第4章 弹塑性本构方程
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显然，这就相当于提高了材料的 屈服极限。经过卸载又加载，使 材料的屈服极限提高，塑性降低 ，增加了材料抵抗变形能力的现象 ，称为强化或硬化。显然，我们还 注意到材料一旦进入塑性变形阶段， 应力和应变就不再具有一一对应关 系。
在F点之前，试件处于均匀应变 状态，到达F点后，试件开始出现 颈缩现象。如果再继续加载则变形 将主要集中于颈缩区进行，F点对应 的应力是材料强化阶段的最大应力， 称为强度极限，用 b 表示。
具有这种应力应变关系的材料，称为 弹塑性线性强化材料。由于OA和AB 是两条直线，故有时也称之为双线性 强化模型。
（3）理想刚塑性模型
在许多实际工程中，弹性应变比塑性 应变小得多，因而可以忽略弹性应变。 于是前述的两种模型又可简化为理想 刚塑性模型。
应力应变关系的表达式为：
s ,当 0时
典型的本构关系模型
4-3-1 双曲线（邓肯-张）模型
它属于数学模型的范畴。即它以数学 上的双曲线来模拟土等材料的应力应
地下水位 总应力 中和应力
砂土
有效应力
不透水 粘土
总应力
中和应力
砂土
有效应力
低透水 粘土 砂土 （不饱和）
砂土
毛 细 张 力力 总应力
中和应力
粘土 （半透水）
有效应力
变关系曲线并以此进行应力和应变分 析的。由于这种模型是由邓肯和张两 人所提出，所以也叫邓肯-张模型，有 时简称D C模型。
土的本构关系的建立,通常是通 过一些试验,测试少量弹塑性应 力-应变关系曲线,然后通过岩土 塑性理论以及某些必要的补充假 设,把这些试验结果推广到复杂 应力组合状态,以求取应力-应变 的普遍关系,这种应力-应变关系 的数学表达式就是土的本构模型。
对于各向同性材料来说，坐标轴的 转动不应当影响材料的屈服。而一 点的应力状态可用该点的主单元体 来表示，因此，可以取三个应力主轴 为坐标轴。此时，屈服函数式（4-10） 可改写为 f ( 1， 2， 3 ) 0
前面我们谈到，球形应力状态只引起 弹性体积变化，而不影响材料的屈服。 所以，可以认为屈服函数中只包含应 力偏量，即 f ( Sij ) 0
图4-12
如图4-12所示。其方向余弦为 1 l1 l2 l3 3 On直线的方程式为 1 = 2 = 3 m。 On直线上各点所对应的应力状态 是取不同的 m值的球应力状态。
（2）平均应力为0 即 m＝0，应力偏量Sij不等于0。在主 应力空间中，它的轨迹是一个平面， 该平面通过坐标原点并与On直线相 垂直，也即过原点与坐标平面成等 倾斜的平面，我们称它为 平面。如 图4-12所示。其方程式为： 1 + 2 + 3 0
中和应力
粘土 （半透水）
有效应力
m ij 和偏应力张量Sij。如果我们所研究
的问题希望排除球张量而着重考虑偏张 量，那么在主应力空间中，我们只需要 分析应力矢量在 平面上的投影就可以了。
图4-13
（3）应力偏量为常量 即S1 C1，S 2 C2，S3 C3 直线L的方程为
1 C1 2 C2 3 C3 m
地下水位
总应力
中和应力
砂土
有效应力
不透水 粘土
总应力
中和应力
砂土
பைடு நூலகம்有效应力
低透水 粘土 砂土 （不饱和）
砂土
毛 细 张 力力 总应力
中和应力
粘土 （半透水）
有效应力
图4-1
在图4 1中，段为比例变形 阶段。在这一阶段中，应力 和应变之间的关系是线性的。 即可用虎克定律来表示：
E
（4-1）
砂土
有效应力
低透水 粘土 砂土 （不饱和）
砂土
毛 细 张 力力 总应力
中和应力
粘土 （半透水）
有效应力
限。应力到达点时，材料开 始屈服。一般来说，上屈服 极限受外界因素的影响较大，
如试件截面形状、大小、加 载速率等，都对它有影响。因 此，在实际应用中一般都采用 下屈服极限作为材料的屈服极 限，并记作 s。
