计量地理学 第二节 回归分析.

二、多元线性回归模型

回归模型的建立
① 多元线性回归模型的结构形式为
ya 0 1 x1a 2 x2a k xka a （3.2.11）
式中：
0
, 1 ,, k
为待定参数； a 为随机变
量。
② 回归方程: 如果 b0 , b1 ,, bk 分别为式（3.2.11）中
2 i 1 n i 1
nຫໍສະໝຸດ Baidu
n
b 2 ( xi x ) 2 b 2 Lxx bLxy
i 1
称为回归平方和。
③ 统计量F
F U Q n2
（3.2.10）
④ F越大，模型的效果越佳。统计量 F ～ F （ 1 ， n-2 ）。在显著水平 α 下，若 F>Fα ，则认为回归方程效果在此水平下 显著。一般地，当 F<F0.10(1,n-2) 时，则 认为方程效果不明显。
（3.2.6）
（二）一元线性回归模型的显著性检验
① 方法：F 检验法。 ② 总的离差平方和：在回归分析中，表示y 的n次观测值之间的差异，记为
S 总 L yy
2 ( y y ) i i 1 n
（3.2.8）
可以证明
S 总 L yy
n 2 ( y y ) i i 1 2 n n
（3.2.4）
③ 解上述正规方程组（3.2.4）式， 得到参数a与b的拟合值
ˆx ˆ y b a
ˆ b L xy L xx
n
（3.2.5）

(x
i 1 n
n
i
x )( y i y )
2 ( x x ) i i 1
n 1 n xi y i ( xi )( y i ) n i 1 i 1 i 1 n n 1 2 2 x ( x ) i i n i 1 i 1
第2节 回归分析
一元线性回归模型
多元线性回归模型
非线性回归模型
一、一元线性回归模型
定义：假设有两个地理要素（变量）x 和y，x为自变量，y为因变量。则一元线性 回归模型的基本结构形式为
y a bx
（3.2.1）
1,2,, n 为 式中：a和b为待定参数； 各组观测数据的下标； a为随机变量。
ˆ 分别为参数a与b的拟合值， 记a ˆ和b 则一元线性回归模型为
ˆx ˆ a ˆ b y
（3.2.2）
（ 3.2.2 ）式代表 x 与 y 之间相关关系的拟合 ˆ 是 y 的估计值，亦 直线，称为回归直线； y 称回归值。
（一）参数a、b的最小二乘估计
① 参数 a 与 b 的最小二乘拟合原则要求 yi ˆi 与y 的误差ei的平方和达到最小，即
0 , 1 , 2 ,, k 的拟和值，则回归方程为
ˆ b0 b1 x1 b2 x2 bk xk y
（3.2.12）
在（3.2.12）式中，b0为常数，b1,b2,…bk 称为偏回归系数。偏回归系数的意义是，当其 他自变量都固定时，自变量 x i 每变化一个单 位而使因变量平均改变的数值。
方程组（3.2.14）式经展开整理后得
n n n n nb0 ( x1a )b1 ( x2 a )b2 ( xka )bk ya a 1 a 1 a 1 a 1 n n n n n 2 ( x1a )b0 ( x1 )b1 ( x1a x2 a )b2 ( x1a xka )bk x1a ya a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 n n n n n 2 ( x2 a )b0 ( x1a x2 a )b1 ( x2 a )b2 ( x2 a xka )bk x2 a ya a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 n n n n n ( x )b ( x x )b ( x x )b .... ( x 2 )b x y ka 0 1a ka 1 2 a ka 2 ka k ka a a 1 a 1 a 1 a 1 a 1
③ 偏回归系数的推导过程:根据最小 二乘法原理， i (i 0,1,2,, k ) 的估计值 b （ , k） i i 0,1,2, 应该使
ˆ a ) [ y a (b0 b1 x1a b2 x2 a bk xka )]2 min（3.2.13） Q ( ya y
ˆ i ) 2 ( yi a bxi ) 2 min Q ei2 ( yi y
i 1 i 1 i 1 n n n
（3.2.3）
② 根据取极值的必要条件，有
n ( y i a bxi ) 0 i 1 n ( y i a bxi ) xi 0 i 1
（3.2.9）
ˆi ) ( y ˆ i y) 2 Q U ( yi y
i 1 i 1
在式（3.2.9）中，Q称为误差平方和，或剩余平方和
ˆi )2 Q ( yi y
i 1
n
而
ˆ i yi ) (a bxi a bx ) 2 U (y
2 a 1 a 1 n n
由求极值的必要条件得
n Q ˆa ) 0 b 2 ( y a y a 1 0 n Q ˆ a ) x ja 0 2 ( y a y a 1 b j
（3.2.14）
( j 1,2, , k )
（3.2.15)
方程组（3.2.15）式称为正规方程组。 引入矩阵
X 1 x 11 x21 T A X X xk 1
1 1 1
x11 x12 x13