Matlab小波分析在信号处理中的应用

其中 g（t-τ ）是一种能量主要集中在τ 式中的积分实质上只在τ 出了信号在 t=τ
附近且衰减很快的函数。所以上
附近的一段时间内进行。也就是说窗口傅立叶变换给
附近一段时间内的频率信息，所以窗口傅立叶变换在时域内是
局部化的。由(3)式明显地看到窗口傅立叶变换的确是传统傅立叶变换的一种改 进，即核函数由ei ω t 改进为：
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特征， 也可以利用信号在频率域中的冗余进行数据压缩。所以傅立叶变换架起了 时间域和频率域之间的桥梁。 一维信号 f(t)的傅立叶变换定义为：
它度量了信号在所有不同频率中的振荡信息。 傅立叶变换的逆变化为：
意味着信号可展开为不同频率正弦信号的线性叠加。从(1)式中我们可以看 出傅立叶变换的核函数是正弦函数，它不包含任何时域信息。而从(2)式中也可 以看出来傅立叶逆变换的时域特征中也不包含信号的任何频域信息。 这就使得我 们只能从信号的时域和频域分别观察而不能将二者结合起来。 而且傅立叶谱的信 号统计特性是信号整个时域内的积分，在时间域上是无限的，非局部化的，没有 局部化分析信号的功能。 所以这就产生了时域和频域的局部化矛盾，也就激励着 我们去寻找一种新的时频分析方法即能在时域和频域结合起来描述观察信号的 时频联合特征，构成信号的时频谱。 2.2 窗口傅立叶变换 鉴于傅立叶变换不含时空定位信息，匈牙利人 DennisGabor 于 1946 年提出 窗口傅立叶变换，它可以对时空信号进行分段或分块，即时空—频谱分析。 对任意一个能量有限的信号 f（t）∈L2 （R）,其窗口傅立叶变换定义为：
再由(3)式可得到在时间—频率平面内点 （w， τ
0
） 处的窗口傅立叶变换为：
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定义：
式（6）中σ i 和σ
ω
分别称为 g(t)和 g(w)的标准差，它们描述了时- 频窗的
宽度。但从式（6）中可看到时- 频窗的宽度与窗的中心无关，即其时- 频窗的 宽度是固定不变的。 一旦窗函数确定， 则窗口的形状和大小都将保持不变， 与(τ 0,w0)频率无关。若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数 g(t)，这就使得窗口 傅立叶变换的时间- 频率局域化性质受到了限制。 而我们熟知的是，在研究高频信号的局部性质时，窗口应该开得小点；而在 研究低频信号的局部性质时，窗口应该开得大一些。所以，由于窗口傅立叶变换 的种种严重缺点， 使它未能得到广泛的应用和进一步的发展，因而迫切需要一种 更好的时-频分析方法。 下面将介绍的小波(Wavelet)变换继承和发展了窗口傅立 叶变换局部化的思想， 同时又克服了窗口大小不随频率变化、缺乏离散正交基等 缺点，是比较理想的对信号进行局部频谱分析、处理非卷积型线性算子、变系数 线性微分算子等的数学工具。 3. 小波变换 3.1 小波 小波是一种持续时间很短的波，即小区域的波，是一种特殊的、长度有限、 平均值为 0 的波形。 但并不是任意持续时间很短的波都是小波，它必须满足以下 容许条件：
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200，且幅值为 1，其采样周期为 1。下面应用 db3 小波对式（10）信号进行 5 层 分解，结果如图一至图四所示。
从图三可以看出，细节信号 d1 显示了周期最小的正弦波，细节信号 d4 显 示了周期为 20 的正弦波，而周期为 200 的正弦波则出现在近似信号 a4 中，如 图四所示。这是因为利用小波对信号进行分解时，它将信号分解为低频部分（近 似信号）和高频部分（细节信号） 。另外在图四表示出了小波分解得到的其他结 果，如近似信号 a3 和 a4 之间出现了不连续。 4.1.2 含噪的正弦信号 其表达式为： s(t)=sin(0.03t)+b(t) （11） 该信号是由一个正弦信号和白噪声信号叠加而成。 下面应用 db3 小波对其进 行 5 层分解，结果如图五至图八所示。