A n
式中n为幂强化系数，介于0和1之间。
上式所代表的曲线在 0处与 轴 相切，而且有：
A ,当n 1时 A,当n 0时
上面第一式代表理想弹性模型，若将 式中的A用弹性模量E代替，则为虎克 定律；第二式若将A用 s代替，则为理 想塑性模型。
§4-3
判定物体中某一点是否由弹性状态 转变到塑性状态，必然要满足一定 的条件（或判据），这一条件就称 为屈服条件。在分析物体的塑性变 形时，材料的屈服条件是非常重要 的关系式。
§4-2
本构关系类型
不同的固体材料，力学性质各不相同。 即便是同一种固体材料，在不同的物理 环境和受力状态中，所测得的反映其力 学性质的应力应变曲线也各不相同。尽 管材料力学性质复杂多变，但仍有规律 可循的。
弹塑性力学
蒋建平
2011年6月
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
式中E为弹性模量，在弹性变 形过程中，E为常数。A点对应 的应力称为比例极限，记作 p。 由A点到B点，已经不能用线性 关系来表示，但变形仍是弹性 的。
B点对应的应力称为弹性极限， 记作 e。对于许多材料，A点到 B点的间距很小，也即 p与 e数 值非常接近，通常并不加以区分 ，而均以 e 表示，并认为当应力 小于 e时，应力和应变之间的关 系式满足式（4-1）。
屈服曲线在 平面内有以下性质： （1）是一条封闭的曲线，并且坐标 原点被包围在内。 （2）与任一从坐标原点出发的向径 必相交一次，且只有一次。 （3）对三个坐标轴的正负方向均为 对称。 （4）对坐标原点为外凸曲线，屈服面 为外凸曲面。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
在当应力小于 e时，逐渐卸去 荷载，随着应力的减小，应变 也渐渐消失，最终物体变形完 全得以恢复。若重新加载则应 力应变关系将沿由O到B的原路 径重现。
BE段称为屈服阶段。C点和 D点对应的应力分别称为材 料的上屈服极限和下屈服极
地下水位 总应力 中和应力
砂土
有效应力
不透水 粘土
总应力
中和应力
如图4 13所示。
我们知道，当应力 ij 较小时，材料 处于弹性状态。这就是说，在主应 力空间中，围绕着坐标原点有一个 弹性变形区域。弹性区域是被塑性 区域包围着。弹性区与塑性区的分界 就是屈服面。
若我们认为球应力（静水压力）状态 不影响材料的屈服。则上述屈服面必 定是一个与坐标轴呈等倾斜的柱体表 面。其母线垂直于 平面。显然我们对 屈服面的讨论只需研究它与 平面的截 迹C就可以了，如图4 14所示。曲线C 就称为屈服曲线或屈服轨迹。
这些模型包括不考虑时间因素 的线弹性模型、非线弹性模型、 弹塑性模型和近来发展起来的 内时模型、损伤模型及结构性 模型等,常用的模型只有极少数 几个。
土的本构模型研究在理论上属于连 续介质力学本构理论的范畴,对材料 属性的假定上将微观上并不连续的 土视为宏观上的连续介质,以弹性力 学、塑性力学和新兴的力学分支为 理论基础,通过理论结合实验的方法 进行研究。
(4) M 、G形式的本构关系 E (1 ) M (1 )(1 2 )
地下水位 总应力 中和应力
砂土
有效应力
不透水 粘土
总应力
中和应力
砂土
有效应力
低透水 粘土
砂土 （不饱和）
砂土
毛 细 张 力力 总应力
中和应力
粘土 （半透水）
有效应力
4-2-2 弹塑性本构简化模型
（1）理想弹塑性模型
由E点开始，材料开始出现了 强化现象，即试件只有在应力 增加时，应变才能增加。如果 在材料的屈服阶段或强化阶段 内卸去荷载，则应力应变不会 顺原路返回，而是沿一条平行 于OA线的MO （或HO 、KO ）路 径返回。
''' ' ''
