《随机过程》教程.ppt

无穷大的分类
0, 1 ,2 ,3,……(自然数集合的无限多 为0， 0集合的所有子集构成的集合的 “无限多（势）”为1 ， 1集合的所有 子集构成的集合的势为2 ， ……)，在数 学上已经严格证明： 0, 1 ,2 ,3,等之 间不能建立双射的关系。
对于无穷大，“整体大于部分”的直觉不再成立
对于自然数集 N 1,2,3,4,5,L ，偶数集合
原像集
像集 单射（不同的原
f
像具有不同的像）
f a1 f a2
满射（每一个像都有原像）
原像集
像集
f
b, a, s.t.
b f a
双射（既是单射，又是满射）
原像集
像集
f
从直觉上承认能建立双射关系的两 个集合，其所含元素的“个数”一样多。
可数和不可数的定义
凡是能和自然数集合或者自然数集合的 一个子集建立双射关系的集合称为可数 集合；否则称为不可数集合。 可数和不可数是人类认识“无穷”所产 生的概念，是对无穷的分类。 已经证明连续的区间，和实数集等都是 不可数集合：[1,2],(0.1,0.01),R,等等
事件和Borel集
事件：样本空间中满足一定条件的全体 元素构成子集，“一定条件”有事件的 意义，因此称样本空间的子集为事件。
（举例说明）
不可能事件 必然事件 基本事件：可数和不可数 Borel集：规定了事件的全体及其相容性
概率空间的定义
阅读讲解p.16定义2.1 理解概率空间
概率空间是对随机现象的基本建模方法 概率空间有三个要素：样本空间、Borel事
《随机过程》教程
第三讲 随机对象（一）
本章要义（阅读引言部分）
本章介绍如何对随机现象建立数学模型。
根本思想是对随机系统的输出机制不加考虑，而是对 输出样本的可能性大小进行先验地规定。
按照随机系统输出样本的差异，有三类随机对象
随机变量、随机向量（瞬态观察） 随机过程（过程观察）
如何描述、刻画这三类随机对象
明
概率集函数的确定：从基本事件集上进 行扩充
可数样本空间概率集函数的确定（p.18） 不可数样本空间概率集函数的确定（p.19）
条件概率 P
A
|
B
P A B PB
,
P
B
0
理解意义：此时条件已经成了必然事件 阅读p.20 独立性的概念 全概率公式
证明 应用意义 在连续情形下的推广
Bayes公式
一是内容总结； 二是学习心得，即自己的理解、体会及思想
书本内容的理解 定理及习题新的证明 书本知识用途举例 等等
《随机过程》第三讲“随机对象 （一）” 终
完全描述 不完全描述
概率空间
认识随机系统
举例，p.13-14
要点：随机系统的关键在于输出的不可预知性，但 对输出的范围是清楚的。因此给出样本空间是关键
认识样本空间
可数和不可数 瞬态和过程
插入部 分
标准化：数、向量、函数
下一 张
关于可数和不可数
集合的映射：单射、满射和双射(p.23)
随机对象
样本空间的标准化：同构 随机对象是抽象的概念（图2.4） 三类具体的随机对象
随机变量、复随机变量 随机对象 随机过程
随机变量
用一维实数集合标准化了的样本空间，或者说 样本空间是实数集合 此时，概率集函数则有相应的形式
概率质量函数（pmf,probability mass function）（离
件集、概率集函数,(S,B,P) 样本空间和Borel事件集是随机系统的输出 概率集函数对事件发生可能性的大小进行了
先验的量化
概率空间的建模方法
舍弃了对输出某个结果机制的观察，而 是观察某个结果的输出可能性 是对输出结果的统计观察 先验量化的理由有许多 完成先验量化的是概率集函数
概率集函数
概率集函数的标准化 概率集函数的性质2.1 证
混合型定义 性质源自三类随机变量之例(p.31-33)
随机向量
样本空间是高维欧氏空间 和随机变量的本质区别
不仅有分量（随机变量）的概率信息 还有分量之间的关联信息
描述
联合概率质量函数 联合概率分布函数 联合概率密度函数 降维：边界概率（质量、分布、密度）函数
联合概率分布（密度）函数的性质(2.4) 随机向量的例子
RV的独立性和条件分布
独立的定义(定义2.8) 条件概率分布（密度）函数的定义 性质2.5
总结
样本空间、事件集合 概率空间（三要素） 条件概率：全概率公式、Bayes公式 随机对象 随机变量 随机向量 三类函数及其性质
作业
2.4 2.7 2.12 2.19 2.20 2.26 2.27
第一章的总结和第二章的总结可以合并成一次，注意：总结应包 含两部分内容
散样本空间）
概率分布函数(cdf,cumulative distribution function)
（离散和连续样本空间）
概率密度函数(pdf,probability density function)（离散
和连续样本空间）
广义导数的定义
概率分布函数的性质
理解：是累积概率(总质量) 性质2.2的证明 好处：不论离散样本空间还是连续样本 空间，皆可以描述概率的分布。
第二次危机：微积分中的无穷小量（确 定无穷小是运动的量，无限趋于零但不 等于零）
第三次数学危机
罗素悖论
A x is set x x,
if A A, then A A; if A A, then A A.
回到 主标题
对“无穷问题”的评价：大脑的概念和 存在性问题（认识主体和客体的关系）。
概率密度函数的性质
理解：单位长度上的概率（密度） 性质2.3的证明 连续和离散样本空间皆可描述 再强调质量分布的比喻
离散型随机变量
定义 概率质量函数 概率分布函数（Heavyside函数的表述） 概率密度函数（delta函数的表述）
Delta函数的定义性质
连续型和混合型随机变量
连续型
定义 性质
是一个子集 E 2,4,6,L ，但我们将N中的 n
和 E 中的2n建立对应关系，就发现这是一 个双射。 自然数旅馆的“故事” 不可数集合的“部分等于全体”
无穷大的趣闻——三次数学危机
第一次危机：无理数的发现（正方形的 对角线）
x
2
2, x
n m
n2
2m2
n
2n1
m2 2n12 m 2m1 n12 2m12 L L