MBA数学必备公式(打印版)

MBA联考数学基本概念和必备公式
（一）初等数学部分
一、绝对值
1、非负性：即|a| ≥ 0，任何实数a 的绝对值非负。

归纳：所有非负性的变量
（1） 正的偶数次方（根式） 0,,,,41
214
2≥a a a a
（2） 负的偶数次方（根式） 1124
2
4
,,,,0a a a a
-
-
-->
（3） 指数函数 a x
(a > 0且a ≠1)>0
考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。

2、三角不等式，即|a| - |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| 左边等号成立的条件：ab ≤ 0且|a| ≥ |b|
右边等号成立的条件：ab ≥ 0
3、 要求会画绝对值图像 二、比和比例
1、%(1%)a
p a p −−−
→+原值增长率现值 %)1(%p a p a
-−−
→−现值下降率原值 %%%%p p p p ⋅=⇔=-⇔
乙甲，甲是乙的乙
乙
甲注意：甲比乙大 2、 合分比定理：d b c
a m md
b m
c a
d c b a ±±=±±==1
等比定理：.a c e a c e a b d f b d f b
++==⇒=++ 3、增减性
1>b a b a m b m a <++ (m>0) , 01a b << b
a m
b m a >++ (m>0) 4、 注意本部分的应用题 三、平均值
1、当n x x x ，⋯⋯,,21为n 个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即
),1 0( ·2121n i x x x x n
x x x i n
n n ，＝＞＋＋＋⋯⋯≥⋯
当且仅当时，等号成立＝n x x x ⋯⋯==21。

2、 2ab b a ≥＋⎪⎩
⎪⎨⎧>>等号能成立
另一端是常数，0
0b a
3、2(0)a b
ab ab b a
≥>＋
，同号 4、n 个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这n 个正数相等，且等于算术平均值。

四、方程
1、判别式（a, b, c ∈R ）
⎪⎩⎪
⎨⎧<∆=∆>∆-=∆无实根两个相等的实根两个不相等的实根00042ac b
2、图像与根的关系
3、根与系数的关系
x 1, x 2 是方程ax 2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)的两个根，则
4、韦达定理的应用
利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数值来： （1）
12
1212
11x x x x x x ++= （2）21212
222
1212()211()
x x x x x x x x +-+= （3）21221221214)()(x x x x x x x x -+=-=
-
（4）332212121121()()x x x x x x x x +=+-+]3))[((212
2121x x x x x x -++=
5、要注意结合图像来快速解题 五、不等式
1、提示：一元二次不等式的解，也可根据二次函数c bx ax y ++=2
的图像求解。

2、注意对任意x 都成立的情况
（1）2
0ax bx c ++＞对任意x 都成立，则有：a>0且△< 0
x 1，x 2是方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0) 的两根
（2）ax 2
+ bx + c<0对任意x 都成立，则有：a<0且△< 0 3、要会根据不等式解集特点来判断不等式系数的特点 六、二项式 1、
r n r
n n C C -=，即：与首末等距的两项的二项式系数相等
2、0
1
2n
n n n n C C C +++=，即：展开式各项二项式系数之和为2n
3、常用计算公式
(1)(1)
(1)n
m n m m m n p =⋅--+有个
(2)01m
p ==1规定！
(3)!
n n
m
m n p
C =
(1)
(1)
!
m m m n n ⋅--+=
(4)1n
n n C C == 11
(5)n n n n C C -== 2
2
(1)
(6)2
n n n n n C C --==
4、通项公式(△) 11(0,1,2
,)k n k k
k n k T C a b
k n -++=⋅=第项为
5、展开式系数
21
2(1)n n n
n C
+=n
当为偶数时，展开式共有(n+1)项(奇数)，则中间项第(+1)项
2二项式系数最大，其为T
11
221322
(2)n n n n n n n C C -+++==n+1
当为奇数时，展开式共有(n+1)项(偶数)，则中间两项，即第
项2
n+1n+3和第(+1=)项的二项式系数最大，其为T 或T 22
5、 内容列表归纳如下：
1n n C ab -+
七、数列
121()
.n n n
n n n n i
i a S a S S a a a a =∆=++
+=∑1、与的关系 (1)已知，求 公式：
11
1
(2) (2)n n n n n a S S a a S S n =⎧⎨
≥⎩－已知，求＝－
(1)()()11 ()()()
1,. (,)(,)a a n d a n k d nd a d n k f x xd a d a f n n a a
n m
a a d m a n a d m n m n n m
=+-=+-=+-=+-⇒=--2、等差数列（核心）
(1)通项
比如：已知及求与共线
斜率＝
(2)()n n S 前项和梯形面积
211121212(1) ()2222()22
()(),()22
(1) (2) 23, 4
2
(3n n n n n a a n n d d
S n na d n a n d d S n a n
d d
n f x x a x S f n d
S n n d +-⨯=+=⋅+-⋅+-=+-=-=＝
＝抽象成关于的二次函数函数的特点：无常数项，即过原点
二次项系数为如＝)d 开口方向由决定
3.(1),n
m n k t a a a a a m n k t +=++=+重要公式及性质通项（等差数列）当时成立
(2) 1232n S n S S S S S n n n n n n 前项和性质
为等差数列前项和，则，－，－，仍为等差数列
21 2 n n 21
121
(21)212121
2212112121
(21)2a S k k a b n S T n n b T k
k a a k k a a a a S k k k k b b b b b b T k k k k k k -=
-+-⋅-+--====++---⋅-等差数列｛｝和｛｝的前项和分别用和表示，则分析：
1
11140(1) ()(1)2 11n n k
n k n k n n n a a q
a q
a a n k d
a a q
a q n S q q
--===+---==
--、等比数列
注意：等比数列中任一个元素不为通项：()前项项和公式：
1(3) q 1q 0 1S
a S q ≠=
-所有项和对于无穷等比递缩（＜，）数列，所有项和为
5. 1m n k t
m n k t a a a a +=+⋅=⋅等比数列性质
()通项性质：当时，则
1261
,(1)
1111
122334(1)
11111111(1)()()()12233411
n n
n n a S n n S a a a n n n n n =
+=+++=++++
⋅⋅⋅⋅+=-+-+-++-=-
++、特殊数列求和。

