电网络第一讲(大纲125)讲义——

电网络理论讲义（一）
1 网络元件和网络的基本性质
1.1 网络及其元件的基本概念
1.1.1 网络的基本表征量
（1）基本表征量分为三类：
1）基本变量：电压u (t )、电流i (t )、电荷q (t )和磁链Ψ(t )。

2）基本复合量：功率P (t )和能量W (t )。

3）高阶基本变量：()
u
α和()
i
β()0 1αβ≠-、，
()
d d k k k x
x
t =，
2
()112...()...k
t
t t k k
x x d d d ττττ--∞-∞
-∞
=⎰⎰⎰
0k ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
>
例如，22d d i u E t =，22
d d u i D t =等
基本变量和高阶基本变量又可统一成()
u α和()
i β两种变量，其中α和β为任意整数。

（2）基本表征量之间存在着与网络元件无关的下述普遍关系：
()()d t u t dt ψ=
(1)
()()t
t u u d ττ
--∞
ψ==⎰
()()dq t i t dt =
(1)
()()t
q t i
i d ττ
--∞==⎰
()()()()
dW t p t u t i t dt ==
()()()()t t W t p d u i d τττττ
-∞
-∞
==⎰⎰
（3）容许信号偶和赋定关系
可能存在于（多口）元件端口的电压、电流向量随时间的变化或波形称为容许的电压—电流偶，简称容许信号偶，记作
{}(),()t t u i 。

3Ω电阻的伏安关系为，
3u i =，{}3cos ,cos t t ωω是容许信号偶，｛3, 1｝不是容
许信号偶。

容许信号偶必须是向量或者时间的函数。

元件所有的容许信号偶的集合，称为该元件的赋定关系（本构关系) 。

（3）基本二端代数元件 基本二段元件的定义为：
()()()()(){}, , , ,u i u q i q ηθ∈ψψ，，
，，
或(), 0f ηθ=
例如线性电阻元件u=iR , 电容元件q=Cu 等。

如图所示。

一般性分类：
η控元件：θ＝θ(η) θ控元件：η＝η(θ)
单调元件：元件既是η控的,又是θ控的
多值元件：元件既不是η控的,也不是θ控的
这个概念与数学上的函数定义可以类比，若η是θ的函数，则元件是θ控元件；若θ是η的函数，则元件是η控元件；若函数单调，元件既是η控的,又是θ控的；若η不是θ的函数，且θ也不是η的函数，则元件既不是η控的,也不是θ控的。

1）电阻元件
定义：赋定关系为u 和i 之间的代数关系的元件
{}(,):(,)0R R u i f u i ℜ==
流控电阻和压控电阻是一般非线性电阻的一个重要子类,单调电阻是压控电阻和流控电阻的一个子类,仿射电阻是单调电阻的一个特例,而线性电阻又是仿射电阻的一个特例。

2）零口器与非口器
零口器两端电压电流均为零，非口器两端电压电流均为任意值。

零口器与非口器成对出现，否则会出现方程数与变量数不等的情况。

零口器与非口器的串联相当于短路，零口器与非口器的并联相当于断路。

3）独立电源
电压源即是流控型元件（视为阻值为0的电阻），又是荷控型元件（视为容值无穷大的电容）。

电流源是压控型元件（视为阻值为无穷大的电阻），又是链控型元件（视为电感值无穷大的电感）。

4）总结
无记忆(或即时)元件：电阻元件不具有记忆特性
记忆元件：电容元件、电感元件和忆阻元件都具有记忆特性 （4）高阶二端代数元件
基本二端代数元件的赋定关系
赋定关系为
()()
(,)0M f u i αβ= ，称为 (α,β)元件，α和β至少有一个为正时称为高阶
二端代数元件。

α和β称为端口指数, 均为整数，元件的阶数为|α－β|。

1.1.2 多口元件和多端元件
当流入一个端子的电流恒等于流出另一个端子的电流时，这一对端子称为一个端口，例如变压器的高压侧和低压侧分别是两个端口。

由此可见，端口元件有偶数个段子。

如果多端元件的端子数为偶数,并且两两能组成端口,则称该多端元件为多口元件。

多端元件和多口元件可以互换，由图所示，元件本身有n+1个端子，012n i i i i =+++
若将i 0拆分，则可以得到一个n 口元件。

n 口元件的端口电压、电流列向量：[]
T
12,,
,n u u u =u ，
[]
T
12,,,n i i i =i
（1）基本代数多口元件
n 口元件的赋定关系由η和θ之间的代数关系表征,满足 F(η,θ)＝0
(η,θ)∈ {(u,i),(u,q),(i,Ψ),(q,Ψ)}，u 、i 、q 、Ψ分别表示n 维端口电压、电流、电荷、磁链的列向量。

（2）高阶和混合代数多口元件 高阶代数元件满足赋定关系
()()(,)αβ=F u i 0
()
()()
()1
2
T n
u
u
u
αααα⎡⎤=⎣⎦
u
()()()
()
12T
n
i i i ββββ⎡⎤=⎣⎦
i
1.2 网络及元件的基本性质
1.2.1 线性与非线性
1.2.2 时变性与时不变性
1.2.3有源性和无源性
2网络图论的基本理论
2.1图论的基本知识
几个重要的概念：
（1）图：图是拓扑（Topological）图的简称，是节点和支路的一个集合。

