北京四中初二分式的基本概念和分式乘除

分式的基本概念和分式乘除

编稿：范兴亚审稿：张扬责编:高伟

知识要点梳理

在学习“分式”这一章内容时，要注意以下数学思想方法的运用，以加深对知识的深刻领悟与灵活应用.

要点一：类比

类比主要是通过对形式的相似进行对比，找出其内在的联系，利用旧知识学习新知识的方法.在运用类比时，首先注意的是求同.

定义的类比

学习分式的定义时，可类比分数的定义.见表1：

基本性质的类比

学习分式的基本性质时，可类比分数的基本性质.见表2：

运算顺序的类比

分式的加、减、乘、除混合运算的顺序，与分数的混合运算顺序一样，应先进行乘除运

算，再进行加减运算.

要点二：转化思想

将未知的问题转化为在已有知识和方法的范围内可解决的问题，是解决数学问题的基本思路和途径，是一种重要的数学思想方法.

例如，在进行异分母分式的加减运算时，我们首先就要将异分母转化为同分母，转化的关键则是通分.

要点三：特殊值法

如果一个命题在一般情况下正确，那么在特殊情况下必正确；在特殊情况下错误，在一般情况下必错误.根据这一原理，在解决一些客观题时，将其字母数值化，即取特殊值，会使问题的解决变得简便、巧妙而合理.

经典例题精析

类型一：分式的乘除

初学分式的乘除，大家比较容易出错.那么针对容易出错的地方，可以总结易错点的应对技巧.此技巧可简化成口诀：一步定号、见除化乘、顺序排列、分离公因式、约分到最简、遇分子和分母多项式和差化积、加括号、相同的因式放在对应的位置上、降幂排列首项为正、补全分母1.大家按照这个方法操作“想错都难了”.

1.

解析：思路点拨：

原式=------分子、分母的积按26个英文字母的顺序排列

=------分离出分子、分母的公因式

=------约分后得到最简分式

2.

解析：思路点拨：

原式=------ 一步定（符）号，见除化乘

……

=

3.

解析：思路点拨：

原式=------遇分子、分母为多项式时将分子、分母和差化积，

并将加括号作为一个因式存在

=------尽可能把分子、分母中相同的因式放在对应的位置上，

以利于分离出分子、分母的公因式

……

=

4.

解析：思路点拨：

原式=------将多项式按的降幂排列，并使它的首项为正

=------ 一步定号，见除化乘，

补全分母1

……

=

类型二：给定条件的分式求值

1 若，求的值.

思路点拨：本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．

解析：

（法1）因为，所以，，都不为零．

原式=

=

=

=

（法2）因为，所以，，．

原式=

=

=

（法3）因为，得，将其代入原式

原式=

=

2 若，求的值.

思路点拨:利用比例的性质解决分式问题；或运用参数法.

解析：

（法1）（1）若，由等比定理有

=1

所以，，

于是有

(2)若，则

，，，

于是有

（法2 ）设

则，①

，②

．③

由①+②+③，得，

所以，

故有或．

当时，

当时，

总结升华：

（1）比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．

（2）引进一个参数表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．