初二数学 第17讲 分式的概念与基本性质]讲义教师版(1)

分式的概念与基本性质
1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概 2．念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式．
2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
1．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．运用分式的基本性质，熟练掌握分式的约分和通分法则.
分式
根据实际问题列分式
概念
分式有意义的条件
分式值为0
的条件
基本性质
约分与通分
根据实际问题列分式
从分数到分式，用字母表示某个意义的量，根据实际问题列代数式。

例1.一份稿件，甲单独打字需a 小时完成，乙单独打字需b 小时完成，若两人合打
这份稿件，需（ ）完成．
A ． （a+b ）小时
B ． 2
a b
+小时
C ．
ab a b +小时 D ． a b
ab
+小时 【答案】C
【解析】 设一份稿件的工作量为单位1，则甲每小时完成1a ，乙每小时完成1
b
，即可求出两人共同工作需要的时间．
解：设一份稿件的工作量为单位1，则甲每小时完成1a ，乙每小时完成1
b
，若两人合
打这份稿件，需111)ab
a b a b
÷+=
+（
小时．故选：C ． 练习1.甲乙两地相距m 千米，原计划火车每小时行x 千米．若每小时行50千米，则火车从甲地到乙地所需时间比原来减少（ ）
A ．
50m 小时 B ．x
π小时
C ．
50m m x -小时 D ．50m x
π
-小时 【答案】C
【解析】将原计划的时间减去实际需要的时间，就可以得出火车从甲地到乙地所减少的时间．
解：可先求出原计划火车从甲地到乙地所需的时间，即
x
π
小时，再求每小时行50千米所需要的时间，即50
m
小时．
故火车从甲地到乙地所需时间比原来减少：
50
m m
x -小时，故选C ． 练习2.如果a 个人完成一项工作需要m 天，则a b +（
）个人完成此项工程需要（ ）天．
A ． m b +（）
B ． m b -（）
C ．
am a b + D ．m
a b
+ 【答案】C
【解析】a b +（）个人完成此项工程需要天数1a b =÷+（）个人的工作效率．
解：a b +（）个人的工作效率为：1
a b am
+⨯
（）， ∴a b +（）个人完成全部工作需要的天数是1a b am
am a b
+÷=
+．故选C ．
根据实际问题列分式时，审题是基础，难点是找出应用题中各关系的表达式关键是通过设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量。

