2020届全国大联考高三第四次联考数学(理)试题(解析版)

2020届全国大联考高三第四次联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合{
}2
|340A x x x =--<，{
}
|23x
B y y ==+，则A B =（ ）
A ．[3,4)
B ．(1,)-+∞
C ．(3,4)
D ．(3,)+∞
【答案】B
【解析】分别求解集合,A B 再求并集即可. 【详解】
因为{}
2|340{|14}A x x x x x =--<=-<<,{}
|23x
B y y ==+{|3}y y =>,所
以(1,)A B =-+∞.
故选：B 【点睛】
本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题.
2．若直线20x y m ++=与圆22
2230x x y y ++--=相交所得弦长为则m =
（ ）
A ．1
B ．2
C D ．3
【答案】A
【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【详解】
圆2
2
2230x x y y ++--=的标准方程2
2
(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径
因为直线20x y m ++=与圆2
2
2230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =. 故选：A 【点睛】
本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题. 3．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．3
4
-
B ．
34
C ．43
-
D ．
43
【答案】C
【解析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】
因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43
a =-. 故选：C 【点睛】
本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题. 4．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
再分析即可. 【详解】 因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5cos
cos
3
3π
π=,而533
ππ
≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B 【点睛】
本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.
5．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒
C ．45︒
D ．60︒
【答案】D
【解析】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】
设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆
锥轴截面底角的余弦值是1
2
R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】
本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.
6．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2
【答案】D
【解析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】
当0k ≥时,等式2
2
4||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0
<时,2
2
4||4kx y k k +==-,可化为22
144
y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲
线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】
本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.
7．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ）
A ．单调递增
B ．单调递减
C ．先递减后递增
D ．先递增后递减
【答案】C
【解析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭,再根据函数图像平移的
方法求解即可. 【详解】
函数()sin cos 63f x x x ππ⎛
⎫
⎛⎫=--
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上先递减后递增.
故选：C 【点睛】
本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.
8．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中
点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11
(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF
平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）
A ．//l 平面11BDD
B B ．l M
C ⊥
C ．当2
a
m =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变
【答案】C
【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可. 【详解】
因为11
A P AQ m ==,所以11//PQ
B D ,因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点,所以//EF BD ,所以//PQ EF ,因为面MEF
面MPQ l =,所以PQ EF l ////.选项A 、D 显然成立；
因为BD EF l ////,BD ⊥平面11ACC A ,所以l ⊥平面11ACC A ,因为MC ⊂平面
11ACC A ,所以l MC ⊥,所以B 项成立；
易知1AC ⊥平面MEF ,1A C ⊥平面MPQ ,而直线1AC 与1A C 不垂直,所以C 项不成立. 故选：C 【点睛】
本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.
9．已知抛物线2
2(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，
||8MN =，则OMN 的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2
【答案】A
【解析】根据||1OF =可知2
4y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】
由题意可知抛物线方程为2
4y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义
知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.
由2
4y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.
又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -==所以
211
||2
OMN
S
OF y y =
⋅-=故选：A 【点睛】
本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.
10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.
若2a =，ABC 的面积为1)，则b c +=（ ）
A ．5
B ．
C ．4
D ．16
【答案】C
【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4
A π
=
,再根据面积公式可求得
6(2bc =-,再代入余弦定理求解即可.
【详解】
ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,
又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,
∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,
∴4
A π
=
.∵1sin 1)24
ABC
S
bc A ===-,
∴bc =6(2-,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,
∴2()4(2b c bc +=+
+4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.
11．存在点()00,M x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上，且点M 在第一象限，使得过
点M 且与椭圆在此点的切线0022
1x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A
．0,
2⎛ ⎝⎦
B
．,12⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭
C
．0,
3⎛ ⎝⎦
D
．,13⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】
因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y y
a b
+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,
由
20020021b y b x x a y +
⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭
,解得3
022b y b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,
所以
3
c a >
. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.
12．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，
且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ） A
． B
．
C
．
D
．
【答案】D
【解析】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股
定理解得6R =，此外接球的体积为
246
3π，三棱锥O EFG -体积为
23
，得到答案. 【详解】
如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.
正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD .
