第五章习题几个典型的代数系统

第五章习题几个典型的代数系统

5.1.设A={0,1},试给出半群的运算表,其中为函数的复合运算。

5.2.设G={a+bi|a,b ∈Z},i 为虚数单位,即i 2=-1.验证G 关于复数加法构成群。

5.3.设Z 为整数集合,在Z 上定义二元运算如下：

x,y∈Z,x

y=x+y-2

问Z 关于运算能否构成群？为什么？

5.4.设A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A 上定义六个函数如下：

f 1(x)=x, f 2(x)=x -1

, f 3(x)=1-x,

f 4(x)=(1-x)-1, f 5(x)=(x-1)x -1

, f 6(x)=x(x-1)-1

令F 为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。

(1) 给出运算的运算表。 (2) 验证是一个群。

5.5.设G 为群,且存在a∈G,使得 G={a k |k∈Z}, 证明G 是交换群。

5.6.证明群中运算满足消去律.

5.7.设G 为群,若

x∈G 有x 2=e,证明G 为交换群。

5.8.设G 为群,证明e 为G 中唯一的幂等元。

5.9.证明4阶群必含2阶元。

5.10设A={a+bi|a,b∈Z,i 2=-1},证明A 关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。

5.12.(1) 设R 1,R 2是环,证明R 1与R 2的直积R 1×R 2也是环。

(2) 若R 1和R 2为交换环和含幺环,证明R 1×R 2也是交换环和含幺环。 5.13. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。

(1) A={a+bi|a,b ∈Z},其中i 2

=-1,运算为复数的加法和乘法。 (2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。

(3) A=M 2(Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。 (4) A 是非零有理数集合Q *,运算为普通加法和乘法。

5.14.设G 是非阿贝尔群,证明G 中存在元素a 和b,a≠b,且ab=ba.

5.15.设H 是群G 的子群,x∈G,令

xHx -1={xhx -1|h∈H},

证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。

5.1

6.设

(1) G上的二元运算为矩阵乘法,给出G的运算表

(2) 试找出G的所有子群

(3) 证明G的所有子群都是正规子群。

5.17.设G是有限群，K是G的子群，H是K的子群,证明[G:H]=[G:K][K:H].

5.18.令G={Z,+}是整数加群。求商群Z/4Z,Z/12Z和4Z/12Z.

5.19.对以下各小题给定的群G

1和G

2

以及f:G

1

→G

2

,说明f是否为群G

1

到G

2

的同

态。如果是,说明G是否为单同态,满同态和同构,并求同态像f(G

1

)和同态核kerf.

(1) G

1=,G

2

=,其中R*为非零实数的集合,+和·分别表示数的

加法和乘法。

f:Z→R*,f(x)=

(2) G

1=,G

2

=,其中+和·分别表示数的加法和乘法

A={x|x∈C∧|x|=1},其中C为复数集合。

f:Z→A,f(x)=cosx+i sinx

(3) G

1=,G

2

=,+和·以及A的定义同(2).

f:R→A,f(x)=cosx+i sinx

5.20.设f是群G

1到G

2

的同构,证明f-1是G

2

到G

1

的同构。

5.21.图中给出六个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格,说明理由。

5.22.下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。

2,...,2n},n∈Z+

5.23.画出Klein四元群的子群格。

画出模12的整数群Z12的子群格。

画出3元对称群S3的子群格。

5.24.设L是格,求以下公式的对偶式:

∧(a∨b) a

∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c)

∨(c∧a)(b∨c)∧a

5.25.设L是格,a,b,c∈L,且a b c,证明

∨b=b∧c

5.2

6.针对图13.10中的格L1,L2和L3,求出他们的所有子格。

图13.10

5.27.针对图13.9中的每个格,如果格中的元素存在补元,则求出这些补元。

5.28.说明图13.9中的每个格是否为分配格、有补格和布尔格,并说明理由。

5.29.对以下各小题给定的集合和运算判断它们是哪一类代数系统(半群,独异点,群,环,域,格,布尔代数),并说明理由。

={0，1,-1}，运算为普通加法和乘法。

1

2

={a1,a2,...,a n},a i,a j∈S2,a i*a j=a i.这里的n是给定的正整数,且n≥2.

S3={0,1},*为普通乘法。

4

={1,2,5,7,10,14,35,70},和*分别表示求最小公倍数和最大公约数运算。

5

={0,1,2},*为模3加法,为模3乘法。

5.30.设B是布尔代数,B中的表达式f是

∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)

化简f.

求f的对偶式f* 。

5.31.设是布尔代数，在B中化简以下表达式：上定义二元运算*，a,b ∈B,

（1）(a∧b)∨(a∧b＇)∨(a＇∨b)

（2）(a∧b)∨(a∧（b∧c)＇)∨c

5.32.对于n=1,...,5,给出所有不同构的n元格,并说明哪些是分配格、有补格和布尔格。

5.33.设是布尔代数,在B上定义二元运算,x,y∈B有

y=(x∧y＇)∨(x＇∧y)

问能否构成代数系统？如果能,指出是哪一种代数系统。为什么？

5.34.设G

1为循环群,f是群G

1

到G

2

的同态,证明f(G

1

)也是循环群。