山师附中数学试卷含答案

山东师大附中数 学 试 卷
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，有且仅有一个是正确的）
1．已知集合}9,7,6,4,3,2,1{=A ,集合}9,8,4,2,1{=B ，则=B A ( ) A ．}9,4,2,1{ B ．}8,4,2{ C ．}8,2,1{ D ．}9,2,1{ 2． 函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是 （ ） A ． 0,2,3 B ．30≤≤y C ．}3,2,0{ D ．]3,0[ 3． 函数x
x y 1
+=
的定义域是 （ ） A ．)1[∞+-，
B ．)0,1[-
C ．),1(+∞-
D ．}0,1|{≠-≥x x x 且 4．下列函数中,是偶函数,且在区间()0,1上为增函数的是（ ）
A ．x y =
B ．x y -=3
C ．x
y 1
= D ．42+-=x y 5． 已知函数⎩⎨⎧≥+-<+=1,31,1)(x x x x x f ，则)]25
([f f 等于( )
A ．21
B ．52
C ．2
9
D ．
2
3
6． 函数x y a =在[]0,1的最大值与最小值的和为3，则a =（ ）
A ．12
B ．2
C ．4
D ．14
7． 函数x x g x 52)(+=的零点0x 所在的一个区间是 ( )
A ．)1,0(
B ．)2,1(
C ．)0,1(-
D ．)1,2(--
8．设函数c x x x f ++=4)(2，则下列关系中正确的是 （ ） A ．)2()0()1(-<<f f f B ．)2()0()1(->>f f f
C ．)2()1()0(->>f f f
D ．)1()2()0(f f f <-<
9．已知函数))(()(b x a x x f --=（其中b a >）的图象如右图所示，则函数
()x g x a b =+的图象是 （ ）
10．对于函数1
1
)(+-=
x x x f ,设)]([)(2x f f x f =,)]([)(23x f f x f =,…, )]([)(1x f f x f n n =+,)2*,(≥∈n N n 且.令集合}R ,)(|{2007∈==x x x f x M ,则集合M
为 （ ） A ．空集 B ．实数集
C ．单元素集
D ．二元素集
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共5小题，每题4分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 11． 已知集合},3,1{2m A -=,}4,3{=B ,若A B ⊆,则=m ________．
12． 计算:21
019)4
1
()21(-+- ＝ ．
13． 若函数()f x 为奇函数,当0x ≥时,2()f x x x =+,则(3)f -= ． 14．已知2)1]([)(2++=x x f ,其中][x 表示不超过x 的最大整数,则=-)5.2(f ． 15．奇函数()f x 满足:①()f x 在(0,)+∞内单调递增;②0)1(=f .则不等式
()0x f x ⋅<的解集为 ．
三、解答题(本大题共6个小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．（本题满分8分）
已知集合}62|{≤≤=x x A ,集合}2873|{x x x B -≥-=． （1）求)(R B A C ;
（2）若}|{a x x C ≤=，且C A ⊆，求实数a 的取值范围．
17．（本题满分8分）
已知二次函数()x f y =在2=x 处取得最小值4-,且()x f y = 的图象经过原点． （1）求()x f 的解析式;
（2）求函数)(x f y =在]4,1[-上的最大值和最小值．
18．（本题满分10分） 已知函数3||2)(2--=x x x f ． （1）用分段函数的形式表示该函数; （2）在所给的坐标系中画出该函数的简图; （3）写出该函数的单调区间(不要求证明) ．
19．（本题满分10分） 已知函数()2a
f x x x
=-，且3)1(=f ． （1）求实数a 的值; （2）判断该函数的奇偶性;
（3）判断函数()f x 在),1(+∞上的单调性，并证明．
20．（本题满分12分）
已知函数()f x 是定义在),0(+∞上的单调递增函数，满足),()()(y f x f xy f += 且1)3(=f ．
（1）求()11 , 3f f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值;
（2）若满足()()82f x f x +-≤,求x 的取值范围．
21．（本题满分12分）
设函数()()()101x x f x a k a a a -=-->≠且是定义域为R 的奇函数． （1）求k 的值;