这说明虽然材料产生了塑性变形， 但它的弹性性质却没有变化。如果 在点O （或O 、O ）重新再加载，则 应力应变曲线仍将沿着O MFG （或 O HEFG、O KFG）变化，在M 点（ 或H 点、K点）材料重新进入塑性变 形阶段。
当材料进入塑性状态后，具有明显 的屈服流动阶段，而强化程度较小。 又称为弹性完全塑性模型。
E ,当 s时 E s ,当 s时
（2）理想线性强化弹塑性模型
当材料有显著强化率，而屈服流动不 明显时，可不考虑材料的塑性流动。 其解析表达式为：
E ,当 s时 s E1 ( s ),当 s时
s 0.2%时的应力 0.2作为屈服极限来
判明。
f ( ij ) 0
（4-10）
f ( ij )就称为屈服函数。f ( ij ) 0 表示一个六维应力空间内的屈服面。 该面上任意一点都表示一个屈服应 力状态。
如，在单向拉伸时，屈服应力 s应在 屈服面上，如用六维应力空间来描述， 则该点应为屈服面上的一个点，且该 点坐标为（ s，0，0，0，0，0）。
下面介绍几种特殊的应力状态在主 应力空间中的轨迹。 （1）球应力状态或静水应力状态 关于球应力状态，应力偏量为0， 即S1 S2 S3 0，且 1 = 2 = 3 m。 显然在主应力空间中，它的轨迹 是经过坐标原点并与 1、 2、 3三 坐标轴夹角相同的等倾斜直线On。
a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
§4-4
屈服条件、屈服面
判断材料是处于弹性状态还是已经 进入塑性状态所依据的准则，就称 为屈服条件，又称为塑性条件。当 材料处于单向拉伸（或压缩）应力 状态时，我们通过简单的试验，就 可使这一问题得到解决。
当应力小于屈服极限 s时，材料处于 弹性状态，当达到屈服极限 s时，便 认为材料已进入塑性状态。即便对那 些应力应变曲线上弹塑性分界不明显 的材料，通常将对应于塑性应变为
设在主应力空间中，任一点的坐标 矢量OP来表示，如图4-12所示，它可 以分解为在直线On方向上的分量和 在 平面上的一个分量（即相当于NP）。 这就等于把应力张量分解为球应力张量
地下水位 总应力 中和应力
砂土
有效应力
不透水 粘土
总应力
中和应力
砂土
有效应力
低透水 粘土 砂土 （不饱和）
砂土
毛 细 张 力力 总应力
另一方面，要注意所选的本构模型 的数学表达式应足够简单，以便在 求解具体问题时，不出现过大的数 学上的困难。
4-2-1 线弹性本构关系
(1) E、 形式的本构关系 在弹性力学中，以应力表示应变的广义虎克定律为：
(2) K、G形式的本构关系 K 称为体积压缩模量 G称为剪切压缩模量
(3)、G形式的本构关系 2 E K G 3 (1 )(1 2 )
也就是说，可将各种反映材料力学 性质的应力应变曲线，进行分析归 纳并加以总结，从而提出相应的弹 塑性本构模型。
对于不同的材料，不同的应用领域， 可以采用不同的本构模型。在确定 本构模型时，要特别注意使所选用 的本构模型必须符合材料的实际情 况，这是非常重要的，因为只有这 样才能使计算结果反映结构或构件 的真实应力及应变状态。
1.概述 土作为天然地质材料在组成及构 造上呈现出高度的各向异性、非 均质性、非连续性和随机性,在 力学性能上表现出强烈的非线性、 非弹性和粘滞性,土的本构模型 就是反映这些力学性态的数学表 达式。
一般认为,一个合理的土的本构 模型应该具备理论上的严格性、 参数上的易确定性和计算机实现 的可能性。自Roscoe等创建剑桥 模型至今,各国学者已发展数百 个土的本构模型。
上式表明应力应变在到达屈服之前， 应变为0，这种模型又称为刚性完全 塑性力学模型，它特别适宜于塑性极 限荷载的分析。
（4）理想线性强化刚塑性模型
应力应变关系的表达式为：
s E1 ,当 0时
（5）幂强化模型
