判断函数单调性及求值域的重要方法
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判断函数单调性的常用方法一、定义法
设x1,x2是函数f(x)定义域上任意的两个数,且x
1<x
2
,若f(x
1
)<f(x2),
则此函数为增函数;反知,若f(x
1)>f(x
2
),则此函数为减函数.
二:性质法
除了用基本初等函数的单调性之外,利用单调性的有关性质也能简化解题.
若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性,则在区间B上有:
⑴f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性;
⑵f(x)与c•f(x)当c>0具有相同的单调性,当c<0具有相反的单调性;
⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)都是增(减)函数;
⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数,当两者都恒小于0时也是减(增)函数;
三:同增异减法
是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y=f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域),可令t=g(x),则三个函数y=f(t)、t=g(x)、y=f [g(x)]中,若有两个函数单调性相同,则第三个函数为增函数;若有两个函数单调性相反,则第三个函数为减函数.
注:(1)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性;
(2)互为反函数的两个函数有相同的单调性;
(3)如果f(x)在区间D上是增(减)函数,那么f(x)在D的任一子区间上也是增(减)函数.
求函数值域的常用方法
1.观察法
用于简单的解析式。
y=1-√x≤1,值域(-∞, 1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).
2.配方法
多用于二次(型)函数。
y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, +∞)
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞)
3. 换元法
多用于复合型函数。
通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域。
特别注意中间变量(新量)的变化范围。
y=-x+2√( x-1)+2
令t=√(x-1),
则t≤0, x=t^2+1.
y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(-∞, 1].
4. 不等式法
用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法。
y=(e^x+1)/(e^x-1), (0 0 1 1/(e^x-1)>1/(e-1), y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),+∞). 5. 最值法 如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M]. 因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的. 6. 反函数法 有的又叫反解法. 函数和它的反函数的定义域与值域互换. 如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者. 7. 单调性法 若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为 [f(b), f(a)]. 8. 数形结合法 利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图像法求函数的值域.