2
1
3
4
（2）有向图：所有支路都赋以方向的图。

（3）无向图：未赋以方向的图。

（4）混合图：只有部分支路赋以方向的图。

图并不反映支路之间的耦合关系
⇒
二端元件的图
三端元件的图
双端口元件的图
（5）连通图：如果图G 中的任何两个节点之间都至少存在一条路径，则G 称为连通图(Connected Graph)，否则称为非连通图。

（6）铰链图：由电路中的多口元件造成的非连通图，可以把不连通的各部分中的任一节点(一部分只能取一个节点)之间假设有一条短路线相连。

把这些假设短路线连接的节点合并成一个节点，这样所得的图称为铰链图(Hinged Graph)。

原图 铰链图
（7）子图：如果图G1中的每个节点和每条支路都是G 图中的一部分，则称G1为G 的子图(Subgraph)。

3
34
图 回路 星树 线树 （8）回路、树和割集
1）回路：连通且每个节点都连着两条支路
1
2
⇒
2
1
⇒
2）树：连通、包含所有的节点且不包含回路。

余树或补树：一个图对应树T 的余子图称为余树或补树(Cotree)。

树支和连支：构成树的支路称为树支(Tree Branch or Twig)，其余的支路称为连
支(Chord or Link)。

3）割集：是一组支路。

移去这组支路后，图变为两个分别连通的子图；任意留下这组支路中的一条支路，图仍然是连通的。

割集是把一个连通图分成两个连通的子图所需的最少支路。

（9）基本回路：只含有一条连支的回路（单连支回路）
基本回路数＝连支数
基本回路的方向：回路中连支的方向。

（10）基本割集：只含有一条树支的割集（单树支割集）
基本割集数＝树支数
基本割集的方向：割集中树支的方向。

2.2 图的矩阵表示及其性质
2.2.1 关联矩阵
4
4
44
节点
若把Aa中的任一行划去(相当于相应的节点选作参考点)，剩下的(n－1)×b矩阵足以表征有向图中支路与节点的关联关系，并且(n－1)行是线性无关的。

这种(n－1)×b阶矩阵称为降阶(Reduced)关联矩阵，简称关联矩阵。

（降阶）关联矩阵A的任何阶方子矩阵A0，det A0为0、1或－1。

一个矩阵如果它的每个方子矩阵的行列式值均为＋1、－1或0，则称该矩阵为单模矩阵或幺模矩阵。

2.2.2基本回路矩阵Bf
以2、4、5为树支，1、3、6为连支。

2.2.3基本割集矩阵Qf
2.2.4树的路径矩阵*
2.2.5 矩阵A 、Bf 和 Qf 之间的关系
2.3 网络的互联规律性
2.3.1 基尔霍夫定律
基尔霍夫电流定律(KCL)：电荷守恒 基尔霍夫电压定律(KVL) ：能量守恒 基尔霍夫定律的矩阵形式为
2.3.2 特勒根定理
（1）功率守恒定律
对于一个具有n 个节点、b 条支路的网络，令u b 和 i b 分别表示支路电压列向量和支路电流列向量，且各支路的电压和电流采用关联参考方向，则
0T T b b
b
b ==u i i u 或1
b
k k k u i ==∑
（2）拟功率守恒定理
u b 、i b 和ˆb u
，ˆb i ，则总有：
ˆˆ0T T b b b b ==u i i u
ˆˆ0T T
b b b b ==u i i u 或者
1
ˆb
k k k u i ==∑1
ˆ0
b
k k
k u
i ==∑
（3） 特勒根定理的差分形式
3 网络的灵敏度分析
3.1 灵敏度分析的基本概念
3.1.1 灵敏度分析的意义
为了衡量元器件的参数变化对网络性能的影响，引入灵敏度的概念。

灵敏度分析有助于研究参数变化对网络性能的影响、降低设备费用、网络优化、模型化简。

3.1.2 灵敏度分析的基本概念
（1）灵敏度的定义
网络灵敏度是指网络中“网络函数”对“元件参数”的敏感程度。

“网络函数”、“元件参数”都是广义的。

（2）灵敏度的分类
3.2伴随网络法
画伴随网络的规则
①独立源置零，即电压源用短路代替，电流源用开路代替
②输出支路为短路线，用－1V电压源代替
输出支路为开路线，用1A电流源代替
③互易元件保持不变
④短路的控制支路用受控电压源代替
开路的控制支路用受控电流源代替
受控电压源用短路的控制支路代替
受控电流源用开路的控制支路代替
有量纲的控制系数保持不变
无量纲的控制系数加负号“－”
灵敏度公式
附表
变压器保持不变
CCVS（流控压源）（欧姆）
CCCS（流控流源）（无量纲）
VCVS（压控压源）（无量纲）
VCCS（压控流源）（西门子）
注：无量纲控制系数伴随网络加负号，有量纲的控制系数不变。