数字信号处理课后答案

5．设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2)

（2）y(n)=2x(n)+3

（3）y(n)=x(n－n0)n0为整常数

（4）y(n)=x(－n) （5）y(n)=x2(n)

（6）y(n)=x(n2) （7）y(n)=（8）y(n)=x(n)si n(ωn)

解：（1）令输入为x(n－n0)

输出为y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2)

y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)

=y′(n)

故该系统是非时变系统。因为

y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］

=ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］

+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］

T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2)

T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)

所T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］

故该系统是线性系统。

6）y(n)=x(n2)

令输入为x(n－n0)

输出为y′(n)=x((n－n0)2)

y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n)

故系统是非时变系统。由于

T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2)

=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］

故系统是线性系统。

8）y(n)=x(n) sin(ωn)

令输入为x(n－n0)

输出为y′(n)=x(n－n0) sin(ωn)

y(n－n0)=x(n－n0) sin［ω(n－n0)］≠y′(n)

故系统不是非时变系统。由于

T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n) sin(ωn)+bx2(n) sin(ωn)

=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］

故系统是线性系统。

14．求出以下序列的Z变换及收敛域:

(1) 2－nu(n) (2) －2－nu(－n－1)

解

(3) 2－nu(－n) (4) δ(n)

(5) δ(n－1) (6) 2－n［u(n)－u(n－10)］

2

1 21121222)1(2)]1(2[ZT 1111<-=--=-=-=

---=

-----∞=-∞--=--∞-∞=--∑∑∑z z z z z z z n u n u n n n n n n n n n n 21 2112)(2)](2[ZT 1

10>-===

--∞=--∞-∞=---∑∑z z z z n u n u n n n n n n n (2) ∞<--==-------=--∑ 0 2121 2))]10()((2[ZT 1110

109

0z z

z z n u n u n

n n n 21 2112 2)(2)](2[ZT 00<-==

=-=

-∑∑∑∞=-∞=--∞-∞=---z z z z z n u n u n n n n n n n n n n (3) (4) ZT ［δ(n)］=10≤|z|≤∞

(5) ZT ［δ(n －1)］=z －10<|z|≤∞

(6)

2

1 21121222)1(2)]1(2[ZT 1111<-=--=-=-=

---=

-----∞=-∞--=--∞-∞=--∑∑∑z z z z z z z n u n u n n n n n n n n n n