高中数学必修二4.3.1空间直角坐标系教案新人教A版必修2
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.3.1 空间直角坐标系
（一）导入新课 思路 1. 大家先来思考这样一个问题 , 天上的飞机的速度非常的快 , 即使民航飞机速度也
非常快 , 有很多飞机时速都在 1 000 km 以上 , 而全世界又这么多 , 这些飞机在空中风驰电掣 , 速度是如此的快 , 岂不是很容易撞机吗？但事实上 , 飞机的失事率是极低的 , 比火车 , 汽车要 低得多 , 原因是 , 飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行 , 而在划定某条航线时 , 不仅要指出 航线在地面上的经度和纬度 , 还要指出航线距离地面的高度 . 为此我们学习空间直角坐标系 , 教师板书课题 : 空间直角坐标系 .
们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面
, 我们又得到三个坐标平面 xOy 平面 ,yOz 平
面,zOx 平面 .
由此我们知道 , 确定空间直角坐标系必须有三个要素 , 即原点、坐标轴方向、单位长 .
1
图1 图 1 表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定 . 用右手握住 z 轴 , 当右手的四个手指从 x 轴正向以 90°的角度转向 y 轴的正向时 , 大拇指的指向就是 z 轴的正向 . 我们称这种坐标系 为右手直角坐标系 . 如无特别说明 , 我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系 . 注意 : 在平面上画空间直角坐标系 O— xyz 时 , 一般使∠ xOy=135°, ∠xOy=90°. 即用斜 二测画法画立体图 , 这里显然要注意在 y 轴和 z 轴上的都取原来的长度 , 而在 x 轴上的长度取 原来长度的一半 . 同学们往往把在 x 轴上的长度取原来的长度 , 这就不符和斜二测画法的约 定, 直观性差 . ⑤观察图 2, 建立了空间直角坐标系以后 , 空间中任意一点 M就可以用坐标来表示了 . 已知 M为空间一点 . 过点 M作三个平面分别垂直于 x 轴、 y 轴和 z 轴, 它们与 x 轴、 y 轴 和 z 轴的交点分别为 P、 Q、 R, 这三点在 x 轴、 y 轴和 z 轴上的坐标分 别为 x,y,z. 于是空间 的一点 M就唯一确定了一个有序数组 x,y,z. 这组数 x,y,z 就叫做点 M的坐标 , 并依次称 x,y,z 为点 M的横坐标 . 纵坐标和竖坐标 . 坐标为 x,y,z 的点 M通常记为 M(x,y,z).
立一个坐标系即空间直角坐标系 , 以 O为原点 , 分别以射线 OA,OC,O′D 的方向为正方向 , 以线
段 OA,OC,O′D 的长为单位长度 , 建立三条数轴 Ox,Oy,Oz 称为 x 轴、 y 轴和 z 轴 , 这时我们说
建立了一个空间直角坐标系 O— xyz, 其中 O 叫坐标原点 ,x 轴、 y 轴和 z 轴叫坐标轴 . 如果我
数 x 来表示 .
②在初中 , 我们学过平面直角坐标系 , 平面直角坐标系是以一点为原点 O, 过原点 O 分别
作两条互相垂直的数轴 Ox 和 Oy,xOy 称平面直角坐标系 , 平面直角坐标系具有以下特征：两
条数轴： ①互相垂直 ; ②原点重合 ; ③通常取向右、 向上为正方向 ; ④单位长度一般取相同的 .
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①在初中 , 我们学过数轴 , 那么什么是数轴 ?决定数轴的因素有哪些 ?数轴上的点怎样表
示?
②在初中 , 我们学过平面直角坐标系 , 那么如何建立平面直角坐标系 ?决定平面直角坐标
系的因素有哪些 ?平面直角坐标系上的点怎样表示 ?
③在空间 , 我们是否可以建立一个坐标系 , 使空间中的任意 一点都可用对应的有序实数
思路 2. 我们知道数轴上的任意一点 M都可用对应一个实数 x 表示 , 建立了平面直角坐标 系后 , 平面上任意一点 M都可用对应一对有序实数 (x,y) 表示 . 那么假设我们建立一个空间直 角坐标系时 , 空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组 (x,y,z) 表示出来呢？为此我们 学习空间直角坐标系 , 教师板书课题 : 空间直角坐标系 .
