《数值分析》期末复习纲要共6页文档

《数值分析》期末复习纲要

第一章 数值计算中的误差分析

主要内容

(一)误差分析

1、误差的基本概念：

（1）绝对误差：设x 是精确值， *x 是其近似值，则称()E x x x *=-是近

似值*x 的绝对误差，简称误差。特点：可正可负，带量纲。

（2）相对误差：称()r x x E x x

*

-=是近似值*x 的相对误差，若精确值x 未知，则定义()r x x E x x *

*

-=。 注: 由四舍五入得到的近似值,误差不超过最末位的半个单位(准确到最末位)。

2、有效数字的概念：P6;

3、算法的数值稳定性：

数值稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中能得到有效控制，不至于因误差的过度增长影响计算结果的精度。

数值不稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中得不到有效控制，以至于因误差的过度增长而使计算结果的精度大大降低。P11：例子

(二)算法设计的基本准则P11-15

应用实例：课堂练习，作业

基本要求

1、掌握误差、有效数字等基本概念

2、熟记算法设计准则，并能依据算法设计准则构造或选择计算公式。（参见课堂练习、作业）

第二章 线性代数方程组的数值解法

直接法：不计初始数据的误差和计算过程中的舍入误差，经过有限步四则运

算求得方程组的精确解。

迭代法：先给出方程组解的某一初始值，然后按照一定的迭代法则（公式）进行迭代，经过有限次迭代，求得满足精度要求的方程组的近似解。

主要内容

（一）直接法的基本模式：高斯顺序消去法

基本思想：按照各方程的自然排列顺序（不交换方程），通过按列消去各未知元，将方程组化为同解的三角形方程组来求解

求解过程：?

??回代过程消元过程

应用实例：课堂例题；练习

（二）高斯列主元消去法

基本思想：按列消元，但每次按列消元之前，先选取参与消元的

方程首列系数，选取绝对值最大者，通过交换方程，使之成为主元，再进行消元。 (每一步消元之前先按列选取主元)

应用实例：课堂例题，作业

(三)迭代法基本原理：

（1）将原方程组b Ax =改写成如下等价形式：

（2）构造相应的迭代公式：

f Bx x m m +=-)1()(

（3）任取一初始向量)0(x 代入上述迭代公式，经迭代得到向量序列

{}

T m n m m m x x x x ),,,()()(2)(1)(Λ=，如果该向量序列{})(m x 收敛于某一向量T n x x x x ),,,(21****=Λ，即

T n x x x x ),,,(21****=Λ即为原方程组的解。在实际应用中，

往往根据精度要求，进行有限次迭代，求得方程组满足

精度要求的近似解。

（四）雅可比(Jacobi)迭代法

迭代公式:

（五）高斯-塞德尔迭代法

迭代公式:

（六）超松弛迭代法（SOR 迭代法）

迭代公式:

应用实例：P56, 例1

（四）向量范数和矩阵范数

三种常见的向量范数：

常用的矩阵范数：P60

一般迭代公式收敛的充要条件和充分条件P62, 定理1,定理2

基本要求

1、能用高斯列主元消去法求解线性方程组。（参见例题，课堂练习，作业）

2、能建立三种常用迭代公式,明确三种迭代公式之间的联系

3、能计算向量、矩阵范数

4、掌握一般迭代公式收敛的充要条件和充分条件