为了避免在 s处的变化，有时可 以采用幂强化模型。应力应变关系 的表达式为：
显然，这就相当于提高了材料的 屈服极限。经过卸载又加载，使 材料的屈服极限提高，塑性降低 ，增加了材料抵抗变形能力的现象 ，称为强化或硬化。显然，我们还 注意到材料一旦进入塑性变形阶段， 应力和应变就不再具有一一对应关 系。
在F点之前，试件处于均匀应变 状态，到达F点后，试件开始出现 颈缩现象。如果再继续加载则变形 将主要集中于颈缩区进行，F点对应 的应力是材料强化阶段的最大应力， 称为强度极限，用 b 表示。
具有这种应力应变关系的材料，称为 弹塑性线性强化材料。由于OA和AB 是两条直线，故有时也称之为双线性 强化模型。
（3）理想刚塑性模型
在许多实际工程中，弹性应变比塑性 应变小得多，因而可以忽略弹性应变。 于是前述的两种模型又可简化为理想 刚塑性模型。
应力应变关系的表达式为：
s ,当 0时
典型的本构关系模型
4-3-1 双曲线（邓肯-张）模型
它属于数学模型的范畴。即它以数学 上的双曲线来模拟土等材料的应力应
地下水位 总应力 中和应力
砂土
有效应力
不透水 粘土
总应力
中和应力
砂土
有效应力
低透水 粘土 砂土 （不饱和）
砂土
毛 细 张 力力 总应力
中和应力
粘土 （半透水）
有效应力
变关系曲线并以此进行应力和应变分 析的。由于这种模型是由邓肯和张两 人所提出，所以也叫邓肯-张模型，有 时简称D C模型。
土的本构关系的建立,通常是通 过一些试验,测试少量弹塑性应 力-应变关系曲线,然后通过岩土 塑性理论以及某些必要的补充假 设,把这些试验结果推广到复杂 应力组合状态,以求取应力-应变 的普遍关系,这种应力-应变关系 的数学表达式就是土的本构模型。
对于各向同性材料来说，坐标轴的 转动不应当影响材料的屈服。而一 点的应力状态可用该点的主单元体 来表示，因此，可以取三个应力主轴 为坐标轴。此时，屈服函数式（4-10） 可改写为 f ( 1， 2， 3 ) 0
前面我们谈到，球形应力状态只引起 弹性体积变化，而不影响材料的屈服。 所以，可以认为屈服函数中只包含应 力偏量，即 f ( Sij ) 0
图4-12
如图4-12所示。其方向余弦为 1 l1 l2 l3 3 On直线的方程式为 1 = 2 = 3 m。 On直线上各点所对应的应力状态 是取不同的 m值的球应力状态。
（2）平均应力为0 即 m＝0，应力偏量Sij不等于0。在主 应力空间中，它的轨迹是一个平面， 该平面通过坐标原点并与On直线相 垂直，也即过原点与坐标平面成等 倾斜的平面，我们称它为 平面。如 图4-12所示。其方程式为： 1 + 2 + 3 0
中和应力
粘土 （半透水）
有效应力
m ij 和偏应力张量Sij。如果我们所研究
的问题希望排除球张量而着重考虑偏张 量，那么在主应力空间中，我们只需要 分析应力矢量在 平面上的投影就可以了。
图4-13
（3）应力偏量为常量 即S1 C1，S 2 C2，S3 C3 直线L的方程为
1 C1 2 C2 3 C3 m
地下水位
总应力
中和应力
砂土
有效应力
不透水 粘土
总应力
中和应力
砂土
பைடு நூலகம்有效应力
低透水 粘土 砂土 （不饱和）
砂土
毛 细 张 力力 总应力
中和应力
粘土 （半透水）
有效应力
图4-1
在图4 1中，段为比例变形 阶段。在这一阶段中，应力 和应变之间的关系是线性的。 即可用虎克定律来表示：
E
（4-1）
砂土
有效应力
低透水 粘土 砂土 （不饱和）
砂土
毛 细 张 力力 总应力
中和应力
粘土 （半透水）
有效应力
限。应力到达点时，材料开 始屈服。一般来说，上屈服 极限受外界因素的影响较大，
如试件截面形状、大小、加 载速率等，都对它有影响。因 此，在实际应用中一般都采用 下屈服极限作为材料的屈服极 限，并记作 s。
A n