分式的概念
1、分式的定义
当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A
B
叫做分式． 整式与分式统称为有理式．
在理解分式的概念时，注意以下三点：
⑵分式的分母的值不为0；
⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 2、分式有意义的条件
两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式
1
x
，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义． （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3、分式的值为零
分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少．
例1. 下列式子中，哪些是整式，哪些是分式？
a ＋b
3
，
1x ＋2，3y 2
－2，a ＋b a －b ，10π，－18，x －y xy
. 【答案】看一个式子是否为分式，关键是看其分母中有无字母，有则是，没有则不是.
解：整式有：a ＋b
3，3y 2
－2，10π，－18
. 分式有：1x ＋2，a ＋b a －b ，x －y xy
. 【解析】
a ＋b
3虽是分数的形式，但分母中不含有字母，所以它不是分式，对于10
π
来说，分母中含有字母π. 但π是一个常数，所以它不是分式，而是整式. 练习1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A ．﹣3 B.12a b - C ．1
x
D ．34a b -
【答案】C
【解析】A 、3是整式，故A 错误；
B 、
1
2a b -是整式，故B 错误； C 、1
x
是分式不是整式，故C 正确；
D 、34a b -是整式，故D 错误； 故选：C ．
练习2.下列各式()115x -，43x
π-，222x y -，1x x
+，25x x ，其中分式共有（ ）个．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】A
【解析】1
x x
+，25x x 中的分母含有字母是分式．故选A ．注意π不是字母
（1）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（2）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是B
A
的形式，从本质上看分母必须含有字母.
（3）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．且只看初始状态，不要化简． （4）π不是字母
例2. 若代数式
1
3
x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＜3 B ．x ＞3 C ．x ≠3 D ．x=3 【答案】C
【解析】分式有意义时，分母x ﹣3≠0，据此求得x 的取值范围． 依题意得：x ﹣3≠0， 解得x ≠3， 故选：C ．
练习1.若分式
1
a -有意义，则a 的取值范围是 ． 【答案】a ≠1
【解析】直接利用分式有意义则其分母不为0，进而得出答案． 解：分式
23
1
a a +-有意义，则a ﹣1≠0， 则a 的取值范围是：a ≠1． 故答案为：a ≠1．
练习2.使分式21
21
x x +-无意义的x 的值是（ ）
A ．12x
=-
B ．12x =
C ．12x ≠-
D ．12
x ≠ 【答案】B
【解析】当210x -=时，分式无意义，所以1
2
x =
（1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零．
例 3. 分式24
2
x x -+的值为0，则( )
A.．2x
=- B ．2x = C ．2x =± D ．0x =
【答案】B
【解析】当2
20
40
x x +≠⎧⎨-=⎩时，分式的值为0.
即满足22
x x ≠-⎧⎨=±⎩
则2x
=
练习1. 若分式221
23
b b b ---的值为0，则b 的值是________________.
【答案】1
【解析】当22230
10
b b b ⎧--≠⎪⎨-=⎪⎩时，分式的值为0.
即满足13
1
b b ≠⎧⎨=±⎩-或
则1b =
练习2.若分式
1
1
x x -+的值大于0，则x 的取值范围是________________. 【答案】1x >或1x <-
【解析】若1
01
x x ->+，则1x -与1x +同号
即：1010x x ->⎧⎨+>⎩或1010x x -<⎧⎨+<⎩
解得，1x >或1x <-
练习3. 若分式2
321
x x x --+的值小于0，则x 的取值范围是________________.
【答案】3x <且1x ≠
【解析】∵2
3
021
x x x -<-+， ∴
()
2
3
01x x -<-
又∵
()2
10x -≥且分式分母不为0
所以()2
3010
x x -<⎧⎪⎨-≠⎪⎩ 解得，3x <且1x ≠
（1）分式的值为0的条件是在分母不为0的前提下，满足分子为0． （2）分式的值为正数的条件是在分母不为0的前提下，分子、分母同号． （3）分式的值为负数的条件是在分母不为0的前提下，分子、分母异号．
分式的基本性质：
1、分式的基本性质：
分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：
a am
b bm =
，a a m
b b m
÷=÷(0m ≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；
②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． （1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 2．约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
3．通分
（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．4．最简分式
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
5．最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
例1.若分式
2a
a b
中的
a、b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值( )
A．是原来的20倍B．是原来的10倍C．是原来的
1
10D．不变
【答案】D
【解析】若分式
2a
a b
+中的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值为：
()2101022101010a a a
a b a b a b ⋅⋅==
+++，故选D
练习1.如果将分式22
x y x y
-+中的x 和y 都扩大到原来的3倍,那么分式的值( )
A.扩大到原来的3倍
B.扩大到原来的9倍
C.缩小到原来的1
3
D.不变 【答案】A
【解析】分析：,x y 都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍,变成3x 和3y ．用3x 和3y 代替式子中的x 和y ,看得到的式子与原来的式子的关系． 解：用3x 和3y 代替式子中的x 和
y 得：
22
223399=3333x y x y x y x y --++（）（）22229()3()
3()x y x y x y x y --==
++, 则分式的值扩大为原来的3倍．
故选；A ．
在利用分式的基本性质时，强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；
例 2. 若320x y -=,则x
y
等于( )
A ．
23 B ．32 C ．23- D ．2
3
或无意义 【答案】D
【解析】若320x y -=,根据分式的基本性质得32x y =,从而求出
x
y
的值． 解：∵320x y -=,
∴32x y =,
若
0y ≠,则
23
x y =, 若0x
y ==,则分式无意义,
故选D ．
练习1.下列各式中,成立的是( ) A ．
22a a b b += B ．2
2
a a
b b -=
- C ．22a a a
b b b
+=
+ D ．22a a b b =
【答案】C
【解析】根据分式的基本性质,对四选项逐个进行判断． 解：A 的分子2+而分母2⨯,分式的大小已经改变,故A 错误； B 的分子和分母都减去2,分式的值已经改变,故B 错误；
C 22()22a a a a
b b b b
+==+的分式的分子和分母都乘以2,得到的式子仍和等号左边的式子相等,故C 正确；
D 的等号右边的式子是左边式子的平方,故D 错误． 故选C ．
练习2. 下列等式：(1)()a b a b c c ---=-(2)x y x y
x x -+-=-
-(3)a b a b c c -+-=-(4)m n m n m m
---=-
中,成立的是( ) A ．(1)(2) B ．(3)(4) C ．(1)(3) D ．(2)(4) 【答案】C
【解析】(1)分式的分子、分母及分式的符号,同时改变两个其值不变,即
()a b a b
c c
---=-
；故本选项正确； (2)分式的分子、分母及分式的符号,只有同时改变两个其值才不变,即x y x y x x
-+-=
-；故本选项错误；
(3)分式的分子、分母及分式的符号,同时改变两个其值不变,即a b a b
c c
-+-=-
；故本选项正确；
(4)分式的分子、分母及分式的符号,同时改变两个其值不变,即m n m n
m m
--+=-
；故本选项错误； 故选C ．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
例3.化简的结果是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】==．
故选：A．
练习1.化简的结果是（）
A.﹣1 B．1 C．D．
【答案】D
【解析】==；
故选D．
练习2.化简结果正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先把的分子、分母进行因式分解，再约分，然后通分即可得出答案．==．
故选C．
(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；
(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；
(3)约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式．
例2.下列分式中，最简分式是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A、原式为最简分式，符合题意；
B、原式==，不合题意；
C、原式==，不合题意；
D、原式==，不合题意，故选A
练习1.下列分式中，最简分式是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】A、原式=，所以A选项错误；
B、是最简分式，所以B选项正确；
C、原式=，所以C选项错误；
D、原式=，所以D选项错误．
故选B．
练习2.将下列分式分别化成最简分式：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【答案】（1）原式=2mn2；
（2）原式=﹣；
（3）原式=；
（4）原式=2x+2y．
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.且数字与字母的公因式都要约分到最简为止。

