及评分标准】x z z x xy z xz y yz xxyzd d d d d +-++=0d ()d d z x z x y y x z=-+-111（8分）∂∂z x z x=- （9分）∂∂z y z y zx =-()1 （10分）【090523】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程y z zx=ln 所确定，求 y x z z ,。