2021年高考数学高分套路 超几何分布(解析版)

超几何分布

一．离散型随机变量的概率分布

(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．

(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，则称表

为离散型随机变量X的概率分布表．

(3)离散型随机变量的概率分布的性质：

①p i≥0，i＝1,2，…，n；

②p1＋p2＋…＋p i＋…＋p n＝1.

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

二．两点分布

如果随机变量X的概率分布表为

其中0

三．超几何分布

1.概念：一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝r )＝C r M C n －r

N －M

C n N

(r ＝0,1,2，…，l )．即

其中l ＝min(M ，n )，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *

.

如果一个随机变量X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．

2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数；

③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X 的概率分布 四．离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：

（1）称1122()n n E X x p x p x p =++⋅⋅⋅+为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称2

1

()(())

n

i

i i D X x E X p ==

-∑为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏

X 的标准差． 2．均值与方差的性质

若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量，

且E(aX＋b)＝aE(X)＋b；

D(aX＋b)＝a2D(X)

考向一分布列性质

【例1】（1）设离散型随机变量X的概率分布为下表，求2X＋1的概率分布．

（2）若（1）中条件不变，求随机变量η＝|X－1|的概率分布．

（3）若（1）中条件不变，求随机变量η＝X2的概率分布．

【答案】见解析

【解析】（1）由概率分布的性质知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表为

从而2X＋1的概率分布为

（2）由（1）知m＝0.3，列表为

∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，

P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.

故η＝|X－1|的概率分布为

（3）依题意知η的值为0,1,4,9,16.

列表为

从而η＝X2的概率分布为

【举一反三】

1．设X 是一个离散型随机变量，其概率分布为

则q ＝________. 【答案】 32－33

6

【解析】 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0

3，∴q ＝32－336

.

2．设随机变量ξ的概率分布为P (ξ＝k )＝m ⎝ ⎛⎭

⎪⎫23k

(k ＝1,2,3)，则m 的值为________．

【答案】

2738

【解析】 由概率分布的性质得

P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝m ×23

＋m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋m ×⎝ ⎛⎭

⎪⎫23

3＝

38m 27＝1，∴m ＝2738

. 考向二 超几何分布

【例2-1】 某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；

(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的概率分布． 【答案】（1）4

7

. （2）见解析

【解析】(1)设事件A ：选派的3人中恰有2人会法语，则P (A )＝C 25C 1

2C 37＝4

7.

(2)由题意知，X 服从超几何分布，X 的可能取值为0,1,2,3，

P (X ＝0)＝C 3

4C 37＝435， P (X ＝1)＝C 24C 1

3C 37＝18

35，

P (X ＝2)＝C 14C 2

3C 37＝1235， P (X ＝3)＝C 3

3C 37＝1

35，

∴X 的概率分布为

X 0 1 2 3 P

4

35

1835

1235

135

【例2-2】为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下： （1）若甲单位数据的平均数是122，求x ；

（2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为1ζ， 2ζ，令12=ηζζ+，求η的分布列和期望.

【答案】(1)8；(2)答案见解析.

【解析】（1）由题意()105107113115119126120132134141

122

10

x ++++++++++=，

解得8x =．