3.变分法与Hamilton原理(中科大) 哈密顿原理

第3章变分法与H AMILTON原理

一、泛函与变分

1.泛函

普通函数是从数到数的映射

()

泛函是普通函数概念的推广，自变量可以为任意集合，

集合

数学物理中常见的泛函自变量常取为函数，[]。

例()是函数；[]()是泛函，并且有

[][][]

例[]∫ ( ) ，则

()[]

()[]

例[]∫{()}

泛函可类比于多变量函数，

(){}

[] { ()| 的定义域}

这里的()相当于前面多变量函数的自变量，；泛函[]是以不可数无穷多个变量()()作为自变量的函数。

例复合函数可以看成是一族泛函，()[] ( ̇()) ( ())，其中是参数。

2.泛函的连续性

对于泛函[]，给定函数()，如果能够满足

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，当|()()||()()|| ( )()( )()|时，有|[][]|

则称泛函[]在处阶接近的连续。

3.变分

泛函可类比于多变量函数，

多变量函数()，自变量的微分为；

泛函 [ ]的自变量为{ ()| 定义域}，自变量的变分()() ( )，即函数的无穷小改变。

小参量法的定义为()()，其中为任意无穷小量，()为任意连续有界函数。类似于数学分析中的-语言，这是严格的数学定义。下面的叙述我们不追求数学上的严格性。

函数的微分()()()

泛函的变分[][][]

例[]()[]()()()()

例位移⃗[]⃗(()())，虚位移⃗⃗(()())⃗(())⃗()。

例[]∫()()，（变分与积分可交换在后面证明）

[][][]

∫()()()()∫()()

∫{()()()()}

4.L AGRANGE变分基本引理

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设()在区间[]上连续，()及其2阶导数在[]上连续，且在端点处() ()。如果任意这样的函数()均满足∫()()，则必有[]()。

用反证法很容易证明：反设()()，不妨设()。由于()连续，存在点的邻域[][]，在[]上()。现在构造()为

(){

[] ( ())( ())[]

则

∫()()∫()()∫()

与∫()()矛盾，所以()()。再由函数的连续性，在端点上同样有()()。

注：定理中()所需满足的条件可以更改为“连续”或者“1阶导数连续”，“3阶导数连续”等等。

5.泛函的导数

多变量函数的偏导数定义为

() ( ) ( )

或者写成微分形式，

()

泛函的导数定义为

[]∫()()

通常习惯把()写成

( )

。

例[] ( )，[][][]()，

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[]∫

()()∫

()

()

()

()∫()()

}∫{

()

()

()}()

这里()，由Lagrange引理，

() ()()

例[]()，

()∫()()∫()()()

()

()

例[]∫()()

()∫{

()

()

()()

()

()

}∫{()()()} ()()

()

()()

其中 ( )是阶跃函数（Heaviside function）。例[]∫{()()}

()∫{

()

()

()

()

}∫{ ( )()}

∫{

()

√

√ )

()

√

√ )()}√

()

上面用了函数的性质

( ())∑

|()|()

( )

另一种计算方法：

∫{()()}∫()∫()

∫() ( √ )∫() ( √ )∫()()

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∫() (√ )∫()∫

√

()∫()

∫(

√

() )()

例[]∫( ̇ )

∫{

̇ ̇}∫{(

̇

)(

̇

)}

∫{(

̇)}

̇

|

6.变分的运算规则

与微分法则类似，可以证明，

()（线性）()()

() ( ())

7.变分可以与微分、积分交换次序

按定义，

(){ ()()

}

{ ()()()()

}{

()()

}

()()

(这一步交换求和顺序不严格，对病态函数可能不成立) ()

因此对虚位移，⃗()⃗()，在分析力学中称为等时变分或简单变分。

分析力学中还有其它方式定义的变分，一般说来等价于与平移的混合运算，此时。对于积分，

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∫(){∑()}∑()()∑()

∑()(这一步交换求和顺序不严格，对某些病态函数可能不成立)∫()

8.泛函的高阶变分

例[]∫()，

∫{()()}

()∫{()()}∫{( )()( )()}

∫{( ())()()( ())}

9.泛函的积分

路径积分∫ [ ][ ]（注意这不是泛函导数的逆问题）

将积分变量的定义区间等分，变成对() ( )普通多变量函数积分，最后取极限。

例如量子力学中的传播子为

()∫{ ∫( ̇)}[]

波动惠更斯原理, Feynman, Lattice QCD

超出课程范围，略

二、泛函的极值

1.泛函的极值

泛函[]取在处取驻值的条件为，或等价地.

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