（2）若()10f <,试判断)(x f y =的单调性，并求使不等式()()240f x tx f x ++-<恒成立的t 的取值范围; （3）若()3
12
f =,)(2)(22x f a a x
g x x -+=-,求()g x 在[)1,+∞上的最小值．
山东师大附中参考答案
11.2± 12.0 13.12- 14. 6 15.)1,0()0,1( - 三、解答题
16. 解:(1)B ＝{x |3x －7≥8－2x }＝{x |x ≥3}，……………… 1分 A ＝{x |2≤x ≤6}，A ∩B ＝{x |3≤x ≤6}, ……………… 3分 ∁R (A ∩B )＝{x |x <3或x >6}．……………… 5分 (3)∵A ⊆C ，∴a 的取值范围是6≥a .……………… 8分
17.解：（1）2223,0
()23,0
x x x f x x x x ⎧--≥=⎨+-<⎩.……………… 2分
（2）图象略 .……………… 4分
（3）单调增区间为[1,0]-和[1,)+∞，单调减区间为(,1]-∞-和[0,1].………8分 18.解:(1)由题意设4)2()(2--=x a x f ,又图象过原点, ∴f (0)＝0, ∴1=a ∴4)2()(2--=x x f ……………… 4分
(2)该函数对称轴为2=x ,∴)(x f 在]2,1[-单调递减,]4,2[单调递增……… 6分 ∴4)2()(min -==f x f ……………… 8分 又0)4(,5)1(==-f f ,∴5)1()(max =-=f x f ……………… 10分
19. 解：（1）1a =- ……………… 2分
（2）由（1）得函数1
()2f x x x
=+，定义域为{|0}x x ≠关于原点对称……4分
1()2()f x x x -=-+-11
2(2)()x x f x x x =--=-+=-
∴函数1
()2f x x x =+为奇函数. ……………… 6分
（3）函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，证明如下：
任取12,(1,)x x ∈+∞，不妨设12x x <， 即210x x x ∆=->，则y ∆=
1221212121212112
1111
()()2(2)2()()2()()x x f x f x x x x x x x x x x x x x --=+
-+=-+-=-+ 2112211212
()(21)1
()(2)x x x x x x x x x x --=--
= ……………… 8分
12,(1,)x x ∈+∞且12x x < 2112120,210,0
x x x x x x ∴->->> 21()()0f x f x ∴->，即0y ∆>∴)(x f 在(1,)+∞上是增函数 ……… 10分 20. 解：（1）令1x y ==有：()()()111f f f =+，得()10f = ………2分 令1
3,3
x y ==
有：()()1133f f f ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭，又()31f =，得113f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
……4分 （2）∵()31f =，∴()()()2339f f f =+=， ………………6分 所以()()82f x f x +-≤得()()89f x x f -≤⎡⎤⎣⎦， ………………8分
又()f x 是定义在()0,+∞上的单调增函数，所以有()89
080x x x x -≤⎧⎪
>⎨⎪->⎩
………10分
所以89x <≤ ----------12分
21. 解: (1) ∵)(x f 是定义域为R 的奇函数，∴ f (0)＝0， ∴ 1－（k －1）＝0，∴ k ＝2， ………… 2分 （2）),10()(≠>-=-a a a a x f x x 且
10,1,0,01
,0)1(<<∴≠><-
∴<a a a a a f 且又
…………… 3分 x a 单减，x a -单增，故f (x )在R 上单减 ，故不等式化为()
()24,f x tx f x +<- 224,1)40x tx x x t x ∴+>-+-+>即（恒成立
∴ 016)1(2<--=∆t ，解得 35t -<< ……………… 7分
2313(3)
(1),,2320,22f a a a a =
∴-=--=即1
2()2
a a ∴==-或舍去……… 8分 2)22(2)22()22(222)(222+---=--+=----x x x x x x x x x g
令x x t --=22 ∵ x x t --=22在),1[+∞上为递增的 ∴),2
3
[+∞∈t … 10分
∴设1)1(22)(22+-=+-=t t t t h , ),2
3
[+∞∈t
∴ 45)23()(min ==h t h .即)(x g 在),1[+∞上的最小值为4
5
. …………12分。