现代谱估计2(精)

重新定义(12.2.4)式的自相关矩阵R为:
并记其行列式的值为 det(Rp+1。)。现在，我们用三个结 论来说明矩阵Rp+1的性质及与AR模型稳定性的关系。
结论1： 如果 Rp+1 ，是 正 定的 ， 那么 ， 由 Yule-Walker 方程解出的 a(1)，a(2)，…，a(p)构成的p阶AR模型是稳定的，且是唯一的。
也即 A(z) 的零点都在单位圆内。此性质称为 AR 模型的最小相位
性质。 该结论告诉我们，只要RP+1，是正定的,那么由Levinson方法 求解Yule-Walker方程时，解总是存在，且是唯一的，并保证了 A(z) 是最小相位的。这一性质，体现在求解过程中，等效地是：
但是，在由实际数据 xN(n) 估计自相关函数时，如果字长 过短，或是由于运算时的舍入误差，有可能使A(z)的零点移到 单位圆上或圆外，使模型不稳定。 因此，如果在递推过程中出ρk≤O，或是 |ak(k)|≥1 ，则
可以证明，若x(n)是由p个实正弦所组成，则RM的秩最大为2p。
结论 3：如果 x(n) 由 p 个正弦组成 ( 实的或复的 )，则 x(n)是完 全可以预测的，即预测误差等于零。
结论2指出了RP+1何时奇异、何时正定的条件，它和结论3一起 都揭示了正弦信号的某些性质。 特别要说明的是，用 AR 模型对纯正弦信号建模是不合适的，
实际上，目前提出的有关AR模型系数的求解及AR 模型性能的讨论大都是建立在线性预测的理论上的。
而且这些算法的性能一般要优于自相关法。
因此，为了进一步介绍AR模型的有关算法，有必
要再介绍一些有关线性预测的理论。
不失一般性，假定x(n)为复信号。(12.2.6)式的
线性预测是利用n之前的p个值对x(n)作预测，我们称
现代功率谱估计
电子与信息工程学院
谢志远
12.4 AR模型的稳定性及对信号建模问题的讨论
12.4.1 AR模型的稳定性
AR模型的输出x(n)是由一个方差为σ2的白噪声u(n)激励一 个全极模型H(z)所产生的。从系统理论的观点看，H(z)必须是 稳定的，也即H(z)的极点必须在单位圆内。
从保证x(n)是平稳的观点看，也要求H(z)的极点必须在单
可能会出现自相关阵为奇异的情况。但是，在信号处理中经常要 用正弦信号作为试验信号以检验某个算法或系统的性能。为克服 自相关阵奇异的情况，最常用的方法是加上白噪声，这样det(RP+1) 不会等于零。
12.4.2关于信号建模问题的讨论
1.关于信号建模的本质
对信号建立参数模型的思路：“假定所研究的过程x(n)是由 一个输入序列u(n)激励一个线性系统的输出，在(12.2.1)式中， 也确实是把模型的输出看作是x(n)。 似乎任意地给定一个平稳过程x(n)，它均可由一个白噪序列 u(n)激励一个线性系统H(z)来精确地产生。显然，这种概念是不 确切的。 对信号x(n)建立参数模型，并不是要求模型的输出x’(n)在时 域等于x(n)，而是要求它们在某一阶次上的统计特征相同。 用x(n)的自相关函数建立x(n)和模型参数的关系(即建模)， 称为在二阶统计意义上的建模，并要求x(n)和x’(n)在自相关函数 和功率谱这些二阶统计量上相匹配。
应使递推停止。
我们在10．2节已证明，平稳随机信号的自相关矩阵是非 负定的，也就是说RP+1可能是正定，也可能是半正定。下面的 结论指出，RP+1，何时正定，何时为半正定。
结论2说明，一般情况下，若x(n)由p个复正弦所组成，RM是其 M×M的自相关阵，那么，当M>p时，RM的秩最大为p，即rank(RM)=p。
当 x(n) 的功率谱 Px(ejω) 满足 Paley-Wiener 条件时 (12.1.1) 式才 成立
满足此式的功率谱Px(z)在单位圆上必然无零点，也即PX(ejω) 不能是由纯正弦信号所形成的Baidu Nhomakorabea谱。 等效地说，由纯正弦过程所组成的平稳过程不具有(12.1.1) 式的形式，因此，也不宜于建立AR，MA或ARMA模型。这和前面的 讨论是一致的。
之为“前向预测"。与之对应的还可以作“后向预
测”。
前向预测：
后向预测：
可得后向预测时的Wiener-Hopf方程：
上述结果表明，前向预测和后向预测的最小均方误差相等，
而前、后向预测器的系数是一个简单的共轭关系。
前、后向预测误差和反射系数在不同阶次时的递推关系：
12.5关于线性预测的进一步讨论
前面的讨论指出，一个 p 阶的 AR 模型等效于一个 p
阶的线性预测器。根据已知的自相关函数 rx(m) 利用
Levinson递归算法求解Yule-Walker方程可得到该模型 的 P+1 个参数 a(1) ， a(2) ， … ， a(p) 及σ2 ，从而实现 功率谱估计。 12.2节所介绍的AR模型的求解算法称为“自相关 法”，该方法是目前已提出的各种AR模型求解算法的 一种，而且是最为简单的一种。
位圆内。读者可自己证明，如果H(z)有一个极点在单位圆外， 那x(n)的方差将趋于无穷，因此x(n)是非平稳的。
H(z) 的分母多项式 A(z) 的系数是由 (12.2.4) 式的 YuleWalker 方程求解出的，a(1)，a(2)， …，a(p) 能否保证 A(z) 的零点都在单位圆内，将直接取决于自相关矩阵R的性质。
由自相关函数和功率谱的匹配性质，平稳过程 x(n) 在二
阶统计意义上总可准确建模，AR模型即是其准确模型之一。 实际上，由(12.1.5)式，有:
由于功率谱失去了相位信息，因此x(n)在二阶统计意义 上的准确模型有无穷多个，它们的幅频响应都一样，而相频 响应可任意赋值。
2.关于信号建模的若干基本问题的讨论 12.1 节 指 出 ， 平 稳 信 号 通 过 一 个 线 性 移 不 变 系 统 后 总 有 (12.1.1)式的输入、输出关系。此说法不甚严密。实际上，只有