第五章习题几个典型的代数系统
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第五章习题几个典型的代数系统
5.1.设A={0,1},试给出半群的运算表,其中为函数的复合运算。
5.2.设G={a+bi|a,b ∈Z},i 为虚数单位,即i 2=-1.验证G 关于复数加法构成群。
5.3.设Z 为整数集合,在Z 上定义二元运算如下:
x,y∈Z,x
y=x+y-2
问Z 关于运算能否构成群?为什么?
5.4.设A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A 上定义六个函数如下:
f 1(x)=x, f 2(x)=x -1
, f 3(x)=1-x,
f 4(x)=(1-x)-1, f 5(x)=(x-1)x -1
, f 6(x)=x(x-1)-1
令F 为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。
(1) 给出运算的运算表。 (2) 验证
5.5.设G 为群,且存在a∈G,使得 G={a k |k∈Z}, 证明G 是交换群。
5.6.证明群中运算满足消去律.
5.7.设G 为群,若
x∈G 有x 2=e,证明G 为交换群。
5.8.设G 为群,证明e 为G 中唯一的幂等元。
5.9.证明4阶群必含2阶元。
5.10设A={a+bi|a,b∈Z,i 2=-1},证明A 关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。
5.12.(1) 设R 1,R 2是环,证明R 1与R 2的直积R 1×R 2也是环。
(2) 若R 1和R 2为交换环和含幺环,证明R 1×R 2也是交换环和含幺环。 5.13. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。
(1) A={a+bi|a,b ∈Z},其中i 2
=-1,运算为复数的加法和乘法。 (2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。
(3) A=M 2(Z),2阶整数矩阵的集合,运算为矩阵加法和乘法。 (4) A 是非零有理数集合Q *,运算为普通加法和乘法。
5.14.设G 是非阿贝尔群,证明G 中存在元素a 和b,a≠b,且ab=ba.
5.15.设H 是群G 的子群,x∈G,令
xHx -1={xhx -1|h∈H},
证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。
5.1
6.设
(1) G上的二元运算为矩阵乘法,给出G的运算表
(2) 试找出G的所有子群
(3) 证明G的所有子群都是正规子群。
5.17.设G是有限群,K是G的子群,H是K的子群,证明[G:H]=[G:K][K:H].
5.18.令G={Z,+}是整数加群。求商群Z/4Z,Z/12Z和4Z/12Z.
5.19.对以下各小题给定的群G
1和G
2
以及f:G
1
→G
2
,说明f是否为群G
1
到G
2
的同
态。如果是,说明G是否为单同态,满同态和同构,并求同态像f(G
1
)和同态核kerf.
(1) G
1=
2
=
加法和乘法。
f:Z→R*,f(x)=
(2) G
1=
2
A={x|x∈C∧|x|=1},其中C为复数集合。
f:Z→A,f(x)=cosx+i sinx
(3) G
1=
2
f:R→A,f(x)=cosx+i sinx
5.20.设f是群G
1到G
2
的同构,证明f-1是G
2
到G
1
的同构。
5.21.图中给出六个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格,说明理由。
5.22.下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。
2,...,2n},n∈Z+
5.23.画出Klein四元群的子群格。
画出模12的整数群Z12的子群格。
画出3元对称群S3的子群格。
5.24.设L是格,求以下公式的对偶式:
∧(a∨b) a
∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c)
∨(c∧a)(b∨c)∧a
5.25.设L是格,a,b,c∈L,且a b c,证明
∨b=b∧c
5.2
6.针对图13.10中的格L1,L2和L3,求出他们的所有子格。
图13.10
5.27.针对图13.9中的每个格,如果格中的元素存在补元,则求出这些补元。
5.28.说明图13.9中的每个格是否为分配格、有补格和布尔格,并说明理由。
5.29.对以下各小题给定的集合和运算判断它们是哪一类代数系统(半群,独异点,群,环,域,格,布尔代数),并说明理由。
={0,1,-1},运算为普通加法和乘法。
1
2
={a1,a2,...,a n},a i,a j∈S2,a i*a j=a i.这里的n是给定的正整数,且n≥2.
S3={0,1},*为普通乘法。
4
={1,2,5,7,10,14,35,70},和*分别表示求最小公倍数和最大公约数运算。
5
={0,1,2},*为模3加法,为模3乘法。
5.30.设B是布尔代数,B中的表达式f是
∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)
化简f.
求f的对偶式f* 。
5.31.设是布尔代数,在B中化简以下表达式:上定义二元运算*,a,b ∈B,
(1)(a∧b)∨(a∧b')∨(a'∨b)
(2)(a∧b)∨(a∧(b∧c)')∨c
5.32.对于n=1,...,5,给出所有不同构的n元格,并说明哪些是分配格、有补格和布尔格。
5.33.设是布尔代数,在B上定义二元运算,x,y∈B有
y=(x∧y')∨(x'∧y)
问能否构成代数系统?如果能,指出是哪一种代数系统。为什么?
5.34.设G
1为循环群,f是群G
1
到G
2
的同态,证明f(G
1
)也是循环群。