高一第三讲 分段函数 复合函数 周期性

第三讲 分段函数 复合函数 周期性

一．知识点的回顾

1.周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

（1）函数)(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为

A 、)()(x f T x f -=+

B 、)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=+或

C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)(1)(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）

D 、其他情形

（2）函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+，则可

推出)](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可以得到)(x f y =的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”

（3）如果奇函数满足)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是2T ，且可以推出对称轴为kT T x 22+=

)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称

中心为)0(kT ，

)(z k ∈（以上0≠T ） 如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是2T ，且可以推出对称中心为)0,22

(kT T +)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ （以上0≠T ）

（4）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数

)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。

定理3：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且

()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.

定理4：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.

定理5：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中

b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期.

二．课堂讲解

1、设()1232,2()log 1,2

x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3

2、(2009山东卷)定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f =⎩

⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ， 则)3(f 的值为（ ）

A ．1- B. 2- C. 1 D. 2

3、给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)

4()1()4()21()(x x f x x f x ，则=)3(log 2f （ ） A.823- B. 111 C. 191 D. 24

1 4、函数21sin(),10,(),0.

x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩,若()()21=+a f f ,则a 的所有可能值为（ ） A.1

B. C.1

， D.1

5、（2009天津卷）设函数⎩

⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f ，则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）

A.),3()1,3(+∞⋃-

B.),2()1,3(+∞⋃-

C.),3()1,1(+∞⋃-

D.)3,1()3,(⋃--∞

6、（2010全国卷）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=)10(,62

1)100(,lg )(x x x x x f ，若c b a ,,互不相等，且

)()()(c f b f a f ==，则实数abc 的取值范围是（ ）

A ．)10,1(

B ．)6,5(

C ．)12,10(

D ．)24,20(

7、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩

，则(5)f ＝ 。 8、已知函数)(x f 的解析式为⎪⎩

⎪⎨⎧>+-≤<+≤+=)1(82)10(5)0(53)(x x x x x x x f

（1）画出这个函数的图象； （2）求函数)(x f 的最大值。

三．课堂演练

1、给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)

4()1()4()21()(x x f x x f x ，则=)3(log 2f （ ） A.823- B. 111 C. 191 D. 24

1 2、下列各组函数表示同一函数的是( )

①f(x)=|x|，g(x)=⎩⎨⎧<-≥)

0()0(x x x x ②f(x)=242--x x ，g(x)=x+2③f(x)=2x ，g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+

-x x g(x)=0 x ∈{－1，1} A.①③ B.① C.②④ D.①④

3、设函数1

0221,0,()()1,

0x x f x f x x x -⎧-≤⎪=>⎨⎪>⎩若，则0x 的取值范围是（ ） A ．)1,1(- B ．),1-(+∞

C ．),0()2,(+∞--∞

D ．),1()1,(+∞--∞

4.设函数f(x)=⎩

⎨⎧>≤+)2(,2)2(,22x x x x 则f(－4)=___________,若f(x 0)=8，则x 0=________