1212立方根2

12．1．2 立 方 根
教材新知识点详解 知识点1立方根
如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．
例1 求下列各数的立方根：
(1)64； (2)0．343； (3)－0．729； （4）－2
1027
解析求一个数a 的立方根，就是要找到一个数x ，使x 3等于这个数a ． 答案(1)因为43=64，所以;4643= (2)因为0．73=0．343，所以;7.0343.03=
(3)因为(－0．9)3 = －0．729，所以;9.0729.03-=-
(4)因为,27
10
2
)3
4(3
-=-31042273-=-⋅ 方法技巧：
借助立方运算，结合立方根的定义求立方根．
例2 下列命题正确的是 ( )
A ．负数没有立方根
B ．－7的立方根是37-
26.3=C D ．任何正数都有两个立方根，它们互为相反数
答案 B 警示误区：
明确一个数的立方根有且只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
知识点2 开立方
求一个数的立方根的运算叫做开立方．
注意：(1)开立方是一种运算，即开方运算，它和立方互为逆运算． (2)开立方所得的结果就是立方根．
例3 计算：
;162511112564)1(3-+-
;9005
1
2781)2(3+-+ ;33)2()3(32+- .3)5)(4(3-
解析此类计算应先求出各式的值(即平方根或立方根)再进行运算．题(4)可利用结论
a a =33)(来计算．
答案
162511112564)1(3-+-
;5
3
3456544)56()54(2233-=-+-=-+-= 3
1(2)81279005+
-+=32
32119(3)309355
+-+=-+⨯30=12
32333(3)(2)38911;-+=-+==
3333(4)(5)(5) 5.-=-=-
点评 弄清求值题的实质，运用平方根或立方根的定义求解，同时要特别注意符号问题．
知识点3 用计算器求立方根
用计算器求一个有理数的立方根，只需直接按书写顺序按键即可．若被开方数为负数，“一”号的输入可按
，也可以按
例4 用计算器计算(精确到0．01)：
3(1)26.42; ;4.68)2(3- .125.0)3(3
解析 直接输入数据即可，注意符号． 答案(1)在计算器上依次键入
显示结果为2．978…，所以;98.242.263≈ (2)在计算器上依次键入
显示结果为－4．089…，所以;09.44.683-≈- (3)在计算器上依次键入
显示结果为0．5，所以.5.0125.03=
综合例题讲解 题型l 学科综合
例5 求下列各式中x 的值：
3(1)(0.2)8000;x +=- ;54)32(4
1
)2(3=+x
;64
125
)1(8)3(3-
=+x .54)5(2)4(3-=-x 答案
;2.20,2080002.0)1(3-=-=-=+x x
;2
3
,32,621632,216)32)(2(33====+=+x x x x
;8
5
1,855121251,5121253)1)(3(3-=-=-=+-
=+x x x .2,3275,273)5)(4(3=-=-=--=-x x x
例6 已知31-y 和321x -互为相反数，求
x
y
的值． 解析 因为互为相反数的两数相加，和为零，故可得,021133=-+-x y 又由立方根的性质可得(y －1)+(1－2x)=0，从而可求y 与x 的比值．
答案
31-y 与321x -互为相反数，,021133=-+-∴x y ,0211=-+-∴x y .2,2=∴
=∴x
y
x y 题型2拓展创新
例7 已知,0,2004200320023
3
3
>==xyz z y x 且=++32
22200420032002z y x
求
z
y x 1
11++的值． 解析 因为已知条件中x ，y ，z 之间的关系并不明显，所以必须把复杂的问题简单化，可设一个铺助未知数，把x ，y ，z 有机地结合在一起，同时利用性质=3ab .33
b a ⋅
答案设,2004200320023
3
3
k z y x ===显然k≠0，则⋅===
3332004,2003,2002z
k
y k x k
=
111()x y z
=++⋅
因为k ≠0，所以,1
111113
z
y x z y x ++=++由已知得,0,0,0>>>z y x
所以
.11
11=++z
y x
例8 已知,11
11,
3
33=++==z
y x cz by ax 试证明
222ax by cz ++=.333
c b a ++