（差分求和法）求
（二）微积分部分
一、函数、极限、连续
1、单调性：（注意严格单调与单调的区别）
设有函数y = f(x)，x ∈D ，若对于D 中任意两点x 1，x 2(x 1 < x 2)，都有f(x 1) ≤ f(x 2)(或f(x 1) ≥ f(x 2))，则称函数f(x)在D 上单调上升(或单调下降)。

若上述不等号为严格不等号“<”(或“>”)，则称函数f(x)在D 上严格单调上升(或严格单调下降)。

2、奇偶性：
（1）定义：
设函数y = f(x)的定义域D 关于原点O 对称，若对于D 中的任一个x ，都有 f(– x ) = – f(x) (或f(– x) = f(x))，则称函数f(x)为奇函数(或偶函数)。

（2）图像特点：
奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y 轴对称，函数y ＝0既是奇函数，也是偶函数。

3、，按以下方法处理：，只要符合遇到"1")()(∞
x g x f
()
()
lim ()
lim[1(()1)]
g x g x x x x x f x f x →→=+-)(]1)([1
)(1
)]
1)((1[lim 0
x g x f x f x x x f ⋅-⋅-→-+=
0[()1]()
1
lim (()1)()
()1lim [1(()1)]x x f x g x f x g x f x x x f x e
→-⋅--→⎧⎫⎪⎪=+-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
)
()1)((lim )
(0
)
(lim x g x f x g x x x x e
x f -→→=公式：
4、常用等价无穷小：当x 0时，有
e x －1～x ln(1＋x)～x (1＋x)n －1～nx
引申：当α(x) →0时，ln(1＋α(x))～e α(x)－1～α(x)，(1＋α(x))n －1～n·α(x)
5、当x →+∞时，增长速度由慢到快排列：lnx ，x α，αx ，x x
6、0
00()lim ()()x x f x x f x f x →=在点连续定义：
7、闭区间上连续函数的性质
（1）最值定理
一个闭区间函数一定在某一点，达到最大值，在某一点达到最小值。

（2）零值定理
设f(x) ∈C([a,b])，且f(a).f(b)<0，0)())(.(=∈∃ξξf b a ，使开区间。

注意：零点定理只能说明存在性不能说明唯一性。

应用：f(x) = 0 是一个方程，证明它在某一个区间上一定有根。

二、一元函数微分学 1、导数的数学定义式
)
()
(')
()(lim
0000
可导用于抽象函数判定是否x f x
x f x x f x =∆-∆+→∆
000
()()
lim
'()
()x x f x f x f x x x →-=-用于表达式给定的具体函数，求导数值
2、可导与连续的关系
存在
)(0x f '连续在0)(x x x f =
3、左右导数
000)()(lim )(0
x x x f x f x f x x --='-
→-左导数：x x f x x f x ∆-∆+=-→∆)
()(lim 000 000)()(lim )(0
x x x f x f x f x x --='+
→+右导数：x
x f x x f x ∆-∆+=+→∆)()(lim 000 A x f x f A x f ==⇔=+-)()()(0'
0'0'结论：
4、导数的几何意义
设点M 0(x 0 , f(x 0))是曲线y = f(x)上的上点，则函数f(x)在x 0点处的导数f ’(x 0)正好是曲线y=f(x)过M 0点的切线的斜率k ，这就是导数的几何意义。

