高二人教B版数学选修1-1课件2-2-2双曲线的几何性质 49张

x2 2 解法二： 因为所求双曲线与已知双曲线 2 －y ＝1 有公 x2 y2 共的渐近线，故可设双曲线方程为 2 － 1 ＝λ，代入点(2， －2)，得 λ＝－2. x2 2 y2 x2 ∴所求双曲线的方程为 －y ＝－2，即 － ＝1. 2 2 4 x2 2 [说明] 由于双曲线 2 －y ＝1 的渐近线方程为 y＝
3 直线 l 过点(a,0)，(0，b)，且原点到直线 l 的距离为 4 c， 求双曲线的离心率．
[解析] 由 l 过(a,0)，(0，b)两点，得 l 的方程为 bx＋ay 3 ab 3 －ab＝0.由原点到 l 的距离为 c，得 2 2 ＝ 4 c. 将 b＝ 4 a ＋b
2 2 2 a a a c2－a2代入，平方后，整理得 16( 2 )2－16·2 ＋3＝0，令 2＝ c c c
使学生进一步体会曲线与方程的对应关系，感受圆锥 曲线在刻画现实世界和解决问题中的作用，从而培养学生 分析、归纳、类比、推理等能力．
本节重点：双曲线的几何性质，双曲线各元素之间的 相互依存关系，特别是双曲线的渐近线性质．
本节难点：有关双曲线的离心率、渐近线的问题，数
形结合思想、方程思想、等价转化思想的运用．
F1(－c,0)、F2(c,0)
F1(0，－c)、F2(0，c)
|F1F2|＝2c x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R (－a,0)、(a,0) (0，－a)、(0，a)
关于x轴、y轴和原点对称
实轴长＝ 2a ，虚轴长＝ 2b .
e＝(e>1)
[例 1]
x2 2 求过点(2， －2)且与 2 －y ＝1 有公共渐近线的
双曲线的方程． b 2 [解析] 解法一：当焦点在 x 轴上时，由于 ＝ ， a 2
x2 y2 故可设方程为2b2－b2＝1，代入点(2，－2)，得 b2＝－2(舍 a 2 y2 去)．当焦点在 y 轴上时，可知b＝ 2 ，故可设方程为a2－ x2 2 2＝1，代入点(2，－2)，得 a ＝2，∴所求双曲线方程为 2a y2 x2 2 － 4 ＝1.
由 a2＋b2＝c2 得|4λ|＋|λ|＝25，即 λ＝± 5. x2 y2 y2 x2 ∴所求双曲线方程为20－ 5 ＝1 或 5 －20＝1.
[例 2]
3 已知双曲线的渐近线方程为 y＝± x，求此双 4
b 当焦点在 x 轴上时， 其渐近线方程为 y＝± x， a
曲线的离心率．
[解析]
b 3 3 5 c 2 2 依题意，得 ＝ ，b＝ a，c＝ a ＋b ＝ a，∴e＝ ＝ a 4 4 4 a 5 4； a 当焦点在 y 轴上时，其渐近线方程为 y＝± x， b
2 ± 2 x，但焦点的位置不确定，所以应进行分类讨论．
1 已知双曲线的渐近线方程为 y＝± 2x，焦距为 10，求 双曲线方程．
[解析] 解法 1：当焦点在 x 轴上时，设所求双曲线 x2 y2 1 方程为a2－b2＝1，由渐近线方程为 y＝± 2x 得， b 1 2 2 2 2 2 ＝ ， 2 c ＝ 10 ，由 c ＝ a ＋ b 得 a ＝ 20 ， b ＝5. a 2 x2 y2 ∴双曲线方程为 － ＝1. 20 5
a 3 4 5 c 2 2 依题意，得b＝4，b＝3a，c＝ a ＋b ＝3a，∴e＝a＝ 5 . 3 5 5 ∴此双曲线的离心率为4或3.
[说明] 本题的主线是渐近线与离心率的关系，注意 对焦点在x轴或y轴上两种进行分类讨论．
[例 3]
x2 y2 已知双曲线 2－ 2＝1(0<a<b)的半焦距为 c， a b
4．根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法： 把标准方程中“1”用“0”替换得出的两条直线方程，即 x2 y2 x2 y2 双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为a2－b2＝0 即 y b y2 x2 y2 x2 ＝± x；双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 2－ 2 a a b a b a ＝0，即 y＝± bx. 5．根据双曲线的渐近线方程求双曲线方程的方法：如
果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程为 A2x2－B2y2＝m(m≠0)，这里m是待定系数，其值可由题目中
的已知条件确定．
双曲线的几何性质
x2 y2 y 2 x2 － ＝1(a>0， b>0) 2－ 2＝1(a>0， b>0) a2 b2 a b
标准方程
图形
焦点 焦距 范围 性 质 顶点 对称性 轴长 渐近线 离心率
1．知识与技能 了解双曲线的几何性质，并会应用于实际问题之 中．会利用双曲线的定义、标准方程、几何性质及图形四 者之间的内在联系，分析和解决实际问题．
2．过程与方法
在与椭圆的性质类比中获得双曲线的几何性质，进一 步体会数形结合的思想．掌握利用方程研究曲线的性质的 基本方法．
3．情感、态度与价值观
3 1 c x，则 16x －16x＋3＝0，解得 x＝4或 x＝4，而 e＝a，所以有
2
e＝
a2＋b2 1 2 3 c ＝ x ，故 e＝ 3 或 e＝ 2, 0<a<b ，故 e＝ a ＝ a
b2 2 3 1＋a2> 2，所以 e＝ 3 应舍去，故所求离心率 e＝2.
[说明]
1．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，利
用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确， 只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的 近似图形． 2．要明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实
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轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，
它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的 渐近线． 3．要理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外 延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的．
同理，当焦点在 y 轴上时，可得双曲线方程为 y2 x2 5 －20＝1. x2 y2 y2 x2 即所求双曲线方程为 － ＝1 或 － ＝1. 20 5 5 20 1 x2 解法 2： 由渐近线方程为 y＝± 2x 可设双曲线方程为 4
2 2 x y －y2＝λ(λ≠0)，即 － ＝1. 4λ λ