解析 方法同上例，设,3
33k cz by ax ===左、右两边变形得到的结果均为.3k
答案 设,3
33k cz by ax ===则⋅=
=
=
z
k cz y
k by x
k ax 222
,,
3
3
222z k y k x k cz by ax ++=++3)111(z y x k ++=,1
11333k z
y x k =++⋅= 33333
3333
k k k a b c x y z
,)111(3k k z y x =⋅++= 所以.33332
2
2c b a cz by ax ++=++
方法技巧：
在代数变形中要学会运用整体思想来解题． 题型3实践应用
我们知道正方体的体积等于棱长的立方，在现实生活中如果需要根据正方体的体积制作正方体，那么就要确定正方体的棱长，这只有通过开立方运算才能求得．
例9 王老师有两个棱长为40 cm 的正方体纸箱，都装满了书，他现在把这些书都放入一个新制的正方体木箱中，正好装满，那么这个木箱的棱长大约是多少?(结果精确到0．0l cm) 解析 在这个问题中，原两个正方体纸箱的体积之和等于新木箱的体积，于是可设木箱的棱长，列出方程求解．
答案 设这个木箱的棱长为x cm ．依题意得.4023
3
⨯=x .40.50cm x ≈
答：这个木箱的棱长大约是50．40 cm ． 点评 由本例可以看出，将一个正方体的体积扩大一倍得到一个新的正方体时，其棱长并未扩大两倍，故应防止出现思维定式上的错误．
例10 球的半径是r ，球的体积是500 cm 3(球的体积公式是),3
43
r v π=
求r 的值．(π取3．14，精确到0．01 cm)
解析 我们知道球的体积和球的体积公式，于是可以通过公式变形求出r ．因为
,3
43
r v π=
所以⋅=343πV r 题中的数值复杂，计算量大，提倡用计算器计算． 答案 已知π,5003
cm V =为3．14．
).(92.414
.34500
343,34333cm V r r v ≈⨯⨯==∴=
ππ 释疑解难
为什么一个正数的平方根有两个，而一个正数的立方根只有一个呢? 小玲在学习了平方根、立方根后，发现64的平方根是±8，而64的立方根只有一个，是4．她想，同样是一个正数，开方的结果却大不相同，这是为什么呢?小玲百思不得其解，于是求教于老师．老师告诉她，这是因为平方根的定义是“如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根”,因为82=64（－8）2=64，所以平方的结果等于64的数有两个−8或－8，故64的平方根有两个；而立方根的定义与平方根的定义相似，因为43=64，而（－4）3=－64，故64的立方根是4，－4是－64的立方根。

题型4 探究发现
问题小明在学习算术平方根时发现了一个正数的算术平方根与被开方数之闯的关系是：被开方数的小数点每向右(或左)移动两位，算术平方根的小数点相应地向右(或左)移动一位．他想：一个数的立方根是否也具有这种变化规律呢?
思考小明分别计算了8，80，800，8 000，0．8，0．08，0．008的立方根，观察它们的结果，看一看是否有变化规律．
猜想 进而他猜想一个数的立方根与这个数的关系和算术平方根相似，区别在于被开方数扩大1000倍(或缩小到
1000
1
)，立方根扩大10倍(或缩小到101)．发现由
2,20,0.2===
可以得到如下规律：
被开方数的小数点每向右(或左)移动三位，立方根的小数点相应地向右(或左)移动一位．
方法技巧：
运用立方根的定义解方程，其方法是将方程整理成小x 3=a 以的形式． 想一想 (1)立方根与平方根在小数点的移动规律上有什么不同?
(2)已知,21.178.13≈你能不用计算器求出下列各式的值吗?试试看．
31780①= ,2= ；
②若,12103=x 用科学记数法表示x 是 ． 1．中考真题再现
例(内蒙古)计算：.8)4()2
1(2301
2
-+--+--π
答案,28,1)4(,2)
2
1(,42301
2
-=-=-=-=--π
∴原式=－4+2－1－2=－5．
点评 本题涉及的知识点较多，在运算时要注意准确性及符号的变化． 思维误区
误区l 将平方根与立方根的意义混淆． 例1 求38的值． 错解 .283±=
错因分析 将立方根的意义与平方根的意义混为一谈，应结合立方根的定义，明确立方根的唯一性．
正解 .283=
误区2在综合应用中出错．
例2 下列各项中，不能作为一个三角形的三边长的是 ( ) A ．1，100，100 5,3,2.B
33364,27,8.C 2225,4,3.D
错解 C
错因分析 对立方根掌握不牢，以及与其他知识综合运用时不能紧密联系．正解D。