（1） 切线方程'
000()()()y f x x x f x =-+，00'
01
()()()
y x x f x f x =-
-+法线方程为 （2）切线平行x 轴
切线方程：y = f(x 0)，法线方程：x = x 0 (3) 切线平行y 轴
切线方程：x = x 0，法线方程：y = f(x 0)
6、常见函数求导公式 6、2
()'()()()'()'()()f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 7、高阶导数（掌握二阶导数即可） 常见函数的二阶导数
8、可导、可微、连续与极限的关系
可导一定连续，连续不一定可导
9、奇偶函数，周期函数的导数
（1）可导的偶函数的导函数为奇函数，且f ‘
(0) = 0 （2）可导的奇函数的导函数为偶函数
（3）可导的周期函数的导函数仍为同周期函数 10、微分公式（*核心*）：'
()()df x f x dx =
11、0()0∞
∞
洛必达法则，
()
()
lim ()0lim ()0(),lim lim ()()
f x f x f x
g x g x g x '∞=∞='若＝（或）,或则＝A 12、判断函数的增减性，求函数单调区间 （1）单调性定义
121212,,()()(),()x x D x x f x f x f x ∀∈<≤≥当时,有则为单调递增(减)
（2）判别方法：用f ’(x)判断
()(,)(),()()0f x a b f x a b f x '≥≤设在上可导，则在()内单调增加(减少)的充要条件为()()0f x f x '≥单调增
注意：设f(x)在(a ，b)区间内可导则f(x)在(a ，b)内严格单调增加(减少)的充分条件是f ’(x)＞0(f ’(x)
＜0)
严格单调下降＜严格单调增加＞−→−−→−←/
←/
0)('0)('x f x f
13、极值点的定义（局部最大或局部最小）
（1）定义：设y ＝f(x)，若对∀x ∈(x 0－δ，x 0＋δ)均有f(x)≤f(x 0)(f(x)≥f(x 0))则称x 0为f(x)的极大值点(极小值点) ，f(x 0)为极大值(极小值)。

（2）判定方法：两个充分条件 第一充分条件：
若f(x)在x 0处连续，在x 0的邻域内可导，且当x< x 0时，f ’(x)>0,(f ’(x)<0) 当x> x 0时，f ’(x)<0,(f ’(x)>0)，则称x 0为极大值点(极小值点)。

第二充分条件：
设f(x)在x 0点的某一领域内可导且f ’(x 0)＝0，f ’’(x 0)≠0
''000''
000()0()()0()f x x f x f x x f x ><若则是极小值点，为极小值若则是极大值点，为极大值
注意：''
0()0f x =不能判定用，有可能为极值，也可能不是极值。

（3）极值存在的必要条件
若x 0为f(x)的极值点，且f ’(x 0)存在，则f ’(x 0)＝0 注：f ’(x 0)＝0不能推出x 0为f(x)的极值点 如：y ＝x 3 ，在x ＝0处必有y ’＝0
0)('00＝极值点即：x f x −→−←/
14、驻点(稳定点)
（1）()0f x '=定义：满足的点，称为驻点
（2）驻点−−→←−−
极值点 15、函数的最值及其求解
（1）若f(x)在[a ，b]上连续，则f(x)在[a ，b]上必有最大值、最小值 （2）设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有一个极值点x 0，则
若x 0是f(x)的极大值点，那么x 0必为f(x)在[a,b]上的最大值点； 若x 0是f(x)的极小值点，那么x 0必为f(x)在[a,b]上的最小值点。

（3）求最值的方法 （最值是[a,b]整体概念，极值是局部概念） (a)求f(x)在(a,b)内所有驻点和导数不存在的点 (b)求出以上各函数值及区间[a,b]端点的函数值 (c)比较上述数值，最大的为最大值，最小的为最小值
最大值：M:max{f(a)，f(b)，f(x 1)，……，f(x 0)} 最小值：m:min{f(a)，f(b)，f(x 1)，……，f(x 0)} 其中：x 1，……，x 0为f(x)所有可能的极值点
16、驻点、极值点、最值点的联系与区别
驻点 ⎩
⎨⎧=的点图像：找存在水平切线的点定义：使0)('x f
⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎧=⎪⎩⎪
⎨⎧≠+=+的大小关系极大值与极小值无必然
最大（小）值点极大（小）值点为局部很小的邻域内研究极值点为局部概念，在存在，则为极值点，且：必要条件（求参数值）
）第二充分条件：驻点（导数两侧异号）第一充分条件：连续（图像（适用于给定了的函数）严格按照定义判断。