图2
反过来 , 一个有序数组 x,y,z, 我们在 x 轴上取坐标为 x 的点 P, 在 y 轴上取坐标为 y 的点
Q,在 z 轴上取坐标为 z 的点 R,然后通过 P、Q与 R 分别作 x 轴、y 轴和 z 轴的垂直平面 . 这三
个垂直平面的交点 M即为以有序数组 x,y,z 为坐标的点 . 数 x,y,z 就叫做点 M的坐标 , 并依次
Leabharlann Baidu
在 x 轴上 , 则 y=z=0 ；如果点 M在 y 轴上 , 则 x=z=0；如果点 M在 z 轴上 , 则 x=y=0；如果 M是
原点 , 则 x=y=z=0.
空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定
, 因此 , 常称我们生活的空
间为“三度空间或三维空间” . 事实上 , 我们的生活空间应该是四度空间 , 应加上时间变量 t.
平面直角坐标系上的点用它对应的横、 纵坐标表示 , 括号里横坐标写在纵坐标的前面 , 它们是
一对有序实数 (x,y).
③在空间 , 我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系
, 即空间直角坐标系 , 空间
中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来
.
④观察图 2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体 , 我们类比平面直角坐标系的建立来建
称 x,y 和 z 为点 M的横坐标、纵坐标和竖坐标 .( 如图 2 所示 )
坐标为 x,y,z 的点 M通常记为 M(x,y,z). 我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立
了空间的点 M和有序数组 x,y,z 之间的一一对应关系 .
注意： 坐标面 上和坐标轴上的点 , 其坐标各有一定的特征 .
如果点 M在 yOz 平面上 , 则 x=0；同样 ,zOx 面上的点 ,y=0 ；xOy 面上的点 ,z=0 ；如果点 M
组表示出来呢？
④观察图 1, 体会空间直角坐标系该如何建立 .
⑤观察图 2, 建立了空间直角坐标系以后 , 空间中任意一点 M如何用坐标表示呢？
讨论结果： ①在初中 , 我们学过数轴是规定了原点、 正方向和单位长度的直线 . 决定数轴 的因素有原点、正方 向和单位长度 . 这是数轴的三要素 . 数轴上的点可用与这个点对应的实
（一）导入新课 思路 1. 大家先来思考这样一个问题 , 天上的飞机的速度非常的快 , 即使民航飞机速度也
非常快 , 有很多飞机时速都在 1 000 km 以上 , 而全世界又这么多 , 这些飞机在空中风驰电掣 , 速度是如此的快 , 岂不是很容易撞机吗？但事实上 , 飞机的失事率是极低的 , 比火车 , 汽车要 低得多 , 原因是 , 飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行 , 而在划定某条航线时 , 不仅要指出 航线在地面上的经度和纬度 , 还要指出航线距离地面的高度 . 为此我们学习空间直角坐标系 , 教师板书课题 : 空间直角坐标系 .
们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面
, 我们又得到三个坐标平面 xOy 平面 ,yOz 平
面,zOx 平面 .
由此我们知道 , 确定空间直角坐标系必须有三个要素 , 即原点、坐标轴方向、单位长 .
1
图1 图 1 表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定 . 用右手握住 z 轴 , 当右手的四个手指从 x 轴正向以 90°的角度转向 y 轴的正向时 , 大拇指的指向就是 z 轴的正向 . 我们称这种坐标系 为右手直角坐标系 . 如无特别说明 , 我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系 . 注意 : 在平面上画空间直角坐标系 O— xyz 时 , 一般使∠ xOy=135°, ∠xOy=90°. 即用斜 二测画法画立体图 , 这里显然要注意在 y 轴和 z 轴上的都取原来的长度 , 而在 x 轴上的长度取 原来长度的一半 . 同学们往往把在 x 轴上的长度取原来的长度 , 这就不符和斜二测画法的约 定, 直观性差 . ⑤观察图 2, 建立了空间直角坐标系以后 , 空间中任意一点 M就可以用坐标来表示了 . 已知 M为空间一点 . 过点 M作三个平面分别垂直于 x 轴、 y 轴和 z 轴, 它们与 x 轴、 y 轴 和 z 轴的交点分别为 P、 Q、 R, 这三点在 x 轴、 y 轴和 z 轴上的坐标分 别为 x,y,z. 于是空间 的一点 M就唯一确定了一个有序数组 x,y,z. 这组数 x,y,z 就叫做点 M的坐标 , 并依次称 x,y,z 为点 M的横坐标 . 纵坐标和竖坐标 . 坐标为 x,y,z 的点 M通常记为 M(x,y,z).