依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ， 在Rt OHD 中，OD R =，343
HD BC =
=
，133R OH OA ==， 由勾股定理：2
22
433R R ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得6R =，此外接球的体积为2463π， 由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ， 球心O 到平面EFG 的距离为KO ， 则126
2333R KO OA KA OA AH R R =-=-
=-==
， 所以三棱锥O EFG -体积为211362
4343
⨯
⨯⨯⨯=
， 所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为243π. 故选：D.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
二、填空题
13．若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线斜率分别为1k ，2k ，若123k k =-，
则该双曲线的离心率为________. 【答案】2
【解析】由题得21223b k k a
=-=-,再根据2
221b e a =-求解即可.
【详解】
双曲线22
221x y a b
-=的两条渐近线为b y x a =±,可令1k b a =-,2k b a =,则
21223b k k a =-=-,所以2
2213b e a
=-=,解得2e =.
故答案为：2. 【点睛】
本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.
14．已知在等差数列{}n a 中，717a =，13515a a a ++=，前n 项和为n S ，则
6S =________.
【答案】39
【解析】设等差数列公差为d ,首项为1a ,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得
6S 即可.
【详解】
设等差数列公差为d ,首项为1a ,根据题意可得71111617
2415
a a d a a d a d =+=⎧⎨
++++=⎩,解得
113a d =-⎧⎨=⎩
,所以6
1
16653392S =-⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：39 【点睛】
本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和的公式,属于基础题.
15．已知抛物线()2
20y px p =>的焦点和椭圆22143
x y +=的右焦点重合，直线过抛
物线的焦点F 与抛物线交于P 、Q 两点和椭圆交于A 、B 两点，M 为抛物线准线上一动点，满足8PF MF +=，3
MFP π
∠=，当MFP 面积最大时，直线AB 的方程
为______.
【答案】()31y x =-
【解析】根据均值不等式得到16PF MF ⋅≤，43MFP S ≤△，根据等号成立条件得到直线AB 的倾斜角为3
π
，计算得到直线方程. 【详解】
由椭圆22
143x y +=，可知1c =，12p =，2p =，24y x ∴=，
13
sin 234
MFP S PF MF PF MF π=
⋅=⋅△， 82PF MF PF MF =+≥⋅，16PF MF ⋅≤，
33
164344
MFP S PF MF =
⋅≤⨯=△（当且仅当4PF MF ==，等号成立）
， 4MF =，12F F =，16
FMF π
∴∠=
，13
MFF π
∠=
，
∴直线AB 的倾斜角为
3
π
，∴直线AB 的方程为()31y x =-. 故答案为：()31y x =-.
【点睛】
本题考查了抛物线，椭圆，直线的综合应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 16．已知三棱锥P ABC -，PA PB PC ==，ABC 是边长为4的正三角形，D ，E 分别是PA 、AB 的中点，F 为棱BC 上一动点（点C 除外），2
CDE π
∠=，若异面
直线AC 与DF 所成的角为θ，且7
cos 10
θ=
，则CF =______.
【答案】
52
【解析】取AC 的中点G ，连接GP ，GB ，取PC 的中点M ，连接DM ，MF ，DF ，直线AC 与DF 所成的角为MDF ∠，计算2222MF a a =-+，22410DF a a =-+，根据余弦定理计算得到答案。

【详解】
取AC 的中点G ，连接GP ，GB ，依题意可得AC GP ⊥，AC GB ⊥， 所以AC ⊥平面GPB ，所以AC PB ⊥，
因为D ，E 分别PA 、AB 的中点，所以//DE BP ，因为2
CDE π
∠=
，所以PB CD ⊥，
所以BP ⊥平面PAC ，故BP AP ⊥，故22PA PB PC ===， 故,,PA PB PC 两两垂直。

取PC 的中点M ，连接DM ，MF ，DF ，因为//DM AC ， 所以直线AC 与DF 所成的角为MDF ∠，
设()04CF a a =<≤，则222
22cos
224
MF MC CF MC CF a a π
=+-⋅=-+，
222222
282224102DF DP PF a a a a =+=++-⨯⨯
=-+， 所以227cos 10
4410
2410
a a a a θ=
=
=-+-+， 化简得()()641250a a +-=，解得52a =
，即52
CF =. 故答案为：
5
2
. 【点睛】
本题考查了根据异面直线夹角求长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
三、解答题
17．在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1
*
2n a n b n N +=∈.