（判别方法：极值点..0)0(')0('0x 0)(''0)('321x f x f x f x f
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧.]b a [b a 最低点为最小值
上最高点为最大值，，数图像在开区间最值为整体概念，即函
用题），则此点为最值点（应）内可能的极值点唯一，在开区间（求最值点的方法最值点： 17、函数的切线与法线 切线与法线求法
00000000'()()
1
()'()
x y y f x x x x y y x x f x -=--=-
-一般地，在处切线方程为在处法线方程为 18、函数凹凸性及其判定 （1）凹弧
（a ）定义：如果曲线在其任一点切线之上，称曲线为凹弧 （b ）凹弧的切线斜率随着x 的增大而增大，即f ’(x)单调递增
（c ）设f(x)在(a ，b)上二阶可导，f(x)为凹弧的充要条件为f ’’(x) ≥0 ∀x ∈(a,b) (2)凸弧
（a ）定义：若曲线在其任一点切线之下，称曲线为凸弧
（b ）凸弧的切线斜率随着x 的增大的而减小，即f ’(x)单调递减 （c ）设f(x)在(a,b)二阶可导，f(x)为凸弧的充要条件为f ’’(x) ≤0 (3)常见函数的性质
19、拐点及其判定
（1）定义：曲线上凸弧与凹弧的分界点称为拐点。

二阶导数从大于0到小于0，或从小于0到大于0，中间的过渡点称为拐点。

（2）必要条件：f ’’(x)存在且(x 0，f(x 0))为拐点，则f ’’(x 0)＝0 拐点
0()0f x ''=
（3）充分条件：若f ’’(x 0)＝0，且在x 0的两侧 f ’’(x)异号，则(x 0，f(x 0))是拐点 三、一元函数积分学 1、不定积分与导数的关系
(())()f x dx f x '=⎰
⎰+='C x f dx x f )()(
2、基本初等函数的不定积分公式
（1）⎰
=C dx 0 （2）C x dx x ++=
+⎰
1
1
1αα
α（1-≠α）， ⎰⎰+=+=
c x dx x c x xdx 21
,212 ，⎰+-=c x dx x
112 （3）
C x dx x +=⎰ln 1
（4）C a
a dx a x
x
+=⎰ln ，C e dx e x x +=⎰ （5）
22
1
dt x a -⎰C a
x a x a ++-=ln 21 （6）
111
[]()()dx dx a x b x b a a x b x =-++-++⎰⎰
（7
）
C a x x +±+=22ln ()/
()
(())(())'()(())'()
x x
x f t dt f x x f x x βαββαα⋅⋅⎰
3、变限积分求导公式： ＝－
4、(),
(),()x
b
a
a
f x dx f t dt f x dx ⎰⎰
⎰联系与区别
(1)()()f x dx f x ⎰表示的全体原函数，它是一族函数，
且任两个原函数相差一个常数
(2)()()()()x x
a
a
f t dt f t f x dx f t dt C =+⎰⎰⎰表示的一个原函数，有
(3)()()()()()
()()()
()()b
a
b
a f x dx f x x a
b F b F a f x b
f x dx F x F b F a a
-==-⎰⎰表示一个数值，其值为的任一个原函数F 在从到的增量并且其值由上下限和决定，与用何符号表示无关即
5、奇偶函数的积分
⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=-为偶函数
为奇函数)(,
)(0
2)(,0)(x f dx x f a x f dx x f a a
四、多元函数 1、偏导的定义
设函数z = f(x, y)定义在P 0(x 0, y 0)点的一个邻域内，若将y 固定在y 0，作为x 的函数f(x, y 0)在x 0点处的导数
x
y x f y x x f x ∆-∆+→∆)
,(),(lim
00000
称为函数f(x, y)在P 0(x 0, y 0)点处对x 的偏导数，记作
)
,(00)
,('
00'0000),(),(y x y x x
x x
z x y x f z y x f ∂∂∂∂，，或
2、一般极值
（1）00(,)(,)z f x y x y =定义：设在的某邻域内有定义，恒有
000,000(,)(,)[()] (,)(,)()f x y f x y f x y x y z f x y ≥≤=则称为的极小大值点，相应地，。

