数学高考复习名师精品教案：第100-102课时：第十三章 导数-导数的应用(3)

数学高考复习名师精品教案

第100-102课时：第十三章 导数——导数的应用(3)

课题：导数的应用3：切线与速度的问题(3课时) 一．用导数求曲线的切线

函数()f x 在0x 处导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0f x '。于是相应的切线方程是：()()0

00y y f x x x '-=-。

利用上述结论，可以求解曲线的切线以及相关的问题。

用求导法求曲线的切线的斜率是行之有效的方法，它不仅适用于二次曲线，对于任何可导函数都适用。如果要求的切线过某点，一定要注意验证这点是否在曲线上。如果这点在曲线上，可直接通过求这点的导数（斜率）来求切线方程，如果这点在曲线之外，一般需设切点，求出这点的导数，然后通过解方程组来确定切点，最后根据两点式确定切线方程。 二．用导数求瞬时速度

物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t =时的导数()0f t '，

即有()0

0V f t '=。

利用导数的这个物理意义，可以帮助我们获得按规律运动的物体的瞬时速度。 三．范例分析

例1．求过抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）上一点P （x 0，y 0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。

分析：为求斜率，先求导函数：y'=2ax+b ，故切线方程为y －y 0=(2ax 0+b)(x －x 0) 即 y=(2ax 0+b)x －ax 20

+c ，亦即y=(2ax 0+b)x －ax 20

+c.

抛物线焦点：F （2b a

-

,

2

44ac b a

-），它关于切线的对称点之横坐标当x 0，

说明从焦点发出的光线射到（x 0，y 0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。

要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。 解：显然，y 0=ax 20

+bx 0+c

y'=2ax+b 故在P 点处切线斜率为2ax 0+b ， 切线方程y －(ax 20

+bx 0+c)=(2ax 0+b)(x －x 0)，

亦即y=(2ax 0+b)x －ax 20

+c.

由于y=ax 2

+bx+c 按向量

=2

4,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

平移即得到y=ax 2，只须证明过其

上一点（x 0，ax 20

）的切线l ：y=2ax 0x －ax 2

满足：焦点关于l 的对称点为（m ，n ）.

当x 0≠0时0

2

00

1

1

421

4222

n a m ax n m a ax ax ⎧-⎪=-⎪⎪⎨

⎪+

⎪=⋅-⎪⎩

，消去n. 知 m=x 0.

当x 0=0时，切线为y=0，F 之对称点横坐标显然是0，

故从焦点发出的光线射到（x 0，ax 2

）后被抛物面反射后的方程为x=x 0（与

对称轴平行）；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点.

例2．求函数y=x 4+x －2 图象上的点到直线y=x －4

的距离的最小值及相应点的坐标.

分析：首先由42

4

y x x y x ⎧=+-⎨

=-⎩得x 4+2=0

知，两曲线无

交点.

y'=4x 3+1，切线要与已知直线平行，须

4x 3+1=1，x=0.

故切点：（0 , －2）

一般地，当直线l 与y=f(x)的图像无交点时，与l 平行的切线与l 间距离应为图像上点到l 的 距离的最值，以最小值为例（如图）与l 平行的 直线若与曲y=f(x)相交，（A 为一交点），则l'与l 间必存在y=f(x)上的点C ，显然，C 点到l 的距离小于l 与l'间的距离，亦即A 到l 的距离.

当然，我的也可用参数直接考虑：设(x 0，x 40

+x 0－2)为y=f(x)图象上任意一

点，它到l

的距离4

d

=

=

≥

=

上述等号当且仅当x 0=0时取得，故相应点坐标为（0，-2）。

解：y'= 4x 3+1，令4x 3+1=1，x=0. 由此知过曲线上点（0，－2）的切线方程y=x+2 与已知直线平行，它到

已知直线距离最近，为d =

=

例3．已知一直线l 经过原点且与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求直线l 的方程。 分析： 设切点为（x 0，y 0），则y 0＝x 03－3x 02＋2x 0，由于直线l 经过原点，故等式的两边同除以x 0即得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x 0处的切线斜率，便可建立关于x 0的方程。在两边同除以x 0时，要注意对x 0是

否为0进行讨论。

解：设直线l ：y ＝kx 。 ∵y'＝3x 2－6x ＋2， ∴y'|x=0＝2，又∵直线与曲线均过原点，于是直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2相切于原点时，k ＝2。 若直线与曲线切于点(x 0，y 0) (x 0≠0)，则k ＝0

0x y ，∵y 0＝x 03－3x 02＋2x 0，

∴

0x y =x 02－3x 0＋2，

又∵k ＝y'|0

x x =＝3x 02－6x 0＋2，

∴x 02－3x 0＋2＝3x 02－6x 0＋2， ∴2x 02－3x 0＝0， ∵x 0≠0， ∴x 0＝2

3

， ∴k ＝x 02－3x 0＋2＝－4

1

，

故直线l 的方程为y ＝2x 或y ＝－4

1

x 。

例4．已知曲线3

:x

y

C =及其上一点)1,1(1P ，过1P 作C 的切线1l ，1l 与C 的另一公

共点为2P （不同于1P ），过2P 作C 的切线2l ，2l 与C 的另一公共点为3P （不同于2P ），

…，得到C 的一列切线1l ，2l ，…，n l ，…，相应的切点分别为1P ，2P ，…，

n P ，…。

（1）求n P 的坐标；

（2）设n l 到1+n l 的角为n θ，求n n θtan lim

∞

→之值。 解：（1）设),(3n n n

a a P

，过n P 作

C 的切线。

C 在n P 处的切线n l 的方程为：3

2

)(3n n n a a x a y

+-=，代入3

x

y =，并整理得

0)2()(2

=+-n n a x a x 。

即n a x =

（舍去）或n a x 2-=。

由题意11=a ，n n a a 21-=+，从而1

)

2(--=n n a ，（n ∈N*）

即)

)

2(,)2(()

1(31

----n n P

；