同济大学(高等数学)-第三篇-常微分方程

第三篇 常微分方程

第六章 常微分方程

函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义．但是在许多问题中，常常不能直接找出这种函数关系，但却能根据问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程．

在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法．

第一节 微分方程的概念

下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念．

1．1 引例

引例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点),(y x P 处的切线斜率为x 2，求这条曲线方程．

解 设所求曲线方程为()y f x =，且曲线上任意一点的坐标为),(y x ．根据题意以及导数的几何意义得

x dx

dy

2=. 两边同时积分得

2y x c =+ （c 为任意常数）．

又因为曲线通过（1，2）点，把1x =，2y =代入上式，得1=c ．故所求曲线方程为

21y x =+．

引例2 将温度为C ο100的物体放入温度为C ο0的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的速度与温度T 成正比，求物体的温度T 与时间t 之间的函数关系．

解 依照冷却定律，冷却方程为

kt dt

dT

-= （k 为比例常数）， 所求函数关系满足0t =，100T =．

以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系． 下面我们介绍有关微分方程基本概念．

1.2 微分方程的基本概念

定义1 含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．在微分方程中，若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．若未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程．

例如 下列微分方程中，

（1） 13=-'x y ； （2）sin 0dy y xdx +=； （3）21

()20y y x

'''+

+= （4）22221u u

x y

∂∂+=∂∂； （5）cos 3dy y x dx +=． 都是微分方程，其中（1）、（2）、（3）、（5）是常微分方程，（4）是偏微分方程．

本课程只讨论常微分方程．

定义2 微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶． 在上例中，（1）、（2）、（5）是一阶常微分方程，（3）是二阶常微分方程． 一般地，n 阶微分方程记为：

0) , , , ,()(='n y y y x F ．

定义3 若将()y f x =代入微分方程中使之恒成立，则称()y f x =是微分方程的解（也称显式解）；若将0),(=y x ϕ代入微分方程中使之恒成立，则称关系式0),(=y x ϕ是微分方程的隐式解．

定义4 微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解．

引例1中，积分后得到C x y +=2为微分方程的通解，由于通解中含有任意常数，所以它不能完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数，为此，要根据实际问题，提出确定通解中的常数的条件．

设微分方程中未知函数)(x y y =，如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是

00

y y x x ==；如果微分方程是二阶的确定任意常数的条件是00

y y x x ==，10

y y x x ='=，上述

这些条件叫做初始条件．

定义 5 求解微分方程),(y x f y ='满足初始条件00

y y x x ==的特解问题称为一阶微分

方程的初值问题．记作

⎪⎩⎪⎨⎧=='=00

)

,(y y y x f y x x ．

例1 验证at c at c x sin cos 21+=是微分方程

02=+''x a x

的解．

解 at c at c x sin cos 21+=的一阶导数x '和二阶导数x ''分别是 at a c at a c x cos sin 21+-='，

at a c at a c x sin cos 2221--='' ()at c at c a sin cos 212+-=．

把x '和x ''代入微分方程中，

()++-at c at c a sin cos 212()0sin cos 212≡+at c at c a ．

因此，at c at c x sin cos 21+=是微分方程的解．

如果1c 、2c 是任意常数，则解at c at c x sin cos 21+=是二阶微分方程02

=+''x a x 的

通解．

例2 已知x

e x C C y -+=)(21是微分方程02

22=++y dx

dy

dx y d 的通解，求满足初始条件40==x y ，20-='=x y 的特解．

解 由题意得

x x e x C C C e x C C y ----='+=')(])[(21221，

把40==x y ，20-='=x y 分别代入得

⎩⎨

⎧-=-=24

12

1C C C , 即

⎩⎨

⎧==2

4

21C C ， 于是微分方程的特解为

x e x y -+=)24(．

习题 6-1

1．指出下列各微分方程的阶数．

（1）d d 0x y y x +=； （2）2

()20x y y xy ''-+=；

（3）2y yy y x '''+-= ； （4）2

()y y y x y ''''''+=+；

(5)35

2cos y y y y ''''-=-； (6)

22x y dx

dy

+=；