极大值的极小值为)(),(),(00y x f y x f
（2）000000(,)Z (,)(,),(,)x y x y f x y f x y f x y ''=必要条件：若为的极值点，且存在，则：
0000000000(,)0,(,)03(,)0,
(,)(,)(,)0,
x y x y f x y f x y f x y x y f x y f x y ''=='=⎧⎨'
=⎩（）驻点的定义：
称为的驻点
（4）0),(,0),(0000='='y x f y x f y
x 充分条件：设 ，则不一定
若时为极小值点时极为值点，为极值点，且，则若不是极值点
，则若则：
令0AC -B 30A 0A ),(0AC -B 2),(0AC -B 1,B ),(f ),,( ,),(2002002200xy 0000==∆︒><<=∆︒>=∆︒-=∆''''=''=y x y x AC y x y x f B y x f A xy xx
（三）线性代数部分
一、矩阵
1、矩阵的乘法一般没有交换律，即AB BA ≠；常见可交换矩阵： (1) 逆A -1：A ❿A -1=A -1❿A=E (2) 单位矩阵E ：A ❿E=E ❿A=A (3) 数量矩阵kE ：A ❿(k ❿E)=(kE)❿A=kA (4) 零阵0：A ❿0=0❿A=0 (5) 幂：A m ❿A n = A n ❿ A m =A m+n (6) 伴随A *：A A *= A *A=|A|E (重要)
2、00,AB A ⨯
−−→==←−−
或B=0，当且仅当A 或B 可逆时才成立；对于0AB =，应该认识到B 的每一列都是齐次方程组AX ＝0的解，若0B ≠，则齐次方程组有非零解；
3、AB AC B C ⨯
−−→==←−−，当且仅当A 可逆时，才成立； 4、20A A A E A ⨯
−−→===←−−
或，当且仅当A 可逆时，有A ＝E ； 当A －E 可逆时，有A ＝0；
200A A ⨯−−→==←−−
，仅当A 为对称矩阵，即T A A =时，命题才成立； 5、注意数乘矩阵和数乘行列式的区别：||||||n
kA k A k A =≠。

6、列表对比矩阵的逆、转置和伴随的公式
7、重要结论与公式
{}n m m in A r A )1(n
m ，）（对于≤⨯
（2）()()T
r A r A = 有行
B A )3(−→−
① A 与B 的行向量相互等价
② 不改变列向量的线性关系（一般用初等行变换求矩阵的秩） ③ r （A ）=r （B ）
（4）()()()r A B r A r B +≤+
类似 |x+y|≤|x|+|y| P(A+B)≤P(A)+P(B)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤P(A)+P(B)
（5）()min((),())r AB r A r B ≤ ⎩
⎨
⎧≤≤⇔r(B)B)r(A r(A)
B)r(A
（6） B 可逆⨯
−−→←−−
r （AB ）=r （A ） B 不可逆⨯
−−→←−−
r （AB ）< r （A ） ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=0001A 取 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0002B ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=0002AB r （AB ）=r （A ）=1
（7） A 中任意两行成比例⨯
−−→←−−
r （A ）=1 11A=00⎛⎫
⎪⎝⎭
（8） A =B ⨯
−−→←−−
r （A ）=r （B ） （9） A =0−−→←−−
r （A ）=0
（10） ()()(0)r A r kA k =≠
（11） A B 0()()m n n p AB r A r B n ⨯⨯=≤若是阶矩阵，是阶矩阵，当时，＋ 7、 重点掌握以下矩阵可逆性的判断：
||0
()(),0,n A A r A n
A n
B AB BA E AX AX ββ⇔≠⇔=⇔⇔==⇔=⇔=阶方阵可逆的行列向量组线性无关
存在阶方阵有（可逆矩阵的定义）
齐次方程组只有零解
对于任意的非齐次方程组总有唯一解
A A
B
C C ⇔⇐=方阵的特征值全不为零(可逆）
设A 为n 阶矩阵，有以下等价命题 a) r （A ）=n （满秩矩阵） b) A 可逆 c) |A|≠0 d) A T
可逆 e) r （A *）=n f) A *
可逆
g) A 的n 个列（行）向量线性无关，即A 列（行）满秩 h) AX=0只有零解 i) AX=β有唯一解 二、向量组
1、线性相关性基本定义
.02211=+⋅⋅⋅++m m αλαλαλ
.0)1(21使上式成立，则其相关，的存在不全为m λλλ⋅⋅⋅ ..0)2(21无关使上式成立，则其线性当且仅当==⋅⋅⋅==m λλλ 2、常见相关性归纳
01=αα线性相关能推出）单个向量（ (2)αβαβ两个向量、线性相关与、成比例的关系
（3）包含0向量的任何向量组，线性相关.
()121(4)2m m m ααααα⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅，，线性相关
中有一个向量可由其余向量线性表示
1
m
(5)(m 2).
αα≥线性无关
任何一个向量都不能由其余向量线性表示n
12m 3R ,m n ααα∈==、，，即向量组的个数个维数
(1) m>n 时，则其线性相关.
.0|A |).,,,(A n (2)m 21n n 判断相关性根据时，令≠==⨯n ααα
三、线性方程组
（一）关于方程组解的性质
()()()121122112211221
121122112211221211,00:021)1,:2)k k k k k k k k k k k k k k k k AX AX A A A A AX AX A A A A ηηηληληληληληληληληληηηβλλλληληληβληληληληληληλλλββ
λ=+++=++
+=+++==+++=+++=++
+=+++=+++=+、若为的解,则为的解分析、若为的解当时为的解分析当211220,0k k k AX λλληληλη+
+=++
+=时为的解
()1212121230:,,--0-0AX AX x x AX A x x Ax Ax x x AX ββββ=====-==、任何两个解之差为的解
分析若为的解即为的解
（二）含有参数的线性方程组的求解。

