3热传导方程的初边值问题(精选、)
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例4 周期初始温度分布 求解热传导方程t
xx u u =,(,0)x t -∞<<+∞>给定初始温度分布
(,0)1cos 2,()u x x x =+-∞<<+∞。
解
4(,)1cos2t u x t e x -=+.
初始高斯温度分布
例 5求解定解问题22
22
0,(,0)
(,0),()kx u u a x t t
x u x e x -⎧∂∂-=-∞<<+∞>⎪∂∂⎨⎪=-∞<<+∞⎩
，
其中常数0k >.
解
22()4(,)()x s a t
u x t s e
ds ϕ--
+∞
-∞
=
⎰
22
2()4x s ks a t
e
e
ds --
+∞
--∞
=
⎰
222
2(41)24ka t s xs x a t
e
ds +-+-
+∞
-∞
=
⎰
222
22224(41)()41414x ka t ka t s x
ka t ka t a t
e
ds +-
+++-
+∞
-∞
=
⎰
22
2
222(41)()41
441
k ka t x x s ka t a t ka t e e
ds
+---+∞
++-∞
=
⎰
2241
k
x ka t e
-
+=
2241
k
x ka t -
+=
.
§3初边值问题
设长度为l ,侧表面绝热的均匀细杆,初始温度与细杆两端的温度已知,则杆上的温度分布
),(t x u 满足以下初边值问题
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<==≤≤=<<<<=-T
t t g t l u t g t u l x x x u T t l x t x f u a u xx t 0),(),(),(),0(,0),
()0,(0,0),,(212ϕ 对于这样的问题,可以用分离变量法来求解.
将边值齐次化
令())()()(),(121t g t g l
x
t g t x U -+= 再作变换
U u V -=
引入新的未知函数,易知它满足
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤==≤≤-=<<<<-=-T t t l V t V l x x U x x V T t l x U t x f V a V t xx t 0,0),(,0),0(,0),
0,()()0,(0,0,),(2ϕ 我们先考虑齐次方程,齐次边界的情形
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥==≤≤=><<=-)
3.3(0,0),(),0()2.3(,0),
()0,()1.3(0,0,02t t l u t u l x x x u t l x u a u xx t ϕ 解 设),()(),(t T x X t x u =代入方程
),()()()(2t T x X a x X t T ''='
,)
()()()(2x X x X t T a t T ''='
这等式只有在两边均等于常数时才成立. 令此常数为λ-,则有
,02
=+'T a T λ （3.4） ,0=+''X X λ （3.5）
先考虑（3.5）,根据边界条件(3.3),)(x X 应当满足边界条件
0)(,0)0(==l X X （3.6）
情形A ：
当0<λ时,方程（3.5）的通解可以写成
12(),X x C C e =+
要使它满足边界条件（3.6）,就必须
,021=+C C
,021=+--
-l
l
e C e
C λλ
由于
,011≠-=---
---l
l
l
l
e
e e
e
λλλλ
只能,021==C C 故在0<λ的情况得不到非平凡解. 情形B ：
当0=λ时,方程（3.5）的通解可以写成
,)(21x C C x X +=
要满足边界条件（3.6）,,0,0211=+=lC C C 即021==C C .
)(x X 也只能恒等于零.
情形C ：
当0>λ时,方程（3.5）的通解具有如下形式：
,sin cos )(21x C x C x X λλ+=
由边界条件,0)0(=X 知,01=C 再由,sin )(2l C l X λ=可知,为了使,02≠C 就必须
,0sin =l λ
于是
),2,1(, ==k k l πλ
),2,1(,22
2 ===k l
k k πλλ （3.7）
这样就找到了一族非零解
),2,1(,sin
)( ==k x l
k C x X k k π
（3.8） 称x l
k C x X k k π
sin
)(=为常微分方程边值问题 ⎩
⎨
⎧==<<=''-0)()0(0,)()(l X X l
x x X x X λ 的固有函数（特征函数）.
而2
2
2l k πλ=
称为相应的固有值（或特征值）.将固有值k λ代入方程（3.4）中,
,02
2
22
=+'T l
k a T π 可得
t
l k a k k e
B t T 2
222
)(π-= （3.9）
于是得到一列可分离变量的特解
),2,1(,sin
),(2
222
==-k x l
k e
A t x u t
l k a k k π
π （3.10） 由于方程（3.1）及边界条件（3.3）都是齐次的,故可利用叠加原理构造级数形式的解
,sin ),(),(1
1
2
∑∑∞
=-∞===k k t
a
k k k x e A t x u t x u k λλ （3.11）