（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若1
2
n n n c a b =
，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n =-，2n
n b =（2）2(2)2n n S n =+-⨯
【解析】(1)根据10a =与32a =可求得12b =,3
328b ==再根据等比数列的基本量求
解即可.
(2)由(1)可得1
(1)2n n c n -=-⨯,再利用错位相减求和即可.
【详解】 解：
（1）依题意12b =,3
328b ==,
设数列{}n b 的公比为q ,由1
2
0n a n b +=>,可知0q >,
由223128b b q q =⋅=⨯=,得2
4q =,又0q >,则2q ,
故111222n n n
n b b q --==⨯=,
又由122n a n +=,得1n a n =-.
（2）依题意1
(1)2n n c n -=-⨯.
01221021222(2)2(1)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,①
则12312021222(2)2(1)2n n
n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,②
①-②得121
22222
(1)2(1)212
n
n n
n n S n n ---=+++--⨯=--⨯-…,
即2(2)2n n S n -=-+-⨯,故2(2)2n
n S n =+-⨯.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.
18．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，1SD =，cos 5
ASD ∠=
，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E ，F 分别为棱DC ，BC 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点.
求证：（1）直线SA
平面EFG ；
（2）直线AC ⊥平面SDB . 【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】(1) 连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,再证明SA GH ∥即可. (2)证明AC BD ⊥与SD AC ⊥即可. 【详解】
（1）连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,所以O 为AC 的中点,H 为OC 的中点,由E 、F 为DC 、BC 的中点,再由题意可得
1
4
CG CH CS CA ==,所以在三角形CAS 中SA GH ∥,SA ⊄平面EFG ,GH ⊂平面EFG ,所以直线SA 平面EFG .
（2）在ASD 中,1SD =,2AD =,5
cos 5
ASD ∠=
,由余弦定理得,222AD SA SD =+-2cos SA SD ASD ⋅∠,即2225
21215
SA SA =+-⨯⨯
,解得5SA =由勾股定理逆定理可知SD DA ⊥,因为侧面SAD ⊥底面ABCD ,由面面垂直
的性质定理可知SD ⊥平面ABCD ,所以SD AC ⊥,因为底面ABCD 是菱形,所以
AC BD ⊥,因为SD BD D =,所以AC ⊥平面SDB .
【点睛】
本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.
19．设抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2)(0)m m m >. （1）求抛物线C 的方程；
（2）F 是抛物线C 的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若2BF FA =，求||AB 的值.
【答案】（1）24y x =（2）
9
2
【解析】(1)代入(,2)m m 计算即可.
(2) 设直线AB 的方程为(1)y k x =-,再联立直线与抛物线的方程,消去x 可得y 的一元二次方程,再根据韦达定理与2BF FA =求解k ,进而利用弦长公式求解即可. 【详解】 解：
（1）因为抛物线2
:2(0)C y px p =>过点(,2)m m ,所以42m pm =,所以2p =,抛物
线的方程为2
4y x =
（2）由题意知直线AB 的斜率存在,可设直线AB 的方程为
(1)y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y .因为2BF FA =,所以212y y =-,联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩
,
化简得2
440y y k -
-=,所以124
y y k
+=,124y y =-,所以14y k =-,212y =,解得
22k =±,所以()2
12122
1
99||141882
AB y y y y k =+
+-=
⨯=. 【点睛】
本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.
20．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，在四边形ABCD 中，
DA AB ⊥，//AD BC ，22AB AD BC ===，E 为PB 的中点，连接DE ，F 为DE
的中点，连接AF .
（1）求证：⊥AF PB .
（2）求二面角A EC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）
21
7
【解析】（1）连接AE ，证明PB AD ⊥，AE PB ⊥得到PB ⊥面ADE ，得到证明. （2）以PA ，AB ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，
()1,1,2n =-为平面AEC 的法向量，平面DEC 的一个法向量为()3,1,2m =，计算夹
角得到答案. 【详解】
（1）连接AE ，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，
AD ⊂面ABCD ，AD PA ∴⊥，PA AB A =，AD ∴⊥面PAB ，
又PB ⊂面PAB ，PB AD ∴⊥，
又
在直角三角形PAB 中，PA AB =，
E 为PB 的中点，AE PB ∴⊥，AD AE A ⋂=，PB ∴⊥面ADE ，A
F ⊂面ADE ，AF PB ∴⊥.