1．齐次线性方程组AX ＝0
解题提示：对系数矩阵A 进行初等变换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论： （1）线性方程组只有零解，即r(A)＝n ；
（2）线性方程组有非零解，即r(A)<n ，并将非零解求出来。

2．非齐次线性方程组AX ＝β
解题提示：对增广矩阵A 进行初等变换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论：
（1）线性方程组无解，即()()r A r A ≠； （1）线性方程组有唯一解，即()()r A r A n ==；
（2）线性方程组有无穷多解，即()()r A r A n =<，并将解求出来。

3、如果有一组向量12,,
,,s αααβ，则β是否可以由12,,,s ααα线性表示，可以转化为
非齐次线性方程组1122s s x x x αααβ+++=解的情况，若无解，则不能线性表示；若有唯
一解，则能够唯一线性表示；若有无穷多解，则能够线性表示，且表示方式不唯一。

4、有关基础解系的问题
解题提示：某一个向量组要是方程组的基础解系，需要满足三个条件： （1）该向量组中的每个向量都满足方程AX ＝0； （2）该向量组线性无关；
（3）该向量组中向量的个数等于n-r(A)；或方程组的任一解向量都可由该向量组线性表示。

四、特征值和特征向量 ()()0,2A A ηηηηη≠(一)概念
1.定义:若向量满足1与线性相关,称为的特征向量
()2.:
0,,0A A A E B A E BX ηληηληληλη=⇒-=-==-=表达式令即为的非零解
()
3.0
A E λ-=∆特征值
()14.0...0.
n
i i A E A E X λλλλλ-=-⋅=求特征向量
先由求出再求出对应特征值下的特征向量
对应的特征向量,即的非零解
（二）性质
1、属于不同特征值的特征向量线性无关
2、1,21122,k k A ληηηη+来自同一特征值的特征向量其非零组合为的特征向量
3、0,0λη可为但不能为
4、()1
1
n n A tra A λλλλ==，
5、()()00A λλ==若满足f A ，则满足f
6、一个特征值可以对应多个特征向量，但一个特征向量只能对应一个特征值
7、τλζιA ,矩阵的特征值为对应的特征向量为 （三）归纳列表如下
（四）概率论部分
一、随机事件部分 1.事件间的四种关系 (1)包含A ⊂B
A B
⊂结论：()()P A P B ≤
A B
A B B
AB A
A B ⊂+==⊃
(2)相等A=B(两个事件A,B 样本点完全一致)
:A B =结论()()P A P B =
A B A C B C A B
B A
AC BC
⊂+=+⎧⎧=⎨
⎨
⊂=⎩⎩ (3)B A =对立
:A B
A B A B A B ==⋅=⋅结论
(4)互斥：A B= Ø
:AB A B
B A A B φ=⊂⊂+=Ω结论
A B ⋅互斥A B A B φ⋅=+=Ω
对立
1
n
i i A =⎧⎪⎨=Ω⎪⎩两两互斥完备事件组 2.事件间的三种运算 (1)和(并)：A+B=A ⋃B
(2)A B A AB A B -=-=⋅差：
(3)A B A B ⋅=⋂积：
3.概率运算公式
(1)若A ⊂B ，则有P(A) ≤P(B)和P(B-A)=P(B)-P(A)
(2)P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)()P A B =⋅
(3)()()P A B P A AB +=+=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A+B)-P(A-B)=P(B)
(4)()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+ (5)()1()P A P A =-