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从上面四个图中我们可以看到，正弦波信号体现在逼近（近似）信号部分， 而白噪声信号体现在细节信号部分，因为噪声通常是表现为高频信号。 4.2 小波变换在信号降噪和压缩中的应用 4.2.1 Matlab 信号的小波降噪 信号的降噪和压缩是小波的重要应用之一， 小波能够降噪主要基于小波变换 具有如下三大特点: (1) 多分辨率特性:由于采用了多分辨率的方法,所以可非常好地刻画出信 号的非平稳性,如突变和断点等,可以在不同分辨率下根据信号和噪声的分布来 消噪。 (2) 去相关性：小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所 以小波域比时域更利于去噪。 (3) 基函数选择灵活： 小波变换可以灵活选择基函数，也可根据信号特点和 降噪要求选择多带小波、小波变换等，对不同的场合，可以选择不同的小波母函 数。 对信号消噪实质上是抑制信号中的无用部分，增强信号中有用部分的过程。 一般地，一维信号消噪的过程可分为如下 3 个步骤： (1)一维信号的小波分解。选择一个小波并确定分解的层次，然后进行分解 计算。 (2) 小波分解高频系数的阀值量化。 对各个分解尺度下的高频系数选择一个 阀值进行软阀值量化处理。
滤波器在不同尺度 a 下对信号滤波。由于傅立叶变换的尺度性，如果υ (t) 的傅立叶变换是υ (ω )，则 的傅立叶变换为│a│υ (aω )，因此这组滤波器
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具有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。 （3）适当地选择基小波，使υ (t)在时域上为有限支撑，υ (ω )在频域上也 比较集中，此时小波在时、频两域中就都具有表征信号局部特征的能力，这样有 利于检测信号的瞬态或奇异点。 3.3 小波变换与傅立叶变换的比较 （1）傅立叶变换的实质是把能量有限的信号 f(t)分解到以ei ω t 为正交基的 空间；而小波变换则是分解到L2 （R） （平方可积函数）空间。 （2）傅立叶变换用到的基本函数只有 sin(ω t)、cos(ω t)和ei ω t ，具有唯 一性； 小波分析用到的小波函数则不是唯一的，同一个问题选用不同的小波函数 进行分析有时结果会相差很远。 （3）小波变换在时- 频域中都具有很好的局部化能力，而傅立叶变换只在 频域中对于那些频率成分比较简单的确定信号有较好的局部化能力， 其在时域中 没有局部化能力。 （4） 小波变换带通滤波器的带宽△ω 正比于中心频率ω ，且其值是一个常 数， 即具有一个恒定的相对带宽。而窗口傅立叶变换的带通滤波器的带宽与中心 频率 w 无关。 4. Matlab 小波变换在信号处理中的应用 小波变换作为信号处理的一种手段， 逐渐被越来越多领域的工作者所重视和 应用，并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比，小波变换产 生了质的飞跃， 在信号处理方面具有更大的优势。其典型应用包括信号降噪和压 缩、 对普通信号进行分析及检测信号特征等。比如它可以用于电力负载信号的分 析与处理，小波变换可以用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中 未知瞬态信号等。 4.1 小波分解在普通信号分析中的应用 小波变换工具箱中用于一维小波分解的函数为 wavedec。下面对几个常见的 信号进行小波分析，以此来观察小波的功能和特性。 4.1.1 正弦波的线性组合 s(t)=sin(3t)+sin(0.3t)+sin(0.03t) （10） s(t)是三个正弦波叠加而成的信号， 这三种正弦波的周期大约分别为 2、 20、
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(3) 一维小波重构。 根据小波分解的最底层低频系数和各层高频系数进行一 维小波重构。 小波分析进行阀值处理一般有下述 3 种方法。 (1)默认阀值消噪处理。该方法利用 ddencmp 函数生成信号的默认阀值，然 后利用函数 wdencmp 进行消噪处理。 (2)给定阀值消噪处理。在实际的消噪处理过程中，阀值往往可以通过实验 公式获得，这种阀值比默认阀值的可信度高。 (3) 处理。该方法是将小波分解结构中的高频系数全部置为 0，即滤掉所有 高频信号部分，然后对信号进行小波重构。这种方法比较简单，且消噪后的信号 比较平滑，但是容易丢失信号中的有用成分。 下面利用小波分析对含噪正弦波进行消噪，结果如图九至图十一所示。
小波分析理论与应用
——Matlab 小波分析在信号处理中的应用
学号：201522010641 姓名：李梦姣 学院：通信与信息工程学院 指导老师：李建平
Matlab 小波分析在信号处理中的应用