立一个坐标系即空间直角坐标系 , 以 O为原点 , 分别以射线 OA,OC,O′D 的方向为正方向 , 以线
段 OA,OC,O′D 的长为单位长度 , 建立三条数轴 Ox,Oy,Oz 称为 x 轴、 y 轴和 z 轴 , 这时我们说
建立了一个空间直角坐标系 O— xyz, 其中 O 叫坐标原点 ,x 轴、 y 轴和 z 轴叫坐标轴 . 如果我
数 x 来表示 .
②在初中 , 我们学过平面直角坐标系 , 平面直角坐标系是以一点为原点 O, 过原点 O 分别
作两条互相垂直的数轴 Ox 和 Oy,xOy 称平面直角坐标系 , 平面直角坐标系具有以下特征：两
条数轴： ①互相垂直 ; ②原点重合 ; ③通常取向右、 向上为正方向 ; ④单位长度一般取相同的 .
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①在初中 , 我们学过数轴 , 那么什么是数轴 ?决定数轴的因素有哪些 ?数轴上的点怎样表
示?
②在初中 , 我们学过平面直角坐标系 , 那么如何建立平面直角坐标系 ?决定平面直角坐标
系的因素有哪些 ?平面直角坐标系上的点怎样表示 ?
③在空间 , 我们是否可以建立一个坐标系 , 使空间中的任意 一点都可用对应的有序实数
思路 2. 我们知道数轴上的任意一点 M都可用对应一个实数 x 表示 , 建立了平面直角坐标 系后 , 平面上任意一点 M都可用对应一对有序实数 (x,y) 表示 . 那么假设我们建立一个空间直 角坐标系时 , 空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组 (x,y,z) 表示出来呢？为此我们 学习空间直角坐标系 , 教师板书课题 : 空间直角坐标系 .
图2
反过来 , 一个有序数组 x,y,z, 我们在 x 轴上取坐标为 x 的点 P, 在 y 轴上取坐标为 y 的点
Q,在 z 轴上取坐标为 z 的点 R,然后通过 P、Q与 R 分别作 x 轴、y 轴和 z 轴的垂直平面 . 这三
个垂直平面的交点 M即为以有序数组 x,y,z 为坐标的点 . 数 x,y,z 就叫做点 M的坐标 , 并依次
Leabharlann Baidu
在 x 轴上 , 则 y=z=0 ；如果点 M在 y 轴上 , 则 x=z=0；如果点 M在 z 轴上 , 则 x=y=0；如果 M是
原点 , 则 x=y=z=0.
空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定
, 因此 , 常称我们生活的空
间为“三度空间或三维空间” . 事实上 , 我们的生活空间应该是四度空间 , 应加上时间变量 t.
平面直角坐标系上的点用它对应的横、 纵坐标表示 , 括号里横坐标写在纵坐标的前面 , 它们是
一对有序实数 (x,y).
③在空间 , 我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系
, 即空间直角坐标系 , 空间
中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来
.
④观察图 2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体 , 我们类比平面直角坐标系的建立来建
称 x,y 和 z 为点 M的横坐标、纵坐标和竖坐标 .( 如图 2 所示 )
坐标为 x,y,z 的点 M通常记为 M(x,y,z). 我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立
了空间的点 M和有序数组 x,y,z 之间的一一对应关系 .
注意： 坐标面 上和坐标轴上的点 , 其坐标各有一定的特征 .
如果点 M在 yOz 平面上 , 则 x=0；同样 ,zOx 面上的点 ,y=0 ；xOy 面上的点 ,z=0 ；如果点 M
组表示出来呢？
④观察图 1, 体会空间直角坐标系该如何建立 .
⑤观察图 2, 建立了空间直角坐标系以后 , 空间中任意一点 M如何用坐标表示呢？
讨论结果： ①在初中 , 我们学过数轴是规定了原点、 正方向和单位长度的直线 . 决定数轴 的因素有原点、正方 向和单位长度 . 这是数轴的三要素 . 数轴上的点可用与这个点对应的实