4.条件概率
()()(()0)()
P AB P A B P B P B =
>，P(A|B)实质为事件A 的概率
()1()P A B P A B =-
121212()()()()P A A B P A B P A B P A A B +=+- 12112()()()P A A B P A B P A A B -=-
5.乘法公式：P(AB)=P(A) ❿P(B|A)=P(B) ❿P(A|B)
6.全概公式
(1)⎧⎨
⎩两两互斥
完备事件组并集为全集
1(2)()()()n
i i i P B P A P B A ==∑全概公式：
(3)贝叶斯公式：(逆概)1
()()
()()()
i i i n
j
j
j P A P B A P A B P A P B A ==
∑
7.事件的独立性 (∆) (1)定义：P(AB)=P(A) ❿P(B) (2)特殊情况：
a.Ø与任何事件相互独立
b.Ω与任何事件相互独立
c.P(A)=0的事件A 与任事件相互独立
(3)相互独立
个数
两两独立
(4)当P(A)P(B)>0时
若A 与B 相互独立，则A 与B 必不互斥(独立不互斥) 若A 与B 互斥，则A 与B 必不独立(互斥不独立) 注意：Ø与任事件即互斥也独立 8.判断A 与B 相互独立的充要条件 (1)定义P(AB)=P(A)P(B)
(2)P(B|A)=P(B) (P(A)>0)或P(A|B)=P(A) (P(B)>0)，即：B 的发生不受A 的影响 (3)0<P(A)<1
()()P B A P B A =即：A 发生与否不影响B 的概率 ()()()1()P AB P B A P B P A =-分析：()()1()
P B P AB P A -=-
P(AB)-P(A)P(AB)=P(A)P(B)-P(A)P(AB) ⇒ P(AB)=P(A)P(B)
(4)()()1(0()1)P B A P B A P A +=<< ()1()()P B A P B A P B A =-=分析： (5),;,;,;,A B A B A B A B
四组事件中，若其中一组相互独立，则其余三组也相互独立，则其余三组也相互独立 (6)求“n 个事件至少有一个发生时”转化为其对立事件“都不发生”
()1()P A B C P A B C ++=-⋅⋅1()()()P A P B P C -⋅⋅独立
9．独立试验序列
(1)贝努里：n 次试验中成功k 次的概率：()k k n k
n n P k C P q -= (2)直到第k 次试验，A 才首次发生：1
k k P q p -=⋅
(3)做n 次贝努里试验，直到第n 次，才成功k 次：11k k n k
n P C p q ---=
二、随机变量部分
1、常见随机变量的分布表如下：
2、离散型随机变量
（1）分布律
P k =P(X=X k )，k=1，2，┅
（2）分布律的性质 (1)有界性：0≤P k ≤1
(2)1k k
P =∑归一性：
应用：求待定参数值，注意求完参数要验证
3、二项分布 （1）定义
{}(1),0,1,2,
(,),1)1(01)2)()(1)[(1)]1k k
n k n n
n
k k n k n n k k X P X k C p p k n
X n p X B n p n P X k C P p P p --====-====-=+-=∑∑设随机函数变量的概率函数为则称服从参数为和的二项分布，记为～值得注意的是：
当时，二项分布化为—分布；
（2）各参数的意义
参数n ：试验次数为n 次；参数P ：每次试验成功的概率 参数k ：n 次试验中成功k 次
（3）二项分布产生的背景可以是n 重贝努利试验，若用X 表示n 重被努力试验中事件A 发生的次数，则X 服从参数为n,p 的二项分布，其中p 是一次试验中事件A 发生的概率。

