高等代数欧氏空间的同构

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(σ(α), σ(β)) = X′Y = (α, β)
定理 两个有限维欧氏空间同构当且仅当它们有相同的维数.
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同构的性质
σ(α + β) = (X + Y)′ = X′ + Y′ = σ(α) + σ(β); σ(kα) = (kX)′ = kX′ = kσ(α);
(σ(α), σ(β)) = X′Y = (α, β)
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同构的性质
σ(α + β) = (X + Y)′ = X′ + Y′ = σ(α) + σ(β); σ(kα) = (kX)′ = kX′ = kσ(α);
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同构的概念
定义 欧氏空间 V 与 V′ 称为同构的，若有双射 σ : V −→ V′ 满足：
1 σ(α + β) = σ(α) + σ(β)； 2 σ(kα) = kσ(α)； 3 (σ(α), σ(β)) = (α, β).
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同构的概念
定义 欧氏空间 V 与 V′ 称为同构的，若有双射 σ : V −→ V′ 满足：
1 σ(α + β) = σ(α) + σ(β)； 2 σ(kα) = kσ(α)； 3 (σ(α), σ(β)) = (α, β). 其中 α, β ∈ V, k ∈ R，这样的 σ 称为 V 到 V′ 的同构映射.
注 σ 为双射，保加法、数乘、内积；
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同构的概念
定义 欧氏空间 V 与 V′ 称为同构的，若有双射 σ : V −→ V′ 满足：
1 σ(α + β) = σ(α) + σ(β)； 2 σ(kα) = kσ(α)； 3 (σ(α), σ(β)) = (α, β). 其中 α, β ∈ V, k ∈ R，这样的 σ 称为 V 到 V′ 的同构映射.
. .. . . ..源自同构关系命题 同构是欧氏空间之间的等价关系. 证 同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性.
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同构关系
命题 同构是欧氏空间之间的等价关系. 证 同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性.
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同构的性质
第三，设 σ, τ 分别是 V 到 V′，V′ 到 V′′ 的同构映射. 不难 证明，τ σ 是 V 到 V′′ 的同构映射，因而同构关系是传递的. 命题 任一 n 维欧氏空间与 Rn 同构.
同构的概念
定义 欧氏空间 V 与 V′ 称为同构的，若有双射 σ : V −→ V′ 满足：
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同构的概念
定义 欧氏空间 V 与 V′ 称为同构的，若有双射 σ : V −→ V′ 满足：
注 σ 为双射，保加法、数乘、内积； 欧氏空间同构首先是线性空间同构；
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同构的概念
定义 欧氏空间 V 与 V′ 称为同构的，若有双射 σ : V −→ V′ 满足：
1 σ(α + β) = σ(α) + σ(β)； 2 σ(kα) = kσ(α)； 3 (σ(α), σ(β)) = (α, β). 其中 α, β ∈ V, k ∈ R，这样的 σ 称为 V 到 V′ 的同构映射.
(σ(α), σ(β)) = X′Y = (α, β)
定理 两个有限维欧氏空间同构当且仅当它们有相同的维数. 证 设 V1, V2 为有限维欧氏空间，dim V1 = n1, dim V2 = n2，则 由上面命题，V1 同构于 Rn1，V2 同构于 Rn2，故 V1 与 V2 同 构当且仅当 Rn1, Rn2 同构当且仅当 n1 = n2.
1 σ(α + β) = σ(α) + σ(β)；
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同构的概念
定义 欧氏空间 V 与 V′ 称为同构的，若有双射 σ : V −→ V′ 满足：
1 σ(α + β) = σ(α) + σ(β)； 2 σ(kα) = kσ(α)；
第三，设 σ, τ 分别是 V 到 V′，V′ 到 V′′ 的同构映射. 不难 证明，τ σ 是 V 到 V′′ 的同构映射，因而同构关系是传递的.
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同构的性质
第三，设 σ, τ 分别是 V 到 V′，V′ 到 V′′ 的同构映射. 不难 证明，τ σ 是 V 到 V′′ 的同构映射，因而同构关系是传递的.
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同构的性质
第三，设 σ, τ 分别是 V 到 V′，V′ 到 V′′ 的同构映射. 不难 证明，τ σ 是 V 到 V′′ 的同构映射，因而同构关系是传递的.
命题 任一 n 维欧氏空间与 Rn 同构.
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同构的性质
σ(α + β) = (X + Y)′ = X′ + Y′ = σ(α) + σ(β); σ(kα) = (kX)′ = kX′ = kσ(α);
(σ(α), σ(β)) = X′Y = (α, β)
定理 两个有限维欧氏空间同构当且仅当它们有相同的维数.
证 设 V1, V2 为有限维欧氏空间，dim V1 = n1, dim V2 = n2，则 由上面命题，V1 同构于 Rn1，V2 同构于 Rn2，故 V1 与 V2 同 构当且仅当 Rn1, Rn2 同构当且仅当 n1 = n2.
注 维数是有限维欧氏空间的唯一特性.
注 σ 为双射，保加法、数乘、内积； 欧氏空间同构首先是线性空间同构； 欧氏空间同构与同构映射要区分.
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同构关系
命题 同构是欧氏空间之间的等价关系.
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同构的概念
定义 欧氏空间 V 与 V′ 称为同构的，若有双射 σ : V −→ V′ 满足：
1 σ(α + β) = σ(α) + σ(β)； 2 σ(kα) = kσ(α)； 3 (σ(α), σ(β)) = (α, β).
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同构的概念
定义 欧氏空间 V 与 V′ 称为同构的，若有双射 σ : V −→ V′ 满足：
1 σ(α + β) = σ(α) + σ(β)； 2 σ(kα) = kσ(α)； 3 (σ(α), σ(β)) = (α, β). 其中 α, β ∈ V, k ∈ R，这样的 σ 称为 V 到 V′ 的同构映射.
首先，每个欧氏空间到自身的恒等映射显然是一同构映射. 这就是说，同构关系是反身的.
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同构关系
命题 同构是欧氏空间之间的等价关系.
证 同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性. 首先，每个欧氏空间到自身的恒等映射显然是一同构映射. 这就是说，同构关系是反身的. 其次，设 σ 是 V 到 V′ 的一同构映射，我们知道，逆映射 σ−1 也适合定义中 1) 与 2)，而且对于 α, β ∈ V′，有
证 设 V 是一个 n 维欧氏空间，ε1, ε2, · · · , εn 是一组标准正交 基.V 中任一向量
α = x1ε1 + · · · + xnεn = (ε1, · · · , εn)X,
其中 X = (x1, x2, · · · , xn)′. 令 σ : V −→ Rn，使得 σ(α) = X′，则 σ 为双射且
(α, β) = (σ(σ−1(α)), σ(σ−1(β))) = (σ−1(α), σ−1(β)).
这就是说，σ−1 是 V′ 到 V 的一同构映射，因而同构关系是
对称的.
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同构的性质
α = (ε1, · · · , εn)X′, β = (ε1, · · · , εn)Y′
及 k ∈ R，有
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同构的性质
σ(α + β) = (X + Y)′ = X′ + Y′ = σ(α) + σ(β); σ(kα) = (kX)′ = kX′ = kσ(α);