充分利用教材资源,拓展变式教学思路[论文]

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充分利用教材资源,拓展变式教学思路

全日制义务教育《新数学课程标准》指出:“重要的数学概念与思想方法的学习可以遵循逐级递进、螺旋上升的原则。”与此相应地,人教版第三学段(七~九年级)数学教材对一些重要的内容都采用了分散编排的方式,使学生对所学知识的理解和掌握有一个逐步发展、不断深化的过程。那么在具体的教学实践中,如何充分运用教材资源,体现这一原则呢?下面是笔者在教学七年级教材中一个知识点时进行了变式训练,通过对这个探究问题的两次再现,既充分地运用了教材资源,又成功地体现了逐级递进、螺旋上升的原则。

一、试题原型

七年级数学(上)第二章2.4《再探实际问题与一元一次方程》共设计了三个探究活动,结合其中的探究问题我作了如下变式:

用哪种灯省钱?

小明想在两种灯中选购一种。其中一种是11瓦(即0.011千瓦)的节能灯,售价60元;另一种是60瓦(即0.06千瓦)的白炽灯,售价3元。两种灯的照明效果一样,使用寿命也相同(3000小时以上)。节能灯售价高,但是较省电;白炽灯售价低,但是用电多。如果电费是0.5元/(千瓦时),选哪种灯可以节省费用(灯的售价加电费)?

这是一个方案选择问题,而此时学生的知识状况是仅学习了一元一次方程及其解法,为了让学生在目前的状况下解决这个问题,我

在此设计了一系列填空及两个“讨论”问题,引导学生思考。其中选择方案通过代入特殊值试验得出,探究活动后可以归纳这个问题的解答如下:

设:照明时间t小时,两种灯的费用相等,则

白炽灯的费用为(3+0.5??.06t)元,节能灯的费用为

(60+0.5??.011t)元。

根据题意,列出方程:3+0.5??.06t=60+0.5??.011t

解这个方程得:t≈2327

分别在时间小于2327小时和大于2327小时中选取一个特殊值代入两种灯的费用:

(1)取t=2000

白炽灯的费用为:3+0.5??.06??000=63(元)

节能灯的费用为:60+0.5??.011??000=71(元)

(2)取t=2500

白炽灯的费用为:3+0.5??.06??500=78(元)

节能灯的费用为:60+0.5??.011??500=63.75(元)

所以,当照明时间小于2327小时,选白炽灯费用较低;当照明时间等于2327小时,两种灯的费用相同;当照明时间大于2327小时,选节能灯费用较低。

至此,这个问题已经解决,这里有两个关键:一是建立方程模型;二是用特殊值试验。但是,由于问题涉及数值大小的比较,如此解答是不严密的。严格地说,解决这个问题要用到不等式。

二、首次再现,走向严密

七年级数学(下)第九章内容是《不等式与不等式组》。在学生学习了不等式的解法后,再现这一问题时机恰到好处。这时学生已学习了不等式的有关知识,基于学生现在的知识水平,探究过程的设计就应体现在如何建立不等式模型上。问题再现后,设计以下问题:

1.设照明时间为t小时,分别写出两种灯的费用。

2.当白炽灯的费用小于节能灯的费用时,求t的取值范围(精确到1小时,下同);当白炽灯的费用等于节能灯的费用时,求t的取值范围;当白炽灯的费用大于节能灯的费用时,求t的取值范围。

3.由以上问题,你能得出怎样的结论?

通过这几个问题的引导,学生很容易归纳出这个问题的解答:设:照明时间t小时时,两种灯的费用相等,则

白炽灯的费用为元,节能灯的费用为元。

由3+0.5??.06t60+0.5??.011t得t>2327

所以,当照明时间小于2327小时,选白炽灯费用较低;当照明时间等于2327小时,两种灯的费用相同;当照明时间大于2327小时,选节能灯费用较低。

这里,利用两种灯的费用建立不等式模型,从而利用解不等式得出结论,较之用特殊值试验显然更具说服力,这种说服力来自于解答的严密性。

三、再次再现,体现函数的统领作用

这一问题的再次再现——即第三次呈现,是在八年级上学期。八年级数学(上)第十一章的内容为《一次函数》,这一章的第11.3节“用函数观点看方程(组)与不等式”,是用函数的观点对一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组重新进行分析。此时再现这一问题,有利于加强知识间横向与纵向的联系,发挥函数对相关内容的统领作用。

再现此问题时,不是原题照搬,而是从函数观点出发、以建立函数模型和运用函数思想解决问题的角度提出问题。为简化计算,对数据作了相应处理。题目如下:

小明想在两种灯具中选购一个。其中一种是节能灯,贴有“220v,10w”的标牌,零售价60元/个;另一种是白炽灯,印有“220v,60w”字样,零售价2元/个。两种灯照明效果相同,当地的电价是0.5元/千瓦时。

(1)若照明x(小时)时,节能灯的总费用(含购买费用和照明用电费用,下同)为y1(元);白炽灯的总费用为y2(元),分别写出y1、y2与x之间的函数关系式;

(2)若两种灯使用寿命相同,请你帮助小明选择比较合理的购买方案。

此时,这个问题的解答首先要建立一次函数,然后运用一次函数的有关知识得出答案。解答过程如下:

(1)y1=60+0.5??.01x=60+0.005x

y2=2+0.5??.06x=2+0.03x

(2)由y12320

由y1=y2即:60+0.005x=2+0.03x得:x=2320

由y1>y2即:60+0.005x>2+0.03x得:x<2320

所以:当照明时间大于2320小时,选节能灯费用较低,应选择购买节能灯;当照明时间等于2320小时,两种灯的费用相同,选择哪种灯均可;当照明时间小于2320小时,选白炽灯费用较低,应选择购买白炽灯。

教学中,通过对同一个素材的三次变式使用,学生经历了利用方程思想、不等式思想和函数思想解决同一问题的过程。一方面,使学生体验了用一次函数可以把前面学习的方程和不等式等数学对

象统一起来,体会到函数的重要性,显示了函数思想的统领作用;另一方面,从方程到不等式,学生体会了从相等关系(问题的特殊性)到不等关系(问题的普遍性)的辩证方法;再由方程和不等式到函数,学生又从常量思维提升为变量思维,在数学思想上产生了质的飞跃;同时也充分地体现了逐级递进、螺旋上升的新课程理念。(责任编辑刘馨)

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