摘要: 本文在对傅立叶变换和窗口傅立叶变换以及小波变换比较分析的基础上， 重点探讨了 Matlab 小波分析对普通信号进行分析、消噪、压缩和奇异点检测等 信号处理中的各种应用，并提出一些自己的看法。 关键词:小波变换；信号处理；消噪；压缩 Abstract: This paper focuses on the use of ordinary signal analysis, de-noising, compression and singular point detection etc,based on the comparative analysis of the window of the fourier transform and fourier transform and wavelet transform, and make someown views. Keywords: Wavelet Transform; Signal Processing; De-noising; Compression
满足式（7）的时间函数υ (t)称为母小波或基本小波通常简称为小波。容许 条件意味着 得：
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在ω =0源自文库处的值必须为零，即
=0，从傅立叶变换的定义可
由式（8）可知，υ (t)必须时正时负地波动，否则υ (t)的积分不会为零。 在实际应用中，要求小波具有良好的时域局部化性质，即当 t→±∞ 时要求υ (t)速降至零。也就是说，小波是持续时间很短的衰减振荡，它在时域内是局部 的。在频率域，同样也要求当ω →±∞ 时, 式（7）对 特性。 3.2 小波变换的由来和作用 小波分析方法是一种窗口大小固定但其形状可改变， 时间窗和频率窗都可改 变的时频局域化分析方法， 即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分 辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为“数 学显微镜” 。正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。 小波变换的含义是： 把一个称为基本小波的函数 不同尺度 a 下与待分析信号 x(t)做内积： (ω )做位移τ 后， 再在 (ω )速降至零，这也是容许条件
(ω )的约束。小波在时域和频域内都是局部的，这是小波最重要的
小波变换的时频窗口特性与窗口傅立叶的时频窗口不一样， 因为仅影响窗口 在相平面轴上的位置，而 a 不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形 状。 这样小波变换对不同频率在时域上的取样步长是可调节的，这正符合低频信 号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点， 这便是它优于经典的傅立叶变换和窗口 傅立叶变换的地方。 从总体上来说，小波变换比窗口傅立叶变换具有更好的时频 窗口特性。由此可见，小波变换具有以下特点和作用： （1）具有多分辨率的特点，可以由粗到细逐步观察信号。 （2）小波变换可以看成用基本频率特性为 (ω )的带通
1. 引言 小波分析是目前数学中一个迅速发展的新领域， 它同时具有理论深刻和应用 广泛的双重意义。小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师 J.Morlet 在 1974 年首先提出的，它与 Fourier 变换相比，小波变换是空间(时 间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运 算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了 Fourier 变换不能解决 的许多困难问题，从而小波变换被誉为“数学显微镜” ，它是调和分析发展史上 里程碑式的发展。至今，对于其性质随时间稳定不变的信号而言，处理的理想工 具仍然是傅立叶分析。 但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而最适用 于非稳定信号分析处理的工具是小波分析。所以对于小波分析的重要性、优越性 还有不成熟性，研究它是十分迫切与必要的。 2. 傅立叶变换和窗口傅立叶变换 2.1 经典傅立叶变换 傅立叶变换(Fourier Transform)是用无穷三角级数求解热传导偏微分方程 时所提出来的一种数学方法， 它可将时空信号变成频率信号。原始的多媒体数据 一般为时空信号， 在时空上有最大分辨率并可利用时空上的相关性进行数据压缩。 Fourier 变换可将时空域中的多媒体信号映射到频率域来研究，既符合人类感觉