高一第三讲 分段函数 复合函数 周期性
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第三讲 分段函数 复合函数 周期性
一.知识点的回顾
1.周期性:对于函数)(x f y =,如果存在一个不为零的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有)()(x f T x f =+都成立,那么就把函数)(x f y =叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。
(1)函数)(x f y =满足如下关系系,则T x f 2)(的周期为
A 、)()(x f T x f -=+
B 、)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=+或
C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)(1)(1)2(x f x f T x f +-=+(等式右边加负号亦成立)
D 、其他情形
(2)函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+,则可
推出)](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可以得到)(x f y =的周期为2(b-a),即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称,则函数一定是周期函数”
(3)如果奇函数满足)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是2T ,且可以推出对称轴为kT T x 22+=
)(z k ∈,根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称
中心为)0(kT ,
)(z k ∈(以上0≠T ) 如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是2T ,且可以推出对称中心为)0,22
(kT T +)(z k ∈,根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ (以上0≠T )
(4)如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+(0≠T ),则函数
)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。
如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+(0≠T ),则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。
定理3:若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(,且
()x b f x b f -=+)((其中b a ≠),则函数()x f y =以()b a -2为周期.
定理4:若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(,且()x b f x b f --=+)((其中b a ≠),则函数()x f y =以()b a -2为周期.
定理5:若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(,且()x b f x b f --=+)((其中
b a ≠),则函数()x f y =以()b a -4为周期.
二.课堂讲解
1、设()1232,2()log 1,2
x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩,则((2))f f 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
2、(2009山东卷)定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f =⎩
⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x , 则)3(f 的值为( )
A .1- B. 2- C. 1 D. 2
3、给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)
4()1()4()21()(x x f x x f x ,则=)3(log 2f ( ) A.823- B. 111 C. 191 D. 24
1 4、函数21sin(),10,(),0.
x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩,若()()21=+a f f ,则a 的所有可能值为( ) A.1
B. C.1
, D.1
5、(2009天津卷)设函数⎩
⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f ,则不等式)1()(f x f >的解集是( )
A.),3()1,3(+∞⋃-
B.),2()1,3(+∞⋃-
C.),3()1,1(+∞⋃-
D.)3,1()3,(⋃--∞
6、(2010全国卷)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=)10(,62
1)100(,lg )(x x x x x f ,若c b a ,,互不相等,且
)()()(c f b f a f ==,则实数abc 的取值范围是( )
A .)10,1(
B .)6,5(
C .)12,10(
D .)24,20(
7、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩
,则(5)f = 。
8、已知函数)(x f 的解析式为⎪⎩
⎪⎨⎧>+-≤<+≤+=)1(82)10(5)0(53)(x x x x x x x f
(1)画出这个函数的图象; (2)求函数)(x f 的最大值。
三.课堂演练
1、给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)
4()1()4()21()(x x f x x f x ,则=)3(log 2f ( ) A.823- B. 111 C. 191 D. 24
1 2、下列各组函数表示同一函数的是( )
①f(x)=|x|,g(x)=⎩⎨⎧<-≥)
0()0(x x x x ②f(x)=242--x x ,g(x)=x+2③f(x)=2x ,g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+
-x x g(x)=0 x ∈{-1,1} A.①③ B.① C.②④ D.①④
3、设函数1
0221,0,()()1,
0x x f x f x x x -⎧-≤⎪=>⎨⎪>⎩若,则0x 的取值范围是( ) A .)1,1(- B .),1-(+∞
C .),0()2,(+∞--∞
D .),1()1,(+∞--∞
4.设函数f(x)=⎩
⎨⎧>≤+)2(,2)2(,22x x x x 则f(-4)=___________,若f(x 0)=8,则x 0=________
5、f ( x) = 2 x + 1 ,求f ( x + 1)
6. 换元法
21
(31)
34
x
f x
x
+
+=
-
,求 f ( x) 解析式。
7. 配凑法f (3x +1) = 9 x2- 6 x + 5 ,求f ( x) 解析式。
8. 消元法f ( x) +2 f (- x) = x -1 ,求 f ( x) 解析式。