例3.把分式，，进行通分，它们的最简公分母是（）A．x﹣y B．x+y C．x2﹣y2D．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2）
【答案】C
【解析】分式，，的分母分别是（x﹣y）、（x+y）、（x+y）（x﹣y）．
则最简公分母是（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2．
故选：C．
练习1.分式，，的最简公分母是（）
A．（a2﹣1）2 B．（a2﹣1）（a2+1）C．a2+1 D．（a﹣1）4
【答案】 A
【解析】=，，=，
所以分式，，的最简公分母是（a﹣1）2（a+1）2．
即（a2﹣1）2
故选：A．
练习2.对分式，通分时，最简公分母是（）
A．4（a﹣3）（a+3）2 B．4（a2﹣9）（a2+6a+9）
C．8（a2﹣9）（a2+6a+9）D．4（a﹣3）2（a+3）2
【答案】A
【解析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
分式与的最简公分母是4（a﹣3）（a+3）2，
故选A．
确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
例4.通分：，
【答案】和；
【解析】（1）∵两个分式分母分别为4a2b，6b2c未知数系数的最小公倍数为3×4=12，∵a，b，c的最高次数为2，2，1，
∴最简公分母为12a2b2c，
将，通分可得：和；
练习1.通分：，．
【答案】和
【解析】222
1211x x x x x x x --=-+=-（
），（） ∴最简公分母是2
1x x -（），
=
=
，
==．
通分的步骤：
（1）系数取各系数的最小公倍数； （2）凡出现的因式都要取； （3）相同因式的次数取最高次幂．
注意：(1)通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；
(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．
例5. 已知x 2
﹣3xy=y 2
，求代数式
的值．
【答案】
【解析】∵x 2
﹣3xy=y 2
， ∴x 2
﹣y 2
=3xy ， ∴原式==
=．
练习1.已知x 2﹣5x ﹣2017=0，那么
的值为 ．
【答案】2021
【解析】∵x 2
﹣5x ﹣2017=0， ∴x 2
﹣5x=2017， ∴
=（x ﹣2）2
﹣
=（x ﹣2）2
﹣
=（x ﹣2）2
﹣x =x 2
﹣5x+4 =2017+4 =2021．
故答案为：2021．
练习2.已知22018a b +=，求b
a b ab a 42121232
2+++的值.
【答案】3027
【解析】
22222312123(44)3(2)3
(2)282(2)2(2)2
a a
b b a ab b a b a b a b a b a b +++++===++++. 当22018a b +=时，原式=
33
(2)2018302722
a b +=⨯=．
分式的化简与计算是中考的热点问题，每年各地区中考都要考查. 主要考查分式的化简与运算能力. 以填空题、选择题为主，解答题中常其他知识结合在一起进行考查. 题目的难度以简单题和中等题为主. 在期末考试中也会出现化简求值，关键要掌握①着眼全局，整体代入 ②巧妙变形，构造代入等方法。

【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．。