（2）以PA ，AB ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，
()2,0,0P ，()0,2,0B ，()1,1,0E ，()0,2,1C ，()0,0,0A ，()0,0,2D ，
设(),,n x y z =为平面AEC 的法向量，()0,2,1AC =，()1,1,0AE =，00
n AC n AE ⎧⋅=⎨
⋅=⎩，
200
y z x y +=⎧∴⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z =，()1,1,2n ∴=-， 同理可得平面DEC 的一个法向量为()3,1,2m =. 设向量m 与n 的所成的角为θ，21
cos 7614
θ∴=
=⨯， 由图形知，二面角A EC D --为锐二面角，所以余弦值为
21
7
.
【点睛】
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 21．已知函数21()4ln 2
f x x x =-+. （1）求()f x 的单调区间； （2）讨论()1()2f x
g x b x x ⎛⎫
=
+- ⎪⎝
⎭零点的个数. 【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可.
(2) 4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x -+=实数根,再换元将原方程转化为2ln t b t =,再求导分析2ln ()t
h t t
=的图像数形结合求解即可. 【详解】
（1）()f x 的定义域为(0,)+∞,2
44
()x f x x x x
-'=-+=
,当02x <<时,()0f x '<,所以()y f x =在(0,2)单调递减；当2x >时,()0f x '>,所以()y f x =在(2,)+∞单调递增,所以()y f x =的减区间为(0,2),增区间为(2,)+∞. （2）4ln ()x g x bx x -=
+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x
bx x
-+=实数根,令2(0)x t t =>则原方程转化为2ln t b t =,令2ln ()t h t t =,22(1ln )
()t h t t
-'=.令()0h t '=,t e =,∴(0,)t e ∈,()0h t '>,(,)t e ∈+∞,()0h t '
<,
max 2()()h t h e e ==
,当1
t e
=时,()20h t e =-<,当t e >时,()0h t >. 如图可知
①当0b ≤时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点； ②当2
0b e
<<时,()h t 有两个零点,即g(x)有两个零点； ③当2
e
b =时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点； ④2
b e
>
时,()h t 此时无零点,即g(x)此时无零点. 【点睛】
本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.
22．已知椭圆T ：()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率为12，直线l ：60x y +-=与
以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切.A 为左顶点，过点()1,0G 的直线交椭圆T 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线4x =于M ，N 两点.
（1）求椭圆T 的方程；
（2）以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）是，定点坐标为()7,0或()1,0 【解析】（1）根据相切得到3b =
2a =，得到椭圆方程.
（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立
方程得到122634t y y t +=-
+，122
9
34y y t =-+，计算点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，点N 的坐标为2264,
2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，圆的方程可化为()()2
44690x x y ty --++-=，得到答案. 【详解】
（1
）根据题意：b =
=
b a ==
，所以2a =， 所以椭圆T 的方程为22
143
x y +=.
（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 把直线BC 的方程代入椭圆方程化简得到(
)
2
2
34690t y ty ++-=， 所以122634t y y t +=-
+，12
29
34
y y t =-+， 所以()2
2
1212122412134
t x x t y y t y y t -=+++=+，1212
281134x x ty ty t +=+++=+， 因为直线AB 的斜率1
12AB y k x =
+，所以直线AB 的方程()1122
y y x x =
++， 所以点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理，点N 的坐标为2264,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
， 故以MN 为直径的圆的方程为()()12126644022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫
--+-
-= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭
，
又因为
()()()
12121212123636369
9222436y y y y x x x x x x ⨯==-=-+++++，()()12121212212121212121866666223339
ty y y y y y y y t x x ty ty t y y t y y +++=+==-+++++++， 所以圆的方程可化为()()2
44690x x y ty --++-=，令0y =，则有()2
49x -=，
所以定点坐标为()7,0或()1,0. 【点睛】
本题考查了椭圆方程，圆过定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。