式中n为幂强化系数，介于0和1之间。
上式所代表的曲线在 0处与 轴 相切，而且有：
A ,当n 1时 A,当n 0时
上面第一式代表理想弹性模型，若将 式中的A用弹性模量E代替，则为虎克 定律；第二式若将A用 s代替，则为理 想塑性模型。
§4-3
判定物体中某一点是否由弹性状态 转变到塑性状态，必然要满足一定 的条件（或判据），这一条件就称 为屈服条件。在分析物体的塑性变 形时，材料的屈服条件是非常重要 的关系式。
§4-2
本构关系类型
不同的固体材料，力学性质各不相同。 即便是同一种固体材料，在不同的物理 环境和受力状态中，所测得的反映其力 学性质的应力应变曲线也各不相同。尽 管材料力学性质复杂多变，但仍有规律 可循的。
弹塑性力学
蒋建平
2011年6月
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
式中E为弹性模量，在弹性变 形过程中，E为常数。A点对应 的应力称为比例极限，记作 p。 由A点到B点，已经不能用线性 关系来表示，但变形仍是弹性 的。
B点对应的应力称为弹性极限， 记作 e。对于许多材料，A点到 B点的间距很小，也即 p与 e数 值非常接近，通常并不加以区分 ，而均以 e 表示，并认为当应力 小于 e时，应力和应变之间的关 系式满足式（4-1）。
屈服曲线在 平面内有以下性质： （1）是一条封闭的曲线，并且坐标 原点被包围在内。 （2）与任一从坐标原点出发的向径 必相交一次，且只有一次。 （3）对三个坐标轴的正负方向均为 对称。 （4）对坐标原点为外凸曲线，屈服面 为外凸曲面。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
在当应力小于 e时，逐渐卸去 荷载，随着应力的减小，应变 也渐渐消失，最终物体变形完 全得以恢复。若重新加载则应 力应变关系将沿由O到B的原路 径重现。
BE段称为屈服阶段。C点和 D点对应的应力分别称为材 料的上屈服极限和下屈服极
地下水位 总应力 中和应力
砂土
有效应力
不透水 粘土
总应力
中和应力
如图4 13所示。
我们知道，当应力 ij 较小时，材料 处于弹性状态。这就是说，在主应 力空间中，围绕着坐标原点有一个 弹性变形区域。弹性区域是被塑性 区域包围着。弹性区与塑性区的分界 就是屈服面。
若我们认为球应力（静水压力）状态 不影响材料的屈服。则上述屈服面必 定是一个与坐标轴呈等倾斜的柱体表 面。其母线垂直于 平面。显然我们对 屈服面的讨论只需研究它与 平面的截 迹C就可以了，如图4 14所示。曲线C 就称为屈服曲线或屈服轨迹。
这些模型包括不考虑时间因素 的线弹性模型、非线弹性模型、 弹塑性模型和近来发展起来的 内时模型、损伤模型及结构性 模型等,常用的模型只有极少数 几个。
土的本构模型研究在理论上属于连 续介质力学本构理论的范畴,对材料 属性的假定上将微观上并不连续的 土视为宏观上的连续介质,以弹性力 学、塑性力学和新兴的力学分支为 理论基础,通过理论结合实验的方法 进行研究。
(4) M 、G形式的本构关系 E (1 ) M (1 )(1 2 )
地下水位 总应力 中和应力
砂土
有效应力
不透水 粘土
总应力
中和应力
砂土
有效应力
低透水 粘土
砂土 （不饱和）
砂土
毛 细 张 力力 总应力
中和应力
粘土 （半透水）
有效应力
4-2-2 弹塑性本构简化模型
（1）理想弹塑性模型
由E点开始，材料开始出现了 强化现象，即试件只有在应力 增加时，应变才能增加。如果 在材料的屈服阶段或强化阶段 内卸去荷载，则应力应变不会 顺原路返回，而是沿一条平行 于OA线的MO （或HO 、KO ）路 径返回。
''' ' ''
