高考数学冲刺专题复习之均值不等式教师版

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文档大全高考数学（文）冲刺专题复习之——均值不等式

一、知识点梳理

1、均值不等式

（1）基本不等式：若a,b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）

（2）均值不等式：若a,b∈R+，则2211222babaabba??????（当且仅当a=b时取“=”号）

①（一正）0,0??ba；

②（二定：积定和最小，和定积最大）若sba??，则ab有最大42s值；若pab?，则ba?有最小p2值；

③（三相等）当且仅当a=b时取“=”号；

（3）均值不等式的推广（三个数的均值不等式）：若,,abcR??，则abc??

≥33abc（等号仅当abc??时成立）

2、均值不等式的变形

①ab≤22ab???????≤222ab?；②abc

≤33abc????????；

3、二个重要不等式：

①若a,b同号，则2??baab（当且仅当a=b时取“=”号）

②若x∈R+，则12xx??（当且仅当1x?时取“=”号）

4、由不等式求最值的方法：

（1）、积定，求和最小值：①基本不等式a2+b2≥2ab ②

2abab??

（2）、和定，求积最大值：ab≤2ab?ab（≤22ab???????）（3）、和定，求和与积的最大、最小：①2ab?≤222ab?

②ab≤222ab?

5. 不等式解法⑴整式不等式：①??0axba??；②????200axbxca?????——图

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文档大全像法

③高次不等式：()()()0mxaxbxc????——穿根法(系数正化、轴上标根、穿根取解)

⑵分式不等式：①()()0()0()0()fxgxfxgxgx???????（分→整）；

②()()()fxhxgx?()()()0()fxgxhxgx???；

⑶绝对值不等式：①()fxa?（0a?）()afxa????；

②()fxa?（0a?）()fxa??或()fxa??．（若a换为()gx可仿上处理）．

6.简单的线性规划

⑴二元一次不等式（组）表示的平面区域及判定方法；

⑵可行域：满足约束条件（不等式组）所表示的平面区域；

⑶目标函数：关于,xy的函数解析式；

⑷线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。

⑸解线性规划问题的一般步骤：设未知数、列出约束条件、建立目标函数、求最优解。

二、考点、题型及方法

考点1 均值不等式

1、设,xyR?,且0xy?，则222211()(4)xyyx??的最小值为

。

2、（重庆）已知0,0,2abab????，则14yab??的最小值是

（A）72（B）4 （C）92（D）5

（C）

3、（10 山东）若对任意0x?，231xaxx??≤，则实数a的取值范围是 . 【解】因为0x?，所以12xx?≥（当且仅当1x?时等号成立），

则21111312353xxxxx??????≤=，即231xxx??的最大值为15，故15a≥. 4、（四川）设0abc???，则

221121025()aaccabaab?????的最小值是w_w w. k#s5_u.c o*m

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文档大全（A）2 （B）4 （C）25（D）5 【解】221121025()aaccabaab?????

＝2211(5)()acaabababaab??????? w_w_w.k*s 5*u.c o*m

＝211(5)()()acabaababaab???????

0224????

当且仅当??50,1,1acabaab?????时等号成立

如取222,,25abc???满足条件. （B）

5、（上海）若,abR?，且0ab?，则下列不等式中，恒成立的是（）（A）222abab??（B）2abab??

（C）112abab??（D）2baab??

（D）

6、（重庆）已知0,0,228xyxyxy?????，则2xy?的最小值是（）

（A）3 （B）4 （C）92（D）112

【解】考察均值不等式

????0322422?????yxyx

2228)2(82?????????????yxyxyx，整理得

即????08242?????yxyx，又02??yx，42???yx

7、（1）求22614xyx???的最大值。（2）求函数2241yxx???

的最小值。

【解】（1）222222616166334(1)32311xxyxxxx?????????????，

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文档大全即y的最大值为3，当且仅当2311xx???时，即22x?，2x??时取得最大值。

（2）222244112413.11yxxxx????????????

?y的最小值为3，当且仅当22411xx???，即22(1)4x??，212x??，1x??时取得最小值。

8、已知125xy????，求xy?的最小值

【解】法1：（换元法）令1,2uxvy????，即在5uv??时，

??22212uvuv???，所以

2222121xyuvuv????????取最小值。因为

22252uv??。所以222712uv???。当uv??52，即2133,44xy??时，xy?有最小值是272

法2：

??????????1212=25112=22xyxyxyxyxy??????????????????

所以，272xy??

训练xyR?、,1x y??，求21+21xy??的最大值。