X k x 1 x 2 ┅ x k ┅ P k P 1 P 2 ┅ P k ┅
应用概型：每次试验只有两种结果A 和A ，(),()1P A P P A P q ==-=其中
4、分布函数F(X) F(X)=P(X ≤x)
(1)定义：F(X)在x 处函数值表示点X 落入区间(-∞，x]上的概率
()k k x x
F X P ≤=∑离散型：
(2)公式：
P(x 1<X ≤x 2)=P(X ≤x 2)-P(X ≤x 1)=F(x 2)-F(x 1) (3)分布函数性质： 1)值域：0≤F(X) ≤1 2)极限性质(★★)
()lim ()0x F F x →-∞
-∞==，()lim ()1x F F x →+∞
+∞==
应用：求参数值
3)单调性：单调不减(单调增) 即若x 1<x 2，有F(x 1) ≤F(x 2) 4)F(x)右连续
lim ()()(0)u x
F u F x F x +
→==+即 注意：前四个性质，用来判断函数是否为分布函数 5)P(X=x)=F(x)-F(x-0) 6)对于x 1<x 2，有 P(x 1<X ≤x 2)=F(x 2)-F(x 1)
7)对x 1< x 2，F(x)在x 1， x 2处连续
P(x 1≤X ≤x 2)=P(x 1<X ≤x 2)=P(x 1<X<x 2)=P(x 1≤X<x 2)=F(x 2)-F(x 1) 5、连续型随机变量 密度函数f(x)的性质 (1)非负性：f(x) ≥0
(2):
()1f x dx +∞
-∞
=⎰
归一性，即f(x)与x 轴所围面积为1
应用：求待定参数值
注意：前两个性质用来判断函数是否为密度函数的标准 (3)对于x 1<x 2有
P(x 1<X ≤x 2)=P(x 1≤X ≤x 2)=P(x 1≤X<x 2)=P(x 1<X<x 2)2
1
21()()()x x f x dx F x F x ==-⎰
6、正态分布X~N(μ，σ2) (1)正态分布密度函数
22()2
2()(,),0x f x N μσμσσ--
=
>记作:X 其中 (2)f(x)图像特点
a) 密度函数的曲线关于x = μ对称，μ是正态分布的位置参数 b) 它在x = μ时取到最大值P(μ) =
σπσ
πσ
⋅=
21
212
越大，密度函数的取值越小；σ越小，其值越大，由于密度函数曲线与x 轴之间的面积总是1，所以σ越大表明密度函数的曲线越矮越胖，而σ越小，密度函数的曲线越瘦高。

c) x 离μ越远，P(x)的值越小，表明对于同样长度的区间，区间离μ越远，X 落在这个区间
上的概率越小。

d)
121)(2
2
2)(2
==
⎰
⎰
∞
+∞
--∞
+∞
-dx e
dx x p x σμπσ
，这一条性质非常有用，应好好掌握。

e) P(X ≤μ)=P(X ≥μ)1
()2
F μ== f)
期望EX=μ
7、一般正态分布的标准化（非常重要）
2(,),(0,1)X X
N N μ
μσσ
-则
8、密度函数f(x)为偶函数的重要结论
1(1)(0)(0)(0)()2
F P X P X f x dx -∞
=≤=≥==
⎰
(2)F(-a)=1-F(a)
(3)P(|X|<a)=2F(a)-1 (a>0)
分析：P(|X|<a)=P(-a<X<a)=F(a)-F(-a)=2F(a)-1 (4)P(|X|>a)=1-P(|X|<a)=2(1-F(a)) (5)若EX 存在，则EX=0 9、数学期望有以下重要性质：
(1) 若C 为常数，则E(C) = C.
(2) 若X 为一个随机变量，C 为常数，则E(CX) = CE(X).
(3) 若X 为一个随机变量，C 和k 为常数，则E(kx + C) = kE(x) + C. (4) 若X,Y 是两个随机变量，则有E(X + Y) = E(X) + E(Y)
有性质(2)和性质(4)，我们可以得到以下结论：若X 1,X 2…X k 为k 个随机变量，C 1,C 2,…C k 为常数，则
.)()(1
1
∑∑===K
i i i K i i i X E C X C E
(5) 设Y 是随机变量X 的函数：Y= g(X),其中g 是连续函数，则关于随机变量Y 的数学
期望，有以下结论：
1
1
()(),1,2,
,()()[()]().
()(),()()()[()]()().k k k
k
k
k
k k i X p P X x k g x p E Y E g X g x P ii X p x g x p x dx E Y E g X g x p x dx ∞∞
=======∞⋅-∞
∞
==-∞∑∑⎰⎰
若是离散型随机变量，它的概率分布为如果
绝对收敛，则有若是连续型随机变量，它的概率密度函数如果，
绝对收敛则有
10、 方差及性质
(1) 若C 为常数，则D(C) = 0,即常量的方差等于零。

(2) 若k 为常数，X 为一个随机变量，则D(kX) = k 2D(X). (3) 若C 为常数，X 为一个随机变量，则D(X+C) = D(X). (4) 若k 和C 为常数，X 为随机变量，则D(kX + C) = k 2D(X). 11、标准差
具有相同的量纲。

标准差与的或简记为的标准差，记为称为方差的非负平方根X X x X X D •σσ)(
30。