这说明虽然材料产生了塑性变形， 但它的弹性性质却没有变化。如果 在点O （或O 、O ）重新再加载，则 应力应变曲线仍将沿着O MFG （或 O HEFG、O KFG）变化，在M 点（ 或H 点、K点）材料重新进入塑性变 形阶段。
当材料进入塑性状态后，具有明显 的屈服流动阶段，而强化程度较小。 又称为弹性完全塑性模型。
E ,当 s时 E s ,当 s时
（2）理想线性强化弹塑性模型
当材料有显著强化率，而屈服流动不 明显时，可不考虑材料的塑性流动。 其解析表达式为：
E ,当 s时 s E1 ( s ),当 s时
s 0.2%时的应力 0.2作为屈服极限来
判明。
f ( ij ) 0
（4-10）
f ( ij )就称为屈服函数。f ( ij ) 0 表示一个六维应力空间内的屈服面。 该面上任意一点都表示一个屈服应 力状态。
如，在单向拉伸时，屈服应力 s应在 屈服面上，如用六维应力空间来描述， 则该点应为屈服面上的一个点，且该 点坐标为（ s，0，0，0，0，0）。
下面介绍几种特殊的应力状态在主 应力空间中的轨迹。 （1）球应力状态或静水应力状态 关于球应力状态，应力偏量为0， 即S1 S2 S3 0，且 1 = 2 = 3 m。 显然在主应力空间中，它的轨迹 是经过坐标原点并与 1、 2、 3三 坐标轴夹角相同的等倾斜直线On。
a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
§4-4
屈服条件、屈服面
判断材料是处于弹性状态还是已经 进入塑性状态所依据的准则，就称 为屈服条件，又称为塑性条件。当 材料处于单向拉伸（或压缩）应力 状态时，我们通过简单的试验，就 可使这一问题得到解决。
当应力小于屈服极限 s时，材料处于 弹性状态，当达到屈服极限 s时，便 认为材料已进入塑性状态。即便对那 些应力应变曲线上弹塑性分界不明显 的材料，通常将对应于塑性应变为
设在主应力空间中，任一点的坐标 矢量OP来表示，如图4-12所示，它可 以分解为在直线On方向上的分量和 在 平面上的一个分量（即相当于NP）。 这就等于把应力张量分解为球应力张量
地下水位 总应力 中和应力
砂土
有效应力
不透水 粘土
总应力
中和应力
砂土
有效应力
低透水 粘土 砂土 （不饱和）
砂土
毛 细 张 力力 总应力
另一方面，要注意所选的本构模型 的数学表达式应足够简单，以便在 求解具体问题时，不出现过大的数 学上的困难。
4-2-1 线弹性本构关系
(1) E、 形式的本构关系 在弹性力学中，以应力表示应变的广义虎克定律为：
(2) K、G形式的本构关系 K 称为体积压缩模量 G称为剪切压缩模量
(3)、G形式的本构关系 2 E K G 3 (1 )(1 2 )
也就是说，可将各种反映材料力学 性质的应力应变曲线，进行分析归 纳并加以总结，从而提出相应的弹 塑性本构模型。
对于不同的材料，不同的应用领域， 可以采用不同的本构模型。在确定 本构模型时，要特别注意使所选用 的本构模型必须符合材料的实际情 况，这是非常重要的，因为只有这 样才能使计算结果反映结构或构件 的真实应力及应变状态。
1.概述 土作为天然地质材料在组成及构 造上呈现出高度的各向异性、非 均质性、非连续性和随机性,在 力学性能上表现出强烈的非线性、 非弹性和粘滞性,土的本构模型 就是反映这些力学性态的数学表 达式。
一般认为,一个合理的土的本构 模型应该具备理论上的严格性、 参数上的易确定性和计算机实现 的可能性。自Roscoe等创建剑桥 模型至今,各国学者已发展数百 个土的本构模型。
上式表明应力应变在到达屈服之前， 应变为0，这种模型又称为刚性完全 塑性力学模型，它特别适宜于塑性极 限荷载的分析。
（4）理想线性强化刚塑性模型
应力应变关系的表达式为：
s E1 ,当 0时
（5）幂强化模型
为了避免在 s处的变化，有时可 以采用幂强化模型